中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史

1、中國(guó)古代數(shù)學(xué)及其成就,彭 揚(yáng) 帆,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《易經(jīng)》——“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書(shū)契。”《尚書(shū)·序》——“古者伏羲氏之王天下也，始畫(huà)八卦，造書(shū)契，以代結(jié)繩之政，由是文籍生焉?！?一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《易經(jīng)· 系辭傳》——“包犧氏沒(méi)，神農(nóng)氏作。……日中為市，致天下之民，交易而退，各得其所?！?一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《周禮》中的六藝禮—禮節(jié)。五禮者，吉、兇、賓、軍、嘉也

2、。 樂(lè)—音樂(lè)。六樂(lè) ：云門、大咸、大韶、大夏、大鑊、大武射—射箭技術(shù)。五射：白矢、參連、剡注、襄尺、井儀 御—駕駛馬車的技術(shù)。鳴和鸞、逐水車、過(guò)君表、舞交衢、逐禽左書(shū)—文學(xué)。六書(shū)：象形 、指事、會(huì)意、形聲、轉(zhuǎn)注、假借 數(shù)—算術(shù)與數(shù)論知識(shí),一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,周代的數(shù),一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,算籌與籌算算籌是中國(guó)古代的主要計(jì)算工具，用這種工具進(jìn)行計(jì)算和演算則稱為籌算。春秋戰(zhàn)國(guó)之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用?；I算記數(shù)

3、法已使用十進(jìn)位值制。,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,算籌《墨經(jīng)》：“一少于二而多于五，說(shuō)在建位?！边@就是說(shuō)，一在個(gè)位少于二，在十位就多于五，每個(gè)數(shù)字的大小除由它本身所表示的數(shù)值決定外，還要看它在整個(gè)數(shù)中所處的位置。根據(jù)后來(lái)約公元4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》的記載，任何數(shù)都是由九個(gè)縱排數(shù)字和九個(gè)橫排數(shù)字按個(gè)、百、萬(wàn)等用縱籌，十、千等用橫籌來(lái)表示，零用空位表示。,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,幾何學(xué)《史記·夏本記》 —夏禹治水時(shí)“左

4、準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時(shí)，以開(kāi)九州，通九道，陂九澤，度九山 。”,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,幾何學(xué)《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理。 商高曰:……折矩以為勾廣三、股修田,徑隅五…”,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《墨經(jīng)》“圓，一中同長(zhǎng)也”“端，體之無(wú)序而最前者也”“端，是無(wú)同也”“平，同高也”“平，謂臺(tái)執(zhí)著也，若弟兄”“方，柱隅四權(quán)也”“方，矩寫(xiě)交也”“倍，為二也”“久

5、，彌延時(shí)也”“直：參也” （三點(diǎn)相齊）；“次（相切）：無(wú)間而不相櫻也（既無(wú)大小又不相合）；”,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《墨經(jīng)》提出“環(huán)俱抵”（圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)每一點(diǎn)都與地面接觸而形成一根直線）來(lái)反駁名家的“輪不輾地”，次的定義顯然來(lái)源于此。他們認(rèn)為，在區(qū)域的前緣連一根線也容納不下（域不容尺）稱為“有窮”；不論區(qū)域多大，在其前緣總能容下一線之寬（莫不容尺），稱為“無(wú)窮”。因此在墨家看來(lái)，一個(gè)具體的空間不能既是“有窮”，又是“無(wú)窮”的

6、。墨家也不同意“一尺之棰”的命題，提出一個(gè)“非半”的命題來(lái)進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”，這個(gè)“非半”就是點(diǎn)。,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,幻方（Magic Square）,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,乘法口訣表《管子·輕重》云：“濾戲作造六峜以迎陰陽(yáng)，作九九之?dāng)?shù)以合天道?！薄俄n詩(shī)外傳》云；“齊桓公設(shè)庭宴燎，待人士不至，有以九九見(jiàn)者。 ”,一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展,《

7、春秋》：“公田之法，十足其一；今又履其余畝，復(fù)十取一?！薄肚f子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”《史記》——田忌賽馬,二、秦漢數(shù)學(xué),《算數(shù)書(shū)》 1983年12月在湖北江陵張家山出土一本西漢初年的竹簡(jiǎn)《算數(shù)書(shū)》，收有許多應(yīng)用的數(shù)學(xué)問(wèn)題。據(jù)研究，出土《算數(shù)書(shū)》的漢墓的下葬時(shí)間，約在西漢呂后（公元前187-前180年在位）至漢武帝（公元前179-前157年在位）初年之間。,二、秦漢數(shù)學(xué),《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)著作《

