《數(shù)學(xué)史》課件

1、第三章 中世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué),主講人：翟影 搜集資料：劉玲 ppt制作：李艾娟,希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個(gè)中世紀(jì)的歐洲湮沒(méi)不彰。數(shù)學(xué)史上繼希臘幾何興盛時(shí)期之后是一個(gè)漫長(zhǎng)的東方時(shí)期。中世紀(jì)（公元5-17世紀(jì)）數(shù)學(xué)的主角，是中國(guó)、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)。,與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，特別是中國(guó)與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括，不講究命題的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。,就繁榮

2、時(shí)期而言，中國(guó)數(shù)學(xué)在上述三個(gè)地區(qū)是延續(xù)最長(zhǎng)的。從公元前后至公元14世紀(jì)，先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期以及宋元時(shí)期，其中宋元時(shí)期達(dá)到了中國(guó)古典數(shù)學(xué)的頂峰。,3.1《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》,3.1.1 古代背景,,第一章中已涉及了中國(guó)遠(yuǎn)古數(shù)與形概念的萌芽。殷商甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，又開(kāi)始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位值制籌算記數(shù)。,《孫子算經(jīng)》中記載的籌算記數(shù)法則說(shuō)：“凡算之法，先識(shí)其位。一縱十橫

3、，百立千僵。千十相望，百萬(wàn)相當(dāng)”。,縱式用來(lái)表示個(gè)位、百位、萬(wàn)位，……數(shù)字；橫式用來(lái)表示十位、千位、十萬(wàn)位、……數(shù)字?？v、橫相間，零則以空位表示。這樣，數(shù)76 031用算籌表示出來(lái)是 。這種十進(jìn)位值記數(shù)法是中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的特殊貢獻(xiàn)。,關(guān)于幾何學(xué)，《史記》“夏本紀(jì)”記載說(shuō)：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”。“規(guī)”是圓規(guī)，“矩”是直尺，“準(zhǔn)繩”則是確定鉛垂方向的器械。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽,社會(huì)歷史背景條件

4、 相對(duì)封閉的疆域 大河背景下的農(nóng)耕文化 集中的王權(quán) 中國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 形成了以計(jì)算為核心的算法理論 具有濃郁應(yīng)用色彩 中國(guó)數(shù)學(xué)的成就 第一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》（大約公元前200年左右） 公元3世紀(jì)至13世紀(jì)，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的眾多數(shù)學(xué)成果,形成國(guó)家數(shù)學(xué)教育的體制,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生

5、以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時(shí)期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號(hào)。到原始公社末期，已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽,,“數(shù)學(xué)”一詞相當(dāng)于我國(guó)古代的“算術(shù)” 數(shù)學(xué)一詞，在中國(guó)最早出現(xiàn)在12世紀(jì)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之源者，是數(shù)學(xué)”。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽,戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對(duì)于正名和一些命題的爭(zhēng)

6、論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。儒家以“九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以《周易》象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托.墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨經(jīng)》的邏輯學(xué)為其論說(shuō)的工具。名家認(rèn)為經(jīng)過(guò)抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉?lái)的實(shí)體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無(wú)窮大)定義為“至大無(wú)外”，“小一”(無(wú)窮小)定義為“至小無(wú)內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”等命題。 《九章算術(shù)》中的名題：“女子善

7、織，日子倍”。,3.1.2《周髀算經(jīng)》,在現(xiàn)存的中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中，《周髀算經(jīng)》是最早的一部。 作者不祥，成書(shū)年代應(yīng)不晚于公元前2世紀(jì)西漢時(shí)期，但書(shū)中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識(shí)，有的可追溯到西周（公元前11世紀(jì)-前8世紀(jì)）。這部著作實(shí)際上是從數(shù)學(xué)上討論“蓋天說(shuō)”（天圓地方）宇宙模型，反映了中國(guó)古代數(shù)學(xué)與天文學(xué)的密切聯(lián)系。從數(shù)學(xué)上看，《周髀算經(jīng)》主要的成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在天文測(cè)量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。,“周髀”是測(cè)

8、量日影的工具—八尺長(zhǎng)竿,蓋天說(shuō),勾股定理,宋版書(shū)影,日高術(shù),《周髀算經(jīng)》: 數(shù)學(xué)著作,天文學(xué)著作.  “蓋天說(shuō)”的代表.  約成書(shū)于西漢時(shí)期(公元前2世紀(jì)).  數(shù)學(xué)內(nèi)容:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法、用勾股定理來(lái)計(jì)算高深遠(yuǎn)近和比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算等.,《周髀算經(jīng)》,蓋天說(shuō)認(rèn)為大地象個(gè)平面，天象口大鍋扣在地上。注：到西漢時(shí)期，有蓋天說(shuō)、渾天說(shuō)和宣夜說(shuō)。渾天說(shuō)認(rèn)為天是球形的，大地在中間。宣夜說(shuō)認(rèn)

9、為宇宙是無(wú)限的空間，天體浮生于其中，其運(yùn)動(dòng)需要“氣”的作用。,《周髀算經(jīng)》上卷 :勾股定理的證明,昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？” 　　商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤(pán)，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！?“勾廣三

