如何學好幾何與代數

1、如何學好《幾何與代數》 陳建龍 東南大學數學系,提 綱一　數學是什么二　代數是什么三　線性代數是什么四　線性代數與空間解析幾何的聯系 五　如何學好《幾何與代數》 六 一點希望,一、數學是什么恩格斯:數學是研究現實世界中的空間形式與 數量關系的科學 數學的研究對象是‘‘形”與‘‘數” 新對象如: 混沌, 分形幾何等,數學科學按內容分五大學

2、科: （1）基礎數學 （2）應用數學 （3）計算數學 （4）運籌學與控制論 （5）概率論與數理統計,數學的核心領域:代數學—研究數的理論 幾何學—研究形的理論 分析學—溝通形與數理論,數學與其它學科的關系:1.數學是一種語言,是一切科學的共同語言;2.數學是一把鑰匙,一把打開科學大門的鑰匙;3.數學是一種工具,一種思維的工具;4.數學是一門藝術,一門創(chuàng)造性藝術。(見 王元明,數學

3、是什么,與大學一年級學生談數學,東南大學出版社,2003),二、 代數是什么代數學是從代數方程求根發(fā)展起來：公元前19-17世紀,古巴比倫解決了一元一次,一元二次方程求根問題；公元前4世紀,歐幾里德在《幾何原本》中用幾何方法求解二次方程；公元1世紀,九章算術,三次方程和一次方程組的解法。,由一次方程的求解問題發(fā)展起來的理論稱為線性代數學,主要研究行列式,矩陣,向量空間,線性變換,型論,不變量論,張量代數 行列式的概念由日本人

4、關孝和1683年引入 矩陣的概念由凱雷1855年引入,由高次方程求根問題發(fā)展起來的理論稱為多項式理論 一元高次方程求解———困難 代數解法：希望和一元二次方程一樣，由方程的系數 通過加、減、乘、除、乘方、開方六種運 算把根表示出來,結論: (1) 一元三次、四次方程可求解（代數解法）; (2) 高于四次方程沒有代

5、數解法（伽羅 瓦,1811- 1832），引進一個新的概念“群”; (3) 高于四次的方程可求近似解（計算數 學范疇）,高等代數：線性代數學 多項式理論 近世代數（抽象代數）： 研究代數體系：帶有運算的集合，運算滿足一

6、 些規(guī)律（如交換律、結合律、 分配律等） 內容：群、環(huán)、域（整數環(huán)，有理數域，實數 域，復數域）,三 、線性代數是什么 數學專業(yè)—高等代數、近世代數 非數學專業(yè)—線性代數 一般本科院校非數學專業(yè)線性代數：行列式、矩陣、向量、線性方程組，特征值與特征向量、二次型、線性空間、線性變換 。,

7、線性代數是研究多個變量與多個變量之間線性關系（即一次關系）的數學分支（代數分支），這種線性關系主要通過矩陣（包含向量）去刻畫和處理，因此矩陣是線性代數的主要研究對象。線性代數是大學階段三門主要數學課程之一。,三門主要課程：（1）高等數學 中學基礎：數列，函數（指數、對數、三角函 數），二次曲線，導數，積分等。（2）線性代數 中學基礎：矩陣和變換（二階行列式、二階

8、 矩陣、二元方程組、特征值和特征向量）， 江蘇版選修課程，附加題。（3）概率統計 中學基礎：古典概率，統計初步（方差、回歸 等）。,重要性：（1）是其他課程學習的基礎 （2）是進一步深造考試的科目 以數學一為例：高等數學 55%，線性代數 22.5%，概率統計 22.5%高等數學：連續(xù)性數學—主要研究對象是函數線性代數：離散性

9、數學—主要研究對象是矩陣概率統計：隨機性數學—主要研究對象是隨機現 象和數據,結論1：線性代數是大學三門主要數學課程之 一，考研約占數學卷的1/4（考研考4 門：政治 100分，英語 100分，數學一 150分，專業(yè)課 150分）；結論2：線性代數有別于高等數學和概率統計， 培養(yǎng)基本的邏輯推理能