8、算數(shù)書(shū)》抄寫(xiě)于西漢初年（約公元前2世紀(jì)），成書(shū)時(shí)間應(yīng)更早，是一部比較完整的，也是目前可以見(jiàn)到的中國(guó)最早的數(shù)學(xué)專著。全書(shū)采用問(wèn)題集形式，共有69個(gè)小標(biāo)題，，71條相當(dāng)抽象的公式，近百道數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解法，內(nèi)容包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、比例問(wèn)題、面積和體積問(wèn)題等等。,二、秦漢數(shù)學(xué),《算數(shù)書(shū)》 1相乘，2分乘，3乘，4矰（增）減分，5分當(dāng)半者，6分半者，7約分，8合分，9徑分，10出金，11共買材，12狐出關(guān)，13狐皮，14女織，15并租，16

9、負(fù)米，17金賈（價(jià)），18舂粟，19銅秏（耗），20傳馬，21婦織，22羽矢，23桼（漆）錢，24繒幅，25息錢，26?（飲）桼（漆），27稅田，28程竹，29醫(yī)，30石?（率），31賈鹽，32挐脂，33取程，34秏（耗）租，35程禾，36取枲程，37誤券，38租吳（誤）券，39粺毀（毇），40秏，41粟為米，42粟求米，43米求粟，44米粟并，45粟米并，46負(fù)炭，47盧唐，48羽矢，49絲練，50行，51分錢，52米出錢，53方田，

10、54除，55鄆都，56芻，57旋粟，58囷蓋，59睘（圜）亭，60井材，61以睘（圜）材方，62以方材睘（圜），63睘（圜）材，64啟廣，65啟從（縱），66少?gòu)V，67大廣，68里田。,二、秦漢數(shù)學(xué),《漢書(shū)·藝文志》——《許商算術(shù)》2卷和《杜忠算術(shù)》16卷《算數(shù)書(shū)》《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》,二、秦漢數(shù)學(xué),《周髀算經(jīng)》 大約成書(shū)于西漢時(shí)期（公元前1世紀(jì)）為趙君卿所作，北周時(shí)期甄鸞重述，唐代李淳風(fēng)等注。,二、秦漢數(shù)學(xué),

11、《周髀算經(jīng)》勾股定理—“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日”,昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！?二、秦漢數(shù)學(xué),

12、《九章算術(shù)》《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書(shū)》(漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書(shū))中最重要的一種。魏晉時(shí)劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)說(shuō):“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”，又說(shuō)“漢北平侯張蒼、大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱刪補(bǔ)，故校其目則與古或異，而所論多近語(yǔ)也”。,第一章“方田”： 主要講述了平面幾何圖形面積的計(jì)算方法。包括長(zhǎng)方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積

13、的計(jì)算方法。另外還系統(tǒng)地講述了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。38,第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術(shù)；46,第三章“衰分”：比例分配問(wèn)題；介紹了開(kāi)平方、開(kāi)立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分?jǐn)?shù)開(kāi)方法則。它奠定了中國(guó)在高次方程數(shù)值解法方面長(zhǎng)期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。20,第四章“少?gòu)V”：已知面積、體積，反求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等；24,第五

14、章“商功”：土石工程、體積計(jì)算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；28,第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。28,第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問(wèn)題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題

15、的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大.20,第八章“方程”：一次方程組問(wèn)題；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)——正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。18,第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問(wèn)題。24,“今有望海島，

16、立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合。從后表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合，問(wèn)島高及去表各幾何？ 答曰：島高四里五十五步。去表一百二里一百五十步。,術(shù)曰：以表高乘表間為實(shí)。相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠(yuǎn)近者，以前表卻行乘表間為實(shí)。相多為法除之，得表去島里數(shù)。”,答曰：島高四里五十五步。去表一百二里一百五十步。,“今有上禾三秉，中禾二秉

17、，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何。答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。,《九章算術(shù)》的特點(diǎn) ①采用按類分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式； ②算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的，這些算式表示法緊密地依賴于數(shù)字在圖式上的位置； ③以算術(shù)、代數(shù)為主，幾何也是偏重于量的計(jì)算，很少涉及圖形的性

18、質(zhì); ④重視應(yīng)用，缺乏理論闡述。,二、魏晉至隋唐時(shí)期數(shù)學(xué),玄學(xué)是魏晉時(shí)期的主要哲學(xué)思潮，是道家和儒家融合而出現(xiàn)的一種文化思潮，也可以說(shuō)是道家之學(xué)以一種新的表現(xiàn)方式，故又有新道家之稱。,吳國(guó) 趙爽 注《周髀算經(jīng)》漢末魏初 徐岳 撰《九章算術(shù)》注魏末晉初 劉徽 撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》1卷,趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在《周髀算經(jīng)》書(shū)中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重