10、,股修四,徑隅五”,商高定理-----勾股定理,返回,“……以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開(kāi)方除之,得邪至日.”,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,周人的測(cè)日影表古代認(rèn)為夏至?xí)r立一8尺高的標(biāo)竿，它的影長(zhǎng)正好是6尺。“求邪至日者，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬(wàn)里?！?日高公式（重差術(shù)）：,影差d =后影長(zhǎng)BD — 前影長(zhǎng)AC = b — a,表距AB = e,中國(guó)數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證

11、明的數(shù)學(xué)家，是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽（吳）。趙爽注《周髀算經(jīng)》，作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當(dāng)于運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證明了勾股定理。,考察以一直角三角形的勾和股為邊的兩個(gè)正方形的合并圖形，其面積應(yīng)有 如果將這合并圖形所含的兩個(gè)三角形移補(bǔ)到圖中所示的位置，將得到一個(gè)以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應(yīng)為 ，因此,古代數(shù)學(xué)家趙爽,趙爽，又名嬰，字君卿，中國(guó)數(shù)學(xué)家。東漢末至三

12、國(guó)時(shí)代吳國(guó)人。他是我國(guó)歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家。生平不詳，約生活于公元3世紀(jì)初。趙爽的《周髀算經(jīng)注》逐段解釋《周髀》經(jīng)文。,,,,,3.1.3《九章算術(shù)》,《九章算術(shù)》是中國(guó)古典數(shù)學(xué)最重要的著作。成書(shū)年代至遲在公元前1世紀(jì)，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。 《周禮》記載,西周貴族子弟必學(xué)的六門(mén)課程（“六藝”）中有一門(mén)是“九數(shù)”，劉徽《九章算術(shù)注》“序”中就稱《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)，并經(jīng)過(guò)西漢張蒼（?-

13、公元前152）、耿壽昌等人刪補(bǔ)。,《九章算術(shù)》采用問(wèn)題集的形式，全書(shū)246個(gè)問(wèn)題，分成九章。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系形成,《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來(lái)說(shuō)，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開(kāi)平方與開(kāi)立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是

14、很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它形成了一個(gè)以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系。,《九章算術(shù)》的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)的。劉徽稱：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”。,《九章算術(shù)》標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系已初步形成?！〈砹酥袊?guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點(diǎn)：注重實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨(dú)有的計(jì)算工具和程序化計(jì)

15、算方法,明代刊印的《九章算術(shù)注》,中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系形成,《九章算術(shù)》在隋唐時(shí)期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國(guó)家當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教科書(shū)。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過(guò)印度、阿拉伯傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。,1.方田：主要是田畝面積的計(jì)算和分?jǐn)?shù)的計(jì)算，是世界 上最早對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行系統(tǒng)敘述的著作。 2.粟米：組好事糧食交易的計(jì)算方法，其中涉及許多比

16、例問(wèn)題。 3.衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。 4.少?gòu)V：主要講開(kāi)平方和開(kāi)立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學(xué)問(wèn)題，以體 積的計(jì)算為主。 6.均輸：計(jì)算稅收等更加復(fù)雜的比例問(wèn)題。 7.盈不足：雙設(shè)法的問(wèn)題。 8.方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負(fù)數(shù)的加減 法，在世界數(shù)學(xué)史上是第一次出現(xiàn)。 9.勾股：勾股定理的應(yīng)

17、用。,《九章算術(shù)》的內(nèi)容,(一）算術(shù)方面,（1）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則?！毒耪滤阈g(shù)》“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則。 （2）比例算法?！毒耪滤阈g(shù)》“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問(wèn)題，并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問(wèn)題的基本算法。 （3）盈不足術(shù)?！坝蛔恪毙g(shù)是以盈虧類問(wèn)題為原型，通過(guò)兩次假設(shè)來(lái)求繁難算術(shù)問(wèn)題的解的方法。 “盈不足術(shù)”在中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作中稱為“契丹算

18、法”，即中國(guó)算法。,,（二）代數(shù)方面,（1）方程術(shù)?！胺匠绦g(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法。 （2）正負(fù)術(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》在代數(shù)方面的另一項(xiàng)突出貢獻(xiàn)是負(fù)數(shù)的引進(jìn)。(3) 開(kāi)方術(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》“少?gòu)V”章有“開(kāi)方術(shù)”和“開(kāi)立方術(shù)”，給出了開(kāi)平方和開(kāi)立方的算法。《九章算術(shù)》開(kāi)方術(shù)本質(zhì)上是一種減根變換法，開(kāi)創(chuàng)了后來(lái)開(kāi)更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。,,（三）幾何方面,《九章算術(shù)》“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問(wèn)題。其中“方田”章討論

19、面積問(wèn)題，“商功”章討論體積問(wèn)題，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。,各種幾何圖形的名稱就反映著它們的現(xiàn)實(shí)來(lái)源。如平面圖形有“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圓田”（圓）、“弧田”（弓形）、“環(huán)田”（圓環(huán)）等；立體圖形則有“倉(cāng)”（長(zhǎng)方體）、“方亭”（平截頭方錐）、“陽(yáng)馬”（底面為長(zhǎng)方形而有一棱與地面垂直的錐體）以及“芻童”（上、下底面都是長(zhǎng)方形的棱臺(tái)）等等。,《九章算術(shù)》中給出的所有直