10、力和分析問題解 決問題的能力。,線性代數是一門應用性強的課程線性代數的概念來源于實際問題 線性代數的理論提供了解決問題的方法線性代數的題目可上機演算（借用于Matlab軟件—工程中最基本的軟件）線性代數的問題衍生了新的數學分支（數值線性代數等）,線性代數的應用廣泛： 線性代數的理論與方法已滲透到自然科學、工程技術和經濟領域，1973 諾貝爾經濟學獎工作是將線性代數應用于經濟系統

11、的研究。（1）極值問題，控制理論，解析幾何中一些問題與二次型 有關；（2）線性差分方程組或線性微分方程組與多變量線性關系 的時間離散系統或時間連續(xù)系統；（3）Google搜索引擎；（4）足球循環(huán)比賽的名次確定；（5）交通流量的預測；（6）圖象壓縮等技術。,線性代數是一門內容抽象邏輯性強的課程 概念多： 矩陣類： 方陣的行列

12、式，矩陣的秩，矩陣的初 等行變 換，初等矩陣伴隨矩陣，可逆矩陣，正交矩陣， 對稱矩陣，正定矩陣，矩陣的相抵，合同，相似； 向量類： 線性無關（相關），向量的極大無關組，基礎解系，特征向量，正交 向量組，向量組的秩。,定理（性質，公式）多： 線性方程式有解判 別定理；矩陣可逆的判別定理；線性 相關的判別定理；唯一表示定理；二 次型為正定二次型判別定理；矩陣可相似對角陣的判別定理；

13、行列式展開定理。,,,線性代數是一門“另起爐灶”的課程,（i）線性代數以矩陣為主線；算術以數為主線。,學會兩者類比：,學會兩者的區(qū)別：,左乘-----排成一行------初等行變換右乘-----排成一列------初等列變換,(ii) 與中學(矩陣與變換)的聯系 中學：二階矩陣；二階行列式；二元 線性方程組；2維分量的內積(數量 積)，長度；

14、 大學：m x n矩陣；n階行列式；m x n 線性方程組；n維向量的內積(數量 積)，長度。 大學內容是中學內容的推廣和深化,,四、 線性代數與空間解析幾何的聯系,幾何給代數提供了模型 代數給幾何提供了方法,直角坐標系，標準正交基仿射坐標系，基二次曲面的圖形在高等數學中曲面積分密切相關。,五、 如何學好《幾何與代數》 1. 共性方

15、法,不缺課； 幾何與代數課：內容多，課時少，例題少，講得快；預習，聽課，復習，作業(yè)，小結；弄清課堂上或作業(yè)中不懂的內容；從特殊到一般, 從低維到高維。,(1) 抽象概念如何掌握和理解? (a) 領會定義中的關鍵詞語： 線性相關：不全為零 特征向量：不等于零 正交向量組：每個向量非零 正交矩陣前提：實方陣

16、 正定矩陣前提：實對稱 可逆矩陣前提：方陣,2. 個性方法,借助幾何直觀幫助理解概念； 向量的數量積，長度，基，維數，坐標，內積，標準正交基，正交變換來源于幾何(2維或3維)， 學習時與中學幾何或高數中空間解析幾何聯系起來學。,(2) 定理，性質，公式如何證明 (a) 理清定理的條件和結論； (b) 利用熟知的結論證

17、明；,用定義AB=E（或BA=E）; |A| ? 0 ; r(A)=n; 列向量組線性無關； A的特征值不為零； Ax=0只有零解； A可經過初等行變換變成E,例如：證明矩陣可逆的常用方法有 ：,(c) 分清楚充分條件，必要條件，充要條件區(qū)別； (d) 先特殊后一般。 先看標準形是否對,再看一般情況是否 對.,原因(一)：光聽(看)不練，或練習機會少。 解決方法：(1)

18、 建議“做例題” 課后把上課 講的，書上的例題自己做一遍； (2) 建議多做典型題目，做后分析 方法，舉一反三，總結經驗。,如何克服“上課時聽得懂，作業(yè) 不會做”現象,原因(二)：基本概念不清，重要定理(性質，公式)記憶不牢解決辦法： (1) 搞清概念的含義； (2) 定理(性質