19、要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的5個(gè)公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開(kāi)創(chuàng)性的，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。,二、魏晉至隋唐時(shí)期數(shù)學(xué),劉徽約與趙爽同時(shí)，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家和墨家的思想，主張對(duì)一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡(jiǎn)明嚴(yán)密。他的《九章算術(shù)》注不僅是對(duì)《九章算術(shù)》的方法

20、、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過(guò)程中有很大的發(fā)展。,二、魏晉至隋唐時(shí)期數(shù)學(xué),劉徽從率（后稱為比）的定義出發(fā)論述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算和今有術(shù)的道理，并推廣今有術(shù)得到合比定理，他根據(jù)率、線性方程組和正負(fù)數(shù)的定義闡明方程組解法中消元的道理，指出方程式個(gè)數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解只能是一個(gè)比值；在一個(gè)方程式中，正與負(fù)可以同時(shí)變號(hào)；減法消元和加法消元可以統(tǒng)一為一種方法。 在開(kāi)方求得整數(shù)后，還可以繼續(xù)開(kāi)方—“求其微數(shù)”。解決了求無(wú)

21、理根的問(wèn)題，還提出了十進(jìn)小數(shù)的方法。 他創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率157/50和3927/1250。他提出用無(wú)窮分割的方法證明直角方錐與直角四面體的體積之比恒為2 : 1， 解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題。 在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，劉徽實(shí)際上應(yīng)用了下列公理：等高的兩立體，若其任意同高處的水平截面積成比例，則這兩立體體積亦成同樣的比例；并根據(jù)這個(gè)公理，指出球的體積與

22、其外切“牟合方蓋”的體積之比為π:4。,牟合方蓋,二、魏晉至隋唐時(shí)期數(shù)學(xué),南北朝時(shí)期，國(guó)家處于南北分裂的狀態(tài)。,二、魏晉至隋唐時(shí)期數(shù)學(xué),北方數(shù)學(xué)的發(fā)展成果：《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》（已失傳）、《張丘建算經(jīng)》。但其基本都是建立在《九章算術(shù)》的注釋和發(fā)展上，不過(guò)也有新的成果，例如一次同余式組解法，等差級(jí)數(shù)求和、求公差、求項(xiàng)數(shù)的方法和不定方程解法等,南方數(shù)學(xué)的發(fā)展以祖沖之父子的工作為代表。他們?cè)凇毒耪滤阈g(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向

23、前推進(jìn)了一步。根據(jù)史書(shū)的記載，祖沖之曾經(jīng)注解《九章算術(shù)》，并與他的兒子祖暅共撰《綴術(shù)》六卷。,① 圓周率　據(jù)推測(cè)， 祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到 3.1415926< π <3.1415927。他又創(chuàng)造了新的方法，得到圓周率兩個(gè)分?jǐn)?shù)值，即約率22/7(= 3.142857142857143)和密率355/113(= 3.141592920353982 )。祖沖之這一工

24、作，使中國(guó)在圓周率計(jì)算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久。,② 祖暅公理和球體積　祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同則積不容異”即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積必相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個(gè)公理和劉徽的“牟合方蓋”模型（ 圖8），解決了劉徽尚未解決的球體積公式。,③ 二次與三次方程　《隋書(shū)·律歷志》在敘述祖沖之的圓周率以后說(shuō)：“又設(shè)開(kāi)差冪，開(kāi)差立，兼以正負(fù)參之。指要精密，算氏之最者也?！?/p>

25、中國(guó)古代稱正系數(shù)的二次與三次方程解法為開(kāi)帶從平方和開(kāi)帶從立方，祖沖之用“差冪”取代帶從平方，用“差立”取代帶從立方，應(yīng)指包括負(fù)系數(shù)在內(nèi)的二次與三次方程的解法，因?yàn)橹挥胸?fù)系數(shù)的方程在開(kāi)方時(shí)才需“兼以正負(fù)參之”。,隋、唐數(shù)學(xué)的發(fā)展,隋朝，民族大融合，土木工程建設(shè)較多。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要是討論土木工程中計(jì)算土方、工程的分工、驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題。提出三次方程的問(wèn)題。,《緝古算經(jīng)》涉及到立體體積計(jì)算、勾股計(jì)算、建立和求解三

