《模態(tài)分析與綜合技術(shù)》04復(fù)雜振動(dòng)系統(tǒng)-02有限元法一般原理和表達(dá)格式

1、第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.1 引言 本章將通過彈性力學(xué)變分原理建立彈性力學(xué)問題有限單元法的表達(dá)格式。最小勢(shì)能原理的未知場(chǎng)變量是位移。以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量、并基于最小勢(shì)能原理建立的有限單元稱為位移元，它是有限單元法中最常用的單元。本章以平面問題3結(jié)點(diǎn)三角形單元為例，給出有限元求解方程的一般原理和詳細(xì)步驟。并進(jìn)而引出廣義坐標(biāo)有限單元法的一般格式。有了有限元法的一般表達(dá)格式，原則上說可以推得對(duì)任一種單元的表達(dá)格

2、式。 對(duì)于除3結(jié)點(diǎn)三角形而外的單元，如何通過廣義坐標(biāo)導(dǎo)出單元的插值函數(shù)也進(jìn)行討論，這對(duì)于今后研究和建立各類形式的單元是非常有用的。,,6.2 常應(yīng)變?nèi)切危ㄆ矫鎽?yīng)力問題） 由于三角形單元對(duì)復(fù)雜邊界有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，可以用其逼近任何形狀，因此很容易將一個(gè)平面結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)三角形單元。故在二維問題的分析中，三角形單元是最為流行的單元。,6.2.1 單元?jiǎng)澐帧　BCD劃分（離散）為8個(gè)三角形（單元

3、），編號(hào)①—⑧。節(jié)點(diǎn)編號(hào)1—9。建立坐標(biāo)系后，不難定出各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)（xi, yi）。,右圖為一邊長(zhǎng)為a、厚度為t的正方形薄板。其中AB邊固定，BC、CD邊自由，AD邊作用均布?jí)毫。以對(duì)這一問題為例，說明平面應(yīng)力問題有限元分析的步驟。,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2.2 單元分析 任取一個(gè)一般性的單元，如圖所示。三個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)為i, j, k。節(jié)點(diǎn)位移為( ui, vi )、( uj, vj ) 、( uk,

4、vk )　，單元節(jié)點(diǎn)位移為：,1 單元位移模式和插值函數(shù) 假定單元內(nèi)一點(diǎn)（x,y）位移u, v 是x, y的一次函數(shù):,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?a1～ a6稱為廣義坐標(biāo)。 在節(jié)點(diǎn)處應(yīng)有:,可解出：,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?其中:,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常

5、應(yīng)變?nèi)切?當(dāng) i, j, k的位置為逆時(shí)針排列時(shí)，2Δ恒正，且等于三角形單元面積的兩倍。將這些結(jié)果代入,有：,類似可得到,,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?可以合并成,Ni、Nj、Nk稱為單元的插值函數(shù)或形函數(shù)，為x，y的一次函數(shù)。,,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?形函數(shù)具有以下性質(zhì)： (i)在節(jié)點(diǎn)上形函數(shù)的值為：,也就是說在i節(jié)點(diǎn)上Ni=1，在j,k節(jié)點(diǎn)上Ni

6、=0。當(dāng)x=xi,y=yi時(shí)，即在節(jié)點(diǎn)i應(yīng)有u=ui，由上面得到的單元一點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式：,,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?也必然要求： Ni=1， Nj= Nk=0。同樣利用別的節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)可以其他兩個(gè)形函數(shù)也具有同樣的性質(zhì)。,(ii)在任一點(diǎn)，單元的三個(gè)形函數(shù)之和應(yīng)等于1，即（反映單元的剛性位移）：,,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?若形函數(shù)不滿足此要求，則不能反映單

7、元的剛體位移，用以求解必然得不到正確的結(jié)果。,,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?(iii)對(duì)于現(xiàn)在的單元，插值函數(shù)是線性的，在單元內(nèi)部及單元的邊界上位移也是線性的，可由節(jié)點(diǎn)上的位移值唯一地確定。由于相鄰單元公共節(jié)點(diǎn)的位移是相等的，因此也就保證了相鄰單元在公共邊界上位移的連續(xù)性。,2　 單元的應(yīng)變、應(yīng)力 利用：,不難求得,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?其中,S稱為應(yīng)力矩陣

8、?！　≡谠诩俣▎卧獌?nèi)u、v是一次函數(shù)的前提下，單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力將是常數(shù)，故這種單元又常應(yīng)變?nèi)窃?,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?6.2.3 利用最小位能原理建立有限元方程,對(duì)于每個(gè)單元，其最小位能原理的總位能泛函為：,f是作用在單元體內(nèi)的體積力（密度）；T是作用在單元邊界上的面積力（密度）。,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常

9、應(yīng)變?nèi)切?對(duì)于離散模型，系統(tǒng)位能是各單元位能的和，即有：,對(duì)單元使用最小位能原理，即：,可以得到單元的有限元方程：,其中：,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?稱為單元?jiǎng)偠染仃?。?duì)于3節(jié)點(diǎn)三角形單元，應(yīng)變矩陣B為常量陣，因此有：,單元?jiǎng)偠染仃嚸恳粋€(gè)元素Keij的意義為：當(dāng)?shù)趈個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為1而其他節(jié)點(diǎn)位移為0時(shí)，在第i個(gè)節(jié)點(diǎn)上需施加的力的大小。單元的剛性越大，則使節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單元位移所需施加的節(jié)點(diǎn)力就越大。因此單元?jiǎng)?/p>

