中國數(shù)學史 (1)

1、亞歷山大后期數(shù)學 中世紀的中國數(shù)學,數(shù)本2003級,教學目標: 了解亞歷山大后期數(shù)學及《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》數(shù)學內(nèi)容,理解劉徽、祖沖之及祖恒重要數(shù)學成就的數(shù)學思想和方法，掌握劉徽及祖恒獲得球體積公式的“牟合方蓋”模型構(gòu)造及過程，熟練掌握《九章算術(shù)》中的重要數(shù)學成就和“出入相補”原理及其運用。教學重點：《九章算術(shù)》及劉徽、祖氏父子數(shù)學成就教學難點：球體積公式的證明,一、 亞歷山大后期和希臘數(shù)學的衰落,主要代表人物：海

2、倫、托勒玫、丟番圖、帕波斯海倫（公元前1世紀——公元1世紀），代表作《量度》，發(fā)現(xiàn)三角形面積公式 S=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 其中a，b，c為三邊，s=(a+b+c)/2托勒玫（約100—170年），代表作《天文學大成》，創(chuàng)立了三角學，并列出了從1/2度到1800每隔半度的圓心角所對的弦的長度，相當于00到900的正弦表。在《大成》中提出了地心說，后被中世紀基督教尊為教條，文藝復興時期被

3、哥白尼日心說取代。,（一）三角術(shù)的創(chuàng)立 為建立定量天文學，以便用來預報天體運行的路線、位置，幫助報時、計算日歷和航海，古希臘人創(chuàng)立了一門全新的學科——三角術(shù)。三角術(shù)主要由希帕克斯、梅內(nèi)勞斯和托勒玫（天文學家）建立。其中希帕克斯作了奠基性工作，梅內(nèi)勞斯給予發(fā)展，托勒玫進行完善、總結(jié)并將成果收集在《大成》中。（二）弦表的制作 在三角術(shù)的建立過程中，古希臘人獲得了包括今天我們知道的相當于兩角和、差的三角公式、半

4、角與倍角等公式。此外，還制成30°～180°每隔0.5度的圓心角所對弦的長度表（相當于正弦函數(shù)表），其制作過程和原理介紹如下：,,1、問題,已知弧AB所對圓心角2求弦AB,由今天的知識知AC／AO﹦sin當時，托勒玫將圓周分為360份，直徑分為120份，∴ sin ﹦AC／AO﹦(1/2)AB／60﹦1/120（2 所對弦）,,,,,,,,O,A,B,C,,2、計算特殊角的弦,90°的弦AB

5、=84 51’10’’,,,,,,,,,,,O,A,B,,,,,,A,B,C,O,E,F,,,E為CO中點，BE=EFFO、BF分別為圓內(nèi)接正十、五邊形的一邊,EB2=BO2+EO2=602+302=4500EB=67 4’55’‘36°的弦FO=EF-EO=EB-EO=37 4’55‘’72°的弦BF=70 32‘3’‘,3、補弧定理,4、托勒玫定理：圓內(nèi)接四邊形兩對角線長的乘積等于兩對邊乘積之和。,,,,

6、,,A,B,C,已知弧BC的弦為BC，圓心角為 ，則( 的弦)2+[(1800－ )的弦]2=AB2相當于sin2 +cos2 =1,5、差弧定理,當圓內(nèi)接四邊形一邊為直徑時，已知AB，AC，則可求出BC,,,,,A,B,C,D,由托勒玫定理有AC·BD=AB·CD+BC·AD由補弧定理,AB已知,由BD可求;同理可求CD,ADO為直徑,故BC可求,結(jié)論：∠ADC和∠ ADB

7、所對弦已知，差角∠ BDC所對弦可求，即兩角差的三角函數(shù)公式,6、托還求出相當于今天的半角、倍角及求和公式，根據(jù)這些定理制作出了弦表。,丟番圖（公元246——330年），代數(shù)學的鼻祖。墓志銘：童年占一生的1/6，此后過了一生的1/12開始長胡子，再過一生的1/7后結(jié)婚，婚后5年生了個孩子，孩子活到父親的一半的年齡，孩子死后4年父親也去世，問丟番圖活了多少歲？主要代表作《算術(shù)》，以解不定方程而著稱。創(chuàng)用了一套縮寫符號。著名問題：將一