26、次方程x3+ax2+bx=A（a、b和A，非負(fù)），建立和求解雙二次方程x4+ax2=A（a、A，為正，這是一種特殊形式的四次方程）等數(shù)學(xué)內(nèi)容。,隋朝的官學(xué)設(shè)立：國(guó)子學(xué)、太學(xué)、四門學(xué)、書(shū)學(xué)、算學(xué),唐朝，中央專設(shè)學(xué)校（六學(xué)一館）：國(guó)子學(xué)、太學(xué)、四門學(xué)、書(shū)學(xué)、算學(xué)、律學(xué)廣文館,隋、唐數(shù)學(xué)的發(fā)展,算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書(shū)》，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。,算經(jīng)十書(shū)：《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島

27、算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《輯古算經(jīng)》《綴術(shù)》《五曹算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》,隋唐時(shí)期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。206年，為了確定合朔時(shí)刻，劉洪在《乾象歷》中首次提出用一次內(nèi)插公式來(lái)確定月球在n + s（n為正整數(shù)，s<1）日共行的度數(shù)。600年，隋代天文學(xué)家劉焯在《皇極歷》中提出一個(gè)推算日、月、五星視行度數(shù)的等間距二次內(nèi)插公式。727年一行（張燧）在他

28、的《大衍歷》中又提出一個(gè)不等間距的二次內(nèi)插公式。唐代其他歷法，都應(yīng)用內(nèi)插法進(jìn)行計(jì)算。,隋、唐數(shù)學(xué)的發(fā)展,計(jì)算技術(shù)的改革　算籌是中國(guó)古代的主要計(jì)算工具，它具有簡(jiǎn)單、形象、具體等優(yōu)點(diǎn)，但也存在布籌占用面積大，運(yùn)籌速度加快時(shí)容易擺弄不正而造成錯(cuò)誤等缺點(diǎn)，因此很早就開(kāi)始進(jìn)行改革。現(xiàn)傳本《數(shù)術(shù)記遺》載有“積算”、“太乙”、“兩儀”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宮”、“運(yùn)籌”、“了知”、“成數(shù)”、“把頭”、“龜算”、“珠算”、“計(jì)數(shù)”等14種

29、算法，反映了這種改革的情況。,唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計(jì)算增多，迫切要求改革計(jì)算方法.這次算法改革主要是簡(jiǎn)化乘、除算法，書(shū)目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的內(nèi)容就是用分解因數(shù)的方法；化多位乘除為個(gè)位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除數(shù)化為首位是1的數(shù)，從而變乘除為加減。《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》記有很多這樣的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外減二”、“隔位加二”、“損一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一個(gè)橫列中進(jìn)行運(yùn)算

30、，它既適用于籌算，也適用于珠算。,五代十國(guó)全圖,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書(shū)省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書(shū)》。1213年鮑干澣之又進(jìn)行翻刻。這些情況為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。從11～14世紀(jì)約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，如賈憲（11世紀(jì)中期）的

31、《黃帝九章算法細(xì)草》（已失傳），劉益（12世紀(jì)中期）的《議古根源》（已失傳），秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》 （1247），李冶的《測(cè)圓海鏡》 （1248）和《益古演段》 （1259），楊輝的《詳解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《楊輝算法》（1274～1275），朱世杰的《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》 （1303）等，很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰。其中一些成就也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的高峰。,概 述,增乘開(kāi)方法與賈憲三角（二

32、項(xiàng)系數(shù)表）　從開(kāi)平方、開(kāi)立方到4次以上的開(kāi)方，在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍，實(shí)現(xiàn)這個(gè)飛躍的是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開(kāi)平方法”、“增乘開(kāi)立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開(kāi)方作法本源圖”、“增乘方法求廉草”和用增乘開(kāi)方法開(kāi) 4次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開(kāi)方法。這兩項(xiàng)成就對(duì)整個(gè)宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比巴斯卡三角形早600多年。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,高

33、次方程數(shù)值解法　把增乘開(kāi)方法推廣到數(shù)字高次方程（包括系數(shù)為負(fù)的情形）解法的是劉益（12世紀(jì)中期）?！稐钶x算法》中《田畝比類乘除捷法》卷下介紹了原書(shū)中22個(gè)二次方程和1個(gè)四次方程，后者是用增乘開(kāi)方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書(shū)九章》中收集了21個(gè)用增乘開(kāi)方法解高次方程（最高次數(shù)為10）的問(wèn)題。為了適應(yīng)增乘開(kāi)方法的計(jì)算程序，秦九韶把常數(shù)項(xiàng)規(guī)定為負(fù)數(shù)。他把高次方程解法分成各種類型，如：n次項(xiàng)系數(shù)不