19、，公式) 的條件，結論,認真審題：如用正交變換化簡二次型不能同配方法或初等變換法 舊錯不犯：如 矩陣左乘，右乘不同；非零矩陣未必可逆；基礎解系不能從非齊次線性方程組中求 檢查驗算：把答案回代，是否滿足原題要求。,(4) 如何避免或減少答題中的錯誤,(iv) 強化邏輯：充分性“”常搞錯； 充分條件，必要條件。 例如: A是實對稱陣或A有互不相同的特征

20、值是A相 似對角化的充分條件 舉例非證：不能用舉例用作證明,可用反例來否定命 題。 例如: 相似陣特征多項式相同，反之不真。 的特征多項式相同，但 不相

21、似。,特殊（特例）帶入驗算法，排除某些選項； 蘊含關系排除法; 如(A) => (B),則不選(A);如 (A) ? (B), 則不選(A),(B)。 舉反例排除法; 如有例子不滿足(C),則不選(C)。 歸謬排除法; 如由選項(A)出發(fā)導出錯誤結論,不 選(A)。,,(5) 如何做單項選擇題（間接法）,善于提問，掌握解題方法 (a) 面對的問題從哪里來？ (b) 用

22、以前學到的知識能否解決？ (c) 別人是怎么去解決問題的(提出了什么概念，采用了何種方法，解決到哪一步，還剩下什么問題)? (d) 能否在別人的基礎之上有所改進或創(chuàng)新？結論：經過思考而得到的知識更易吸收，更有效提高解題能力。,(6) 如何開展研究型學習,善于總結，構建知識體系 從教材，學習指導書，老師，同學，網絡中歸納總 結，整理知識體系，參見教材配套輔導書, 如：

23、《線性代數學習指導》 張小向，陳建龍 編 科學出版社 2008.3,結論：經過歸納，類比，得出的知識體系更 易整體把握實質。,,參考答案,提示,詳細解答,,善于思考，慎用“題海戰(zhàn)術” 做完一道題后，思考如下問題： (a) 用了哪些條件和哪些知識點； (b) 有無其他方法； (c) 結果意味著什么；

24、 (d) 條件能否減弱； (e) 能否推廣到更一般情況； (f) 能否更進一步推出什么？結論：事半功倍，做研究的方法。,波利亞的《解題表》 喬治·波利亞——美籍匈牙利數學家、教育家，數學解題方法論的開拓者。 (a) 弄清問題； (i) 已知是什么？未知是什么？ (ii) 條件是什么？結論是什么？ (iii) 畫出草圖，引入適當的符

25、號。,擬定計劃,(i) 見過這道題或與之類似的題嗎？(ii) 能聯想起有關的定理或公式嗎?(iii) 再看看未知數!(iv) 換一種方式來敘述這道題.(v) 回到定義看看!(vi) 先解決一個特例試試.(vii) 這個問題的一般式是什么?(viii) 你能解決問題的一部分嗎?,(c) 實行計劃 (i) 你用了全部條件嗎? (ii) 實現你的解題計劃并檢驗每一步驟. (iii) 證明你的每一步都

26、是正確的.(d) 回顧 (i) 檢查結果并檢驗其正確性. (ii) 換一個方法做這個題. (iii) 嘗試把你的結果和方法用到其它問題上.,六、 一點希望,要有理想 要有信心，相信自己的能力；要有志向，再拼搏，考研 要勤奮學習 大學是人生中最重要的時期，是一個新的起點，不能浪費青春年華。華羅庚說:勤能補拙是良訓，一分辛苦一份才。 網迷 → 掛科 →重修

27、→ 成績單調遞減,要學會學習 (1) 要及時調整學習方法，適應大學學 習； (2) 學會做人，做事，做學問 (3) 學海無涯，培養(yǎng)自學能力和創(chuàng)新精 神； (4) 借助網絡技術，教務處課程中心和數 學系線性代數課程網站。 http://math.seu.edu.cn/xxds/index.htm,牢記東南大學校訓：