8、個已知的平方數(shù)分為兩個平方數(shù)。（引出了費馬大定理：xn+yn=zn 沒有正整數(shù)解）,重要貢獻：創(chuàng)用一套縮寫符號，使用了特殊的記號表示未知數(shù) 。,,,表示方程 x3－5x2+8x －1=0,不足：解題方法上缺乏一般性。,其他數(shù)學家：尼馬可修斯（公元100年左右），《算術(shù)入門》，數(shù)論著作，采用“篩法”尋找質(zhì)數(shù)。梅內(nèi)勞斯——《球面論》希帕蒂婭——第一位杰出的女數(shù)學家。被基督教暴徒殘殺。,帕波斯（約公元300—350年），數(shù)學評注

9、家，著作《數(shù)學匯編》（是希臘數(shù)學的安魂曲）,二 《周髀算經(jīng)》,（一）古代背景１、背景：我國在公元前兩千多年前（大禹時期）進入奴隸社會，于公元前400多年左右（戰(zhàn)國時期）進入封建社會，以后有幾段太平盛世，形成超穩(wěn)定社會結(jié)構(gòu)。生產(chǎn)力發(fā)展較快，數(shù)學研究也處于較高水平。在萌芽期，水平與古埃及、巴比倫相當，春秋戰(zhàn)國至魏晉南北朝時期數(shù)學可與古希臘媲美，中世紀宋元時期則發(fā)展為一枝獨秀。,凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。滿

10、六以上，五在上方，六十積算，五不單張。,２、古算特點： 講求實用：為天文、經(jīng)濟、軍事和文化需要而產(chǎn)生并發(fā)展起來的。 機械化算法體系：計算為主，獨創(chuàng)計算工具“算籌”，促進了計算技術(shù)的發(fā)展，成為當時世界最先進的數(shù)學成就。 構(gòu)造性和可計算性。 著作形式。,3、理論幾何萌芽,《算經(jīng)十書》——漢唐時期的數(shù)學 代表作。,《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、

11、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《數(shù)術(shù)記遺》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《夏侯陽算經(jīng)》（二）《周髀算經(jīng)》——中國古代數(shù)學著作中最早的一部。以蓋天說為中心的天文學著作，有許多數(shù)學知識。如以文字敘述了勾股算法，還有許多屬于分數(shù)乘、除法的實際問題，演算水平相當高。,1、蓋天說,西漢時期關(guān)于宇宙結(jié)構(gòu)的學說。,給出四分歷法（用潤月調(diào)節(jié)四時氣候的陰歷歷法），一個回歸年為365又1/4天。,2、分數(shù)運算,,3、勾股定理,特例（西周初公

12、元前１１世紀）：32+42=52一般形式（公元前6～7世紀）：勾2+股2=弦2最早的證明　　公元３世紀趙爽（三國時期）在注《周髀算經(jīng)》時作“弦圖”證明，運用了“出入相補原理”（割補法）進行證明,《九章算術(shù)》——集中了過去和當時的幾乎全部數(shù)學知識，以應(yīng)用問題解法集成的題例編成，成書于公元前1世紀前，是先秦至西漢中葉期間編篡。共246個問題，分九章。（一）方田章 講平面圖形的面積和邊界的計算，還涉及分數(shù)及其算法

13、。,三、 《九章算術(shù)》,方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步（“廣”即“長”，“從”即“寬”）,1、面積計算,如圖，CD為高，取AD、BD中點E、F，則面積Ⅰ﹦Ⅰ′，Ⅱ﹦Ⅱ′ 注:證明可推廣到一般三角形,圭田術(shù)曰：半廣以乘正從劉徽注：半廣者，以盈補虛得圭田也,邪田術(shù)曰：并兩邪以半者,以乘正從者廣 劉徽注：并而半之者,以盈補虛也,如圖,求直角梯形的面積,,,,,圓田術(shù)曰：半周乘半徑者也 劉徽注：割之彌細，所失彌少，割之又割