34、等于1的方程，奇次冪系數(shù)均為零的方程，進(jìn)行x=y+c代換后常數(shù)項(xiàng)變號(hào)的方程與常數(shù)項(xiàng)符號(hào)不變而絕對(duì)值增大的方程等。方程的根為非整數(shù)時(shí)，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母、常數(shù)為分子來(lái)表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無(wú)理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第 2位數(shù)時(shí)，秦九韶還提出以一次項(xiàng)系數(shù)除常數(shù)項(xiàng)為根的第 2位數(shù)的試除法。秦九韶的方法比霍納方法早500多年。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,高階等差級(jí)數(shù)求和　高階等差

35、級(jí)數(shù)求和起源于沈括的“隙積術(shù)”。用棋子之類的東西堆成長(zhǎng)方垛，棋子總數(shù)為cd + (a+1)(b+1) +…+(c-1)(d-1) + cd = [(2b + d)a +(2d + b)c] n/6+ (c - a) n/6 。楊輝在《詳解九章算法》中討論了上述垛積的 3個(gè)特例。即方亭垛（a＝b，c＝d）、方錐垛（a=b=1，c=d=n）和三角垛（通項(xiàng)為n(n + 1)/2）。朱世杰把高階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題與二項(xiàng)系數(shù)表結(jié)合起來(lái)，得到更復(fù)雜的

36、三角形垛和嵐形垛。,1，5，11，20，33，51，75，106,……,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,內(nèi)插法　元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時(shí)歷》（1280）中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問(wèn)題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法（他們稱為招差術(shù)），朱世杰得到一個(gè)四次函數(shù)的內(nèi)插公式：,一次同余式組解法　《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題已提到一次同余式組解法的例子，秦九韶把它一般化。在這個(gè)方法中有一個(gè)必須解決的關(guān)鍵問(wèn)題是求同

37、余式k i Gi ≡1(mod ai )中的k i， 式中Gi =M/ ai (M=a1a2…ap)。秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》大衍類里，用更相減損的方法給出k i，一個(gè)計(jì)算程序，完滿地解決了這個(gè)問(wèn)題，此外，秦九韶還討論了模數(shù)ai是收數(shù)（小數(shù)）、通數(shù)（分?jǐn)?shù)）、元數(shù)（一般正整數(shù)）、復(fù)數(shù)（10n的倍數(shù)）非兩兩互素的情形，并分別給出變上述4種數(shù)為兩兩互素的模數(shù)的方法。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,高次方程立法 用天元作為未知數(shù)符號(hào)，立出高次方程，古代稱

38、為天元術(shù)。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào)，并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題?，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測(cè)圓海鏡》。李冶在一次項(xiàng)系數(shù)右旁記一“元”字（或在常數(shù)項(xiàng)右旁記一“太”字）。元以上的系數(shù)分別表示各正次冪，元以下的系數(shù)表示常數(shù)和各負(fù)次冪（在《益古演段》中又把這個(gè)次序倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)）。建立方程的具體方法是，根據(jù)問(wèn)題的已知條件，列出兩個(gè)相等的多項(xiàng)式p1(x)和p2(x)，令二者相減，即得一個(gè)數(shù)字高次方程。若其中一個(gè)多項(xiàng)式是分式多項(xiàng)式，如p

39、1(x) = q1(x)/q2(x) ，李冶則變另一多項(xiàng)式p2(x)為p2(x) q2(x)/q2(x)，使二者相減時(shí)消去分式多項(xiàng)式的分母，得 q1(x) - p2(x) q2(x) = 0。這是劉徽關(guān)于率的概念在多項(xiàng)式運(yùn)算中的應(yīng)用與發(fā)展。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,高次聯(lián)立方程組　從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造。祖頤在《四元玉鑒》后序中提到，平陽(yáng)李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，霍山劉大鑒《

40、乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱漢卿“按天、地、人、物立成四元”。前二書(shū)已失傳，留傳至今并對(duì)這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法無(wú)疑是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，他把常數(shù)放在中央。四元的各次冪放在上、下、左、右四個(gè)方向上，其他各項(xiàng)放在四個(gè)象限中。朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法。其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項(xiàng)式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個(gè)一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步

41、消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，得到一個(gè)一元高次方程。最后用增乘開(kāi)方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展。朱世杰的方法比西方同類方法早400多年。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,勾股形解法 勾股形解法在宋元時(shí)期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法， 補(bǔ)充了《九章算術(shù)》的不足。 李冶在《測(cè)圓海鏡》對(duì)勾股容圓問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得到一系列的結(jié)果。他把容圓勾股形分成14個(gè)相似的

42、勾股形，除按傳統(tǒng)的方法給出這些勾股形的名稱外，還用文字作符號(hào)來(lái)表示，與現(xiàn)今用字母A，B，C，…表示幾何圖形相似。從14個(gè)勾股形中，李冶得到692條“識(shí)別雜記”，闡明各勾股形的線段之間與線段的和、差、積之間的關(guān)系。除原有的勾股容圓外，李冶得到勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、勾外容圓、股外容圓、弦外容圓、勾外容圓半、股外容圓半等9個(gè)容圓公式，大大豐富了中國(guó)古代幾何學(xué)的內(nèi)容。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,弧矢割圓術(shù)　已知黃道與赤道的夾角和太