10、度矩陣反映了單元?jiǎng)傂缘拇笮　?,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?稱為體力f 和面力T的單元等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣。,稱為單元等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣。,單元?jiǎng)偠染仃嚲哂腥缦绿匦裕?(1) 對(duì)稱性（作用與反作用）； (2) 奇異性（無約束） ，即不存在逆矩陣（節(jié)點(diǎn)力線性相關(guān)）。 (3) 主元恒為正（力與位移同向）,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)?/p>

11、形,單元的單位體積重量為r，如圖所示。則有：,根據(jù)：,(1) 均質(zhì)等厚單元的自重,有：,,下面給出常見的兩種載荷的等效結(jié)果：,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?自重的等效節(jié)點(diǎn)載荷是：,其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的等效載荷是：,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?沿x方向作用在ij邊，分布集度為q,如圖所示。則邊上的面力為：,(2) x方向均布?jí)毫?利用前面類似體積力的單元節(jié)點(diǎn)載荷等效過程，可很容易得單元

12、等效節(jié)點(diǎn)載荷為：,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?上面例子中單元①和②的邊上作用著均布的外載荷，可以把它們的合力平分到兩節(jié)點(diǎn)，如圖所示。,,,其中：,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?將單元節(jié)點(diǎn)位移u用結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移a表示：,G為位置轉(zhuǎn)換矩陣（定位矩陣）。,前面已經(jīng)提到，離散結(jié)構(gòu)總的位能等于各單元位能之和：,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?使用最小位能原理，

13、整個(gè)離散系統(tǒng)的總位能對(duì)結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移的變分為0，可以得到系統(tǒng)的有限元求解方程：,將上面的坐標(biāo)變換，即從單元節(jié)點(diǎn)位移（局部）轉(zhuǎn)換到整體節(jié)點(diǎn)位移，代入上面總位能表達(dá)式，有：,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?其中：,稱為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。,稱為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)載荷列陣。,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?6.2.4 解方程獲得位移及應(yīng)力 解上述方程可得到各非約束自由度的位移，再

14、由,可求得各單元的應(yīng)力。,,最小位能原理是具有附加條件的變分原理，它要求場(chǎng)函數(shù)要滿足幾何方程和位移邊界條件，為了實(shí)現(xiàn)位移約束條件：,這些自由度對(duì)應(yīng)的行和列可以不必組裝。,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.2 常應(yīng)變?nèi)切?第2節(jié)給出了三角形單元的廣義坐標(biāo)有限元法的具體的實(shí)施步驟。 但在用有限元法進(jìn)行分析問題時(shí)，所遇到的單元種類繁多，如二維單元有三角形單元、矩形單元，三維單元有四面體、五面體或平行六面體等，即使同樣形

15、狀的單元還可有不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)目。 如何選擇合適的單元進(jìn)行計(jì)算？主要要考慮以下因素：求解問題的類型、計(jì)算精度要求及計(jì)算量等。 下面給出廣義坐標(biāo)有限元法的一般步驟。,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.3 廣義坐標(biāo)有限元法的一般步驟,1 以廣義坐標(biāo)b為待定參數(shù)，給出單元內(nèi)位移u:,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.3 廣義坐標(biāo)有限元法的一般步驟,單元的位移模式一般采用以廣義坐標(biāo)為待定參數(shù)的有限項(xiàng)

16、多項(xiàng)式作為近似函數(shù)，若選取有限項(xiàng)多項(xiàng)式插值函數(shù)應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)： (1) 廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)應(yīng)與節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等；　 (2) 常數(shù)項(xiàng)（剛體位移）和一次項(xiàng)（常應(yīng)變）必須完備；,2 用節(jié)點(diǎn)位移ae表示廣義坐標(biāo)b:,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.3 廣義坐標(biāo)有限元法的一般步驟,(3) 多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完全多項(xiàng)式以提高單元的精度。 一般來說，對(duì)于單元每邊具有２個(gè)端節(jié)點(diǎn)的應(yīng)保證一

17、次完全多項(xiàng)式；每邊有３個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)取二次完全多項(xiàng)式。,3 用單元節(jié)點(diǎn)位移ae表示單元位移函數(shù)u，得到插值函數(shù)N,4 以單元節(jié)點(diǎn)位移ae表示單元應(yīng)變和應(yīng)力：,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.3 廣義坐標(biāo)有限元法的一般步驟,5 用最小位能原理建立離散體系的平衡方程,6 引入邊界條件,7 解系統(tǒng)方程得單元節(jié)點(diǎn)位移及進(jìn)一步得應(yīng)變和應(yīng)力,,第6章 FEM一般原理和表達(dá)格式,6.3 廣義坐標(biāo)有限元法的一般步驟,一管道系統(tǒng)，具體結(jié)構(gòu)和參數(shù)見系