14、，以至于不可割，則與圓合體而無所失也,見P79,2、分數(shù)理論,實如法而一，不滿法者，以法命之,約分術(shù)曰：可半者半之，不可半者，由量分母之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。,齊同術(shù)　 劉徽注：凡母互乘謂之齊，群母相乘謂之同，母同則子通,（二）粟米章 講各種谷物之間的換算，主要用“今有術(shù)”，即按今有數(shù)據(jù)比例進行計算。,率：交換中等價物的數(shù)量粟米之法：粟米五十，糲米三十，橰米二十七……率即一組相關(guān)變量x1

15、,……xn；x1’……xn’成立線性關(guān)系：xi’=kxi則稱每一個xi為一個率今有術(shù)：所求數(shù)＝（所有數(shù)×所求率）/所有率,例：（本章第一問）　　　　　今有粟一斗，欲為糲，問得幾何？　　　　　答曰：為糲米六升術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實，以所有率而法，實如法而一。,注：“今有術(shù)”變形：所求數(shù)/所求率＝所有數(shù)/所有率即四項比例算法，此法傳到歐洲稱：“黃金算法”。所　有術(shù)是解決比例問題的基礎(chǔ)理論，劉徽稱“此都術(shù)也”,（三

16、）衰分章 衰（cui)即有遞減之意。衰分是按一定比率分配的意思。,（四）少廣章 截多補少之意，本章講由田畝的面積、 長方體的體積或球的體積出發(fā)，求田畝的邊長、長方體的邊長或球徑長。因此有世界上最早的多位數(shù)開方的法則。,（五）商功章：商即商量、度量之意，商功就是度量土土石方等的方法。本章講多種體積算法。（六）均輸章：講合理運輸?shù)臄?shù)學問題，還有行程、抽稅、按等級分物等問題，內(nèi)容較復雜，涉及比例、復比、等差級數(shù)等知

17、識。（七）盈不足章：講用過剩（盈）與不足近似值逐步逼近求解方程的根，稱為“盈不足術(shù)”，又稱試位法或雙設(shè)法。中世紀傳入歐洲后稱為“契丹算法”，現(xiàn)稱弦位法。（八）方程章：講線性方程組的消元法，同時還引進了負數(shù)，兩者長期在世界上是首屈一指的。（九）句股章：即勾股，討論用勾股定理解應(yīng)用問題。,三國以前，我國數(shù)學要籍，首推《九章算術(shù)》。劉徽在數(shù)學上的貢獻，主要在其《九章算術(shù)注》一書?！端鍟肪?6《律歷上》載：“魏陳留王景元四年劉徽注《九章

18、》”。是知《九章算術(shù)注》完成于景元四年（263年）?！端鍟肪?4《經(jīng)籍志三》有《九章算術(shù)》十卷、《九章重差圖》一卷，均注明系劉徽撰。,后《九章重差圖》失傳，唐人將《九章算術(shù)注》內(nèi)有關(guān)數(shù)學用于測量的《重差》一卷取出，獨成一書，因其中第一個問題系測量海島，故改名為《海島算經(jīng)》。劉徽這兩個著作是我國數(shù)學史上寶貴的文獻，即在世界數(shù)學史上也有一定的地位。今述其主要貢獻如下：,四、劉徽的主要數(shù)學成就,劉徽《九章注》和《九章算術(shù)》與古希臘的《幾何原

19、本》相輝映，各具特色。主要成就：1、割圓術(shù)：圓周率精確到二位小數(shù)即3.14，稱為“徽率”， π值是否正確，直接關(guān)系到天文歷法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的應(yīng)用，所以精確計算π值，是數(shù)學上的一個重要任務(wù)。 公元前三世紀希臘數(shù)學家阿基米得曾提出圓周長于內(nèi)接圓內(nèi)多邊形而小于圓外切多邊形周長，算出了的數(shù)值。但阿基米得是用的歸謬法，他避開了無窮小和極限，而劉徽應(yīng)用了極限的概念，且只用圓內(nèi)接正多邊形的面積計算，而省去