43、陽(yáng)從冬至點(diǎn)向春分點(diǎn)運(yùn)行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個(gè)解球面直角三角形的問(wèn)題。傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計(jì)算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括的會(huì)圓術(shù)（已知弦、矢、半徑求弧長(zhǎng)的近似公式）和天元術(shù)解決了這個(gè)問(wèn)題。整個(gè)推算步驟是正確無(wú)誤的。從數(shù)學(xué)意義上講，這個(gè)方法開(kāi)辟了通往球面三角法的途徑。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,縱橫圖　縱橫圖即幻方，宋元時(shí)期，縱橫圖研究有了很大發(fā)展，楊輝在《續(xù)古摘奇算法》中指出，九宮圖是一個(gè)從1～32的9

44、個(gè)自然數(shù)排成三行三列，其行、列或?qū)蔷€之和均為15的三行縱橫圖。這種圖可以推廣到從 1到n2的情形，它的行、列或?qū)蔷€之和為n(1+n2)/2。他還列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8個(gè)縱橫圖，并指出三行和四行縱橫圖的構(gòu)造方法。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,小數(shù)　現(xiàn)傳本《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》已有化名數(shù)為十進(jìn)小數(shù)的例子。宋元時(shí)代，這種十進(jìn)小數(shù)有了廣泛應(yīng)用和發(fā)展，秦九韶用名數(shù)作為小數(shù)的符號(hào)，李冶則依靠算式的位置表示小數(shù)。楊輝和朱世杰的化斤價(jià)為兩價(jià)

45、的歌訣，是小數(shù)的具體應(yīng)用。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,珠算的出現(xiàn)　中國(guó)古代計(jì)算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時(shí)期。宋元明的歷史文獻(xiàn)中載有大量這個(gè)時(shí)期的實(shí)用算術(shù)書(shū)目，其數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多。改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。“留頭乘”最早見(jiàn)于朱世杰《算學(xué)啟蒙》?！熬艢w”最早出現(xiàn)在沈括的《夢(mèng)溪筆談》，楊輝在《乘除通變本末》（1274）、朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中進(jìn)一步把 它完善?！皻w除”最早見(jiàn)于《算學(xué)啟蒙》，“撞歸”、“起一”是朱世杰首先提出來(lái)的，丁巨（著有《丁巨

46、算法》，1355）、何平予（著有《詳明算法》，1373）和賈亨（著有《算法全能集》）把它具體化。“留頭乘”與“歸除”的出現(xiàn)，使乘除法不需任何變通便可在一個(gè)橫列里進(jìn)行，與現(xiàn)今珠算的方法完全一樣。與算法改革的同時(shí)，穿珠算盤在北宋已可能出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說(shuō)它最后完成于元代。,宋、元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展,珠算的普及　從明初到明中葉，商品經(jīng)濟(jì)有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應(yīng)的是珠算的普及。明初《魁本

47、對(duì)相四言雜字》（1371）和《魯班木經(jīng)》（15世紀(jì)上半葉）的出現(xiàn)，說(shuō)明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識(shí)字的課本，后者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器家具手冊(cè)中。隨后，珠算著作也陸續(xù)出現(xiàn)。如吳敬《九章詳注比類算法大全》（1450）、王文素《古今算學(xué)寶鑒》（1524）、徐心魯《盤珠算法》（1573）、柯尚遷《數(shù)學(xué)通軌》（1578）、朱載堉的《算學(xué)新說(shuō)》（1584）、程大位《直指算法統(tǒng)宗》（1592）等。隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐

48、漸趨于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣并在除法中廣泛應(yīng)用歸除，從而實(shí)現(xiàn)了珠算四則運(yùn)算的全部口訣化；朱載堉和程大位把籌算開(kāi)平方和 開(kāi)立方的方法應(yīng)用到珠算，程大位用珠算解數(shù)字二次、三次方程等等。程大位的著作在國(guó)內(nèi)外流傳很廣，影響很大,明、清時(shí)期數(shù)學(xué),九九口訣,加法口訣,一歸（用1除）：逢一進(jìn)一，逢二進(jìn)二，逢三進(jìn)三，逢四進(jìn)四，逢五進(jìn)五，逢六進(jìn)六，逢七進(jìn)七，逢八進(jìn)八，逢九進(jìn)九.二歸（用2除）：逢二

49、進(jìn)一，逢四進(jìn)二，逢六進(jìn)三，逢八進(jìn)四， 二一添作五.三歸（用3除）：逢三進(jìn)一，逢六進(jìn)二，逢九進(jìn)三，三一三余一，三二六余二.四歸（用4除）：逢四進(jìn)一，逢八進(jìn)二，四二添作五，四一二余二，四三七余二.五歸（用5除）：逢五進(jìn)一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八.六歸（用6除）：逢六進(jìn)一，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二.七歸（用7除）：逢七進(jìn)一，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五

50、七余一，七六八余四.八歸（用8除）：逢八進(jìn)一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六.九歸（用9除）：逢九進(jìn)一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八.,明、清時(shí)期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)的傳入,1582年意大利傳教士利瑪竇到中國(guó)，1607年以后，先后與徐光啟翻譯《幾何原本》前6卷（1607）、《測(cè)量法義》1卷（1607～1608），與李之藻編

51、譯《圜容較義》（1608）和《同文算指》（1613）。1629年，徐光啟被禮部任命在歷局督修歷法，在他主持下， 編譯《崇禎歷書(shū)》137卷?！冻绲潥v書(shū)》主要是介紹歐洲天文學(xué)家第谷的地心學(xué)說(shuō)，作為這一學(xué)說(shuō)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，希臘的幾何學(xué)， 歐洲的三角學(xué)以及納皮爾算籌，伽利略比例規(guī)等計(jì)算工具也同時(shí)介紹進(jìn)來(lái)。,幾何原本》是明清兩代數(shù)學(xué)家必讀的數(shù)學(xué)書(shū)，對(duì)他們的研究工作也頗有影響。其次，應(yīng)用最廣的是三角學(xué)。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測(cè)》2卷（1

52、631）、《割圓八線表》6卷和羅雅谷的《測(cè)量全義》10卷（1631）?！洞鬁y(cè)》主要說(shuō)明三角八線（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢）的性質(zhì)，造表方法和用表方法?！稖y(cè)量全義》除增加一些《大測(cè)》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角（直角三角形的弧與角的關(guān)系式和一般三角形的正弦定理和余弦定理）。所有這些，在當(dāng)時(shí)歷法工作中都是隨譯隨用的。,明、清時(shí)期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)的融匯,1646年，波蘭傳教士穆尼閣來(lái)華，跟隨他學(xué)習(xí)西

53、方科學(xué)的有薛鳳祚、方中通等。穆尼閣去世后，薛鳳祚據(jù)其所學(xué)，編成《歷學(xué)會(huì)通》，想把中法西法融會(huì)貫通起來(lái)?！稓v學(xué)會(huì)通》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要有《比例對(duì)數(shù)表》1卷（1653）、《比例四線新表》1卷和《三角算法》1卷（1653）。前兩書(shū)是介紹英國(guó)數(shù)學(xué)家 J.納皮爾和H.布里格斯發(fā)明增修的對(duì)數(shù)。后一書(shū)除《崇禎歷書(shū)》介紹的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式（Delambres analogies）、 納氏比例式（Nepiers analogi

54、es）等。方中通所著《數(shù)度衍》（1641），對(duì)對(duì)數(shù)理論進(jìn)行解釋。對(duì)數(shù)的傳入是十分重要，它在歷法計(jì)算中立即就得到應(yīng)用。,清初學(xué)者研究中西數(shù)學(xué)有心得而著書(shū)傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》1卷，梅文鼎《梅氏叢書(shū)輯要》60卷（其中數(shù)學(xué)著作13種共40卷），年希堯《視學(xué)》2卷等。王錫闡的工作主要是證明兩角和、差的正弦和余弦公式。為了證明上述公式，他對(duì)涉及的名詞概念都逐一加以定義，引入“折”的概念取代角;由于缺乏直角坐標(biāo)系的概念，在證明時(shí)他還

55、把兩弧和兩弧的和差分為小于象限或大于象限的各種情形，方法是獨(dú)具一格的。梅文鼎是集中西數(shù)學(xué)之大成者。他對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進(jìn)行整理和研究，使瀕于枯萎的明代數(shù)學(xué)出現(xiàn)了生機(jī)，在介紹西方數(shù)學(xué)中有校正、證明和補(bǔ)充。例如：校正了羅雅谷關(guān)于比例規(guī)敘述中的錯(cuò)誤，證明三角學(xué)中沒(méi)有證明的公式和定理等。梅文鼎認(rèn)為傳統(tǒng)的勾股形解法就是西方的幾何學(xué)和三角學(xué)，他用勾股形解法的公式證明《幾何原本》前6卷的15個(gè)定理，用勾股