20、了計算圓外切正多邊形的面積，從而收到了事半功倍之效。,2、體積理論：出入相補原理 （1）陽馬術(shù)：運用極限法 （2）球體積：創(chuàng)立了新的圖形“牟合方蓋” （正方體內(nèi)兩個圓柱垂直相交部分）,陽馬術(shù)：運用極限法,即求錐體的體積,a,b,c,V錐體=1/3abc,,,,,,,陽馬,鱉,漸堵,1個長方體2個小漸堵2個小陽馬,1個長方體2個小漸堵2個小鱉,,陽馬,鱉,1個長方體2個小漸堵2個小陽馬,2個小漸堵2個小鱉,大漸堵,1

21、個長方體體積+4個小漸堵體積=3/4大漸堵的體積2個小陽馬+2個小鱉= 1/4大漸堵的體積,陽馬體積記為Y，鱉體積記為B小陽馬體積記為Y1，小鱉體積記為B1則Y= Y1’+ 2Y1 ，B= B1’ + 2 B1,,,,,,,,,,,,,,1個長方體2個小漸堵,2個小漸堵,1個長方體體積+4個小漸堵體積=3/4大漸堵的體積2個小陽馬+2個小鱉= 1/4大漸堵的體積,體積記為Y1’,體積記為B1’,繼續(xù)剖分小陽馬和小鱉，在第n

22、次剖分后有Y=Σ2i-1Yi’+ 2nYn ，B= Σ2i-1 Bi’ + 2n Bn,Σ2i-1Yi’：Σ2i-1 Bi’ = 2：1設(shè)原漸堵體積為1則Un= 2nYn + 2n Bn=2n-1×2(Yn+Bn) = 2 n-1 ×(1/4) ×(1/8) n-1 =1/4n 0,繼續(xù)剖分小陽馬和小鱉，在第n次剖分后有Y=Σ2i-1Yi’+ 2nYn ，

23、B= Σ2i-1 Bi’ + 2n Bn,Y：B= Σ2i-1Yi’：Σ2i-1 Bi’ = 2：1,陽馬,鱉,,關(guān)于體積計算的劉徽定理一般地說，柱體或多面體的體積計算較比容易解決，而圓錐、圓臺之類的體積就難以求得。劉徽經(jīng)過苦心思索，終于找到了一條途徑，他分別做圓錐的外切正方錐和圓臺的外切正方臺，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：“求圓亭（圓臺）之積，亦猶方冪中求圓冪，圓面積與其外切正方形的面積之比為π∶4，由此他推得：圓臺（錐）的體積與其外切正方臺（錐）的體

24、積之比，也是π∶4。,五、祖沖之與祖暅,祖沖之，字文遠（公元429—500年）。祖沖之的主要成就在數(shù)學、天文歷法和機械制造三個領(lǐng)域。此外祖沖之精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。祖沖之著述很多，但大多都已失傳。研究過《易經(jīng)》、《老子》、《莊子》等書。祖沖之是一位少有的博學多才的人物。,在天文歷法方面，認為國家頒行的何承天的《元嘉歷》不夠精確，另制《大明歷》在機械制造方面，受命制造指南車，車成后測試，“其制甚精，百屈于回，未嘗移

25、廢”，意即效果良好，還制造過水碓磨、千里船、計時器等器械。,在數(shù)學方面，著作早已失傳，其成就列入正史可證明。1、圓周率精確到3.1415926< π <3.1415927 密率355/113， 約率22/72、球體積的推導：與其子祖暅一起利用“祖氏原理”求出牟合方蓋體積。,,,祖氏原理：冪勢既同，則積不容異,注：在西方，直到1635年意大利數(shù)學家卡瓦列利才有了與祖氏父子類似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比

26、劉徽更遲了一千三百多年。,1/8牟合方蓋,圖1,圖2,圖3,圖4,圖1,圖2,圖3,圖4,圖5,,,,,T,ASQP+CTQR+BSQT=h2 =倒錐體的橫截面S的面積,圖1,圖5,,,,,T,h,S,1/8牟合方蓋的體積=1/8正方體的體積–倒錐體的體積 =r3-1/3r3 =2/3r3,V球：V牟合方蓋= π：4,V球= π/4V牟合方蓋= π/4*16/3r3=4/3 π