56、方法證明球面直角三角形的邊角關(guān)系公式。他創(chuàng)造一種直角射影的方法證明球面三角學(xué)的余弦定理。對(duì)《測(cè)量全義》介紹的 5種多面體公式，他證明了其中4種，其中關(guān)于二十面體的計(jì)算，他糾正了《測(cè)量全義》和羅雅谷的錯(cuò)誤等。梅文鼎肯定數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際；對(duì)西方數(shù)學(xué)，他認(rèn)為“技取其長(zhǎng)而理唯其是”，“法有可采何論東西，理所當(dāng)明何分新舊”，應(yīng)該“去中西之見(jiàn)，以平心觀理”，態(tài)度是比較正確的。年希堯的《視學(xué)》是中國(guó)第一部介紹西方透視學(xué)的著作。,明、清時(shí)期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)

57、的融匯,清康熙皇帝十分重視西方科學(xué)，他除了親自學(xué)習(xí)天文數(shù)學(xué)外，還培養(yǎng)了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅玨成任蒙養(yǎng)齋匯編官，會(huì)同陳厚耀、何國(guó)宗、明安圖、楊道聲等編纂天文算法書(shū)。1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙“御定”的名義于1723年出版。其中《數(shù)理精蘊(yùn)》53卷主要由梅玨成負(fù)責(zé)，分上下2編，上編包括《幾何原本》3卷、《算法原本》1卷，均譯自法文著作；下編40卷，包括算術(shù)、代數(shù)、平面幾何、平面三角、立體幾何等初等數(shù)

58、學(xué)，附有素?cái)?shù)表、對(duì)數(shù)表和三角函數(shù)表。《數(shù)理精蘊(yùn)》的基本內(nèi)容除傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和早期傳入的西方數(shù)學(xué)外，新傳入的數(shù)學(xué)有借根方比例、“連比例”方法，橢圓面積和橢球體積以及計(jì)算尺、素?cái)?shù)表等。由于它是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)百科全書(shū)，并有康熙“御定”的名義，因此對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究是具有一定影響的。,明、清時(shí)期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)的融匯,1701年法國(guó)人杜德美帶來(lái)J.格雷果里的“弧求正弦”、“弧求正矢”和I.牛頓的“圓徑求周”三個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的公式，但沒(méi)有證明。1800年

59、前后，明安圖、董祐誠(chéng)、項(xiàng)名達(dá)各自依據(jù)《數(shù)理精蘊(yùn)》提出的“連比例”方法，對(duì)這些級(jí)數(shù)進(jìn)行研究，獲得一些創(chuàng)造性結(jié)果。明安圖著有《割圓密率捷法》4卷 （1774年由他的學(xué)生陳際新定稿），他除了證明杜德美傳入的 3個(gè)公式外，還創(chuàng)造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6個(gè)新的公式。,明、清時(shí)期數(shù)學(xué),西方數(shù)學(xué)的融匯,董祐誠(chéng)著有《割圜連比例圖解》2卷（1819），他把明安圖9個(gè)公式概括為“分弧通弦求全弧通

60、弦”、“分弧中矢求全弧中矢”、“分弧通弦求通弧通弦”、“分弧中矢求通弦中矢”4個(gè)公式。1837年項(xiàng)名達(dá)又把董祐誠(chéng)的4個(gè)公式概括為“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”兩個(gè)公式。他著有《象數(shù)一原》6卷（1837，由戴煦續(xù)成）。著作后面附有《橢圓求周術(shù)》，正確地解決了橢圓求周長(zhǎng)的問(wèn)題。,戴煦對(duì)三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)公式和橢圓求周的問(wèn)題也有研究，著有《外切密率》4卷（1852），補(bǔ)充正切、余切、正割、余割四個(gè)冪級(jí)數(shù)公式。為了簡(jiǎn)化對(duì)數(shù)的計(jì)算，

61、他創(chuàng)立了指數(shù)為任何有理數(shù)的二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，從而也得到對(duì)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)公式。這些成果記載在他著的《對(duì)數(shù)簡(jiǎn)法》2卷（1845）和《續(xù)對(duì)數(shù)簡(jiǎn)法》1卷（1846）中。,李善蘭在1845年著有《方圓闡幽》1卷，《弧矢啟秘》2卷與《對(duì)數(shù)探源》2卷。他創(chuàng)造尖錐術(shù)，并用它來(lái)論證二項(xiàng)平方根的冪級(jí)數(shù)公式，π的冪級(jí)數(shù)公式，“正弦求弧”、“正切求弧”、“弧求正弦”、“弧求正切”、“弧求正矢”、“弧求正割”等三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)冪級(jí)數(shù)公式。所謂尖錐術(shù)