數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案

1、汪曉勤華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院,數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例,杭州 2017-04-27,數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例,如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)“立德樹人”的根本任務(wù)，如何實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)科德育，日益受到人們的關(guān)注。國際上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵涉及知識、能力、思維、情感，而國內(nèi)目前的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架中并未涉及數(shù)學(xué)情感。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系（HPM）是今日數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的熱門課題。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的成效在實(shí)踐中得到了檢驗(yàn)，

2、越來越多的中學(xué)一線教師對HPM產(chǎn)生濃厚興趣。如何設(shè)計(jì)、實(shí)施、評價(jià)HPM課例？HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐是否可以促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展？,背 景,? 為什么要將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)？融入什么？如何融入？,背 景,背 景,教學(xué)取向的數(shù)學(xué)知識（MKT）的構(gòu)成,背 景,HPM課例的設(shè)計(jì)、實(shí)施和評價(jià),數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例,教學(xué)設(shè)計(jì),案例1 用字母表示數(shù),案例1 用字母表示數(shù),案例1 用字母表示數(shù),問題1：一個(gè)量，加上它的

3、2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求該量。,案例1 用字母表示數(shù),問題2：已知兩數(shù)的和與差，你能求出這兩個(gè)數(shù)嗎？,,,公元前1700年,,16世紀(jì),,公元3世紀(jì),古巴比倫人,,修辭代數(shù)：用文字來表達(dá)一個(gè)方程,丟番圖,縮略代數(shù)：用字母表示未知數(shù),,,,符號代數(shù)用字母表示任意數(shù),韋 達(dá),案例1 用字母表示數(shù),,,案例1 用字母表示數(shù),問題3：搭5個(gè)正方形，需要幾根火柴棍？搭任意多個(gè)正方形呢？,4,4+1?3,4+2?3,

4、4+3?3,生：任意多個(gè)正方形所需火柴棍數(shù)：4+(正方形個(gè)數(shù)-1)?3,案例1 用字母表示數(shù),?知識之諧經(jīng)歷從字母表示未知數(shù)到字母表示任意數(shù)的自然過程?探究之樂積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?文化之魅字母表示數(shù)的歷史?德育之效數(shù)學(xué)思想發(fā)展的曲折與艱辛,學(xué) 生,教 師,?內(nèi)容與課程知識（KCC）字母表示數(shù)的歷史?內(nèi)容與學(xué)生知識（KCS）從字母表示未知數(shù)到字母表示任意數(shù)的困難?內(nèi)容與教學(xué)知識（KCT）借鑒代數(shù)學(xué)的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué)

5、,《太上感應(yīng)篇》“入重出輕”的故事。,案例2 反比例函數(shù),? 引入,案例2 反比例函數(shù),案例2 反比例函數(shù),a和n不變, b和m之間的正比例關(guān)系,? 新課探究,案例2 反比例函數(shù),a和m不變, b和n之間的反比例關(guān)系,總結(jié)：當(dāng)n增加時(shí)，b卻減少， b隨n的增加而減小。且滿足bn = am = 非零常數(shù)，b與n成反比例。,案例2 反比例函數(shù),定義：設(shè)b = y，n = x，則y = k/x。形如y =k/x（k為常數(shù)，且k ?

6、 0）的函數(shù)成為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)。,? 概念形成,辨析：,（1）對“形如”怎樣理解？（2）怎樣理解“k為常數(shù)，且k ? 0”？（3）反比例函數(shù)與前面所學(xué)的什么知識有聯(lián)系？（4）為什么成為反比例函數(shù)？,教學(xué)設(shè)計(jì),案例 3 直角坐標(biāo)系,案例3 直角坐標(biāo)系,從那天起，當(dāng)它們臆測又一個(gè)真理揭開了面容在地獄般的圈欄暴發(fā)出一陣陣哀鳴,案例 3 直角坐標(biāo)系,繆斯女神把這光芒饋贈畢達(dá)哥拉斯要把

7、祭禮行百?？臼煊智衅y表心中感激之情,難阻真理發(fā)現(xiàn)者的暴行畢氏讓它們永不得安寧它們瑟瑟顫抖著絕望地閉上了眼睛,? 復(fù)習(xí)舊知：數(shù)軸的三要素；? 笛卡兒的故事；? 問題1：蒼蠅向右爬5cm，如何表示它的位置？? 問題2：蒼蠅向左爬5cm，如何表示它的位置？,案例 3 直角坐標(biāo)系,? 問題3：蒼蠅向上爬5cm，如何表示它的位置？? 問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？,S：用+3表示。T：那如果蒼蠅向

8、上爬了6cm，7cm，又如何表示它的位置呢？S：還是+3。T：可是，蒼蠅的位置明明不同啊？,案例 3 直角坐標(biāo)系,? 問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？,案例 3 直角坐標(biāo)系,S：用8來表示。T：那么如果蒼蠅先向右爬4cm，再向上爬4cm，那你怎么表示？S：還是8。T：不同的位置，但是你卻用同一個(gè)數(shù)來表示，同學(xué)們覺得這樣可行嗎？S：不可行。,? 問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的

9、位置？,案例 3 直角坐標(biāo)系,S：用“5垂直于3”表示。T：那如果蒼蠅向左爬了3cm，再向上爬了5cm呢？S：“5垂直于-3”。T：這位同學(xué)很棒，用兩個(gè)數(shù)來表示點(diǎn)的位置，那么能不能再簡練一點(diǎn)呢？S：5?3。S：5.3。S：5/3。,? 問題4：蒼蠅向右爬3cm，再向上5cm，如何表示它的位置？,T：還有其他表示方法嗎？[有兩組學(xué)生開始用量角器與直尺]S7：北偏東50?。T：……T：我們將5垂直于3表示為（3, 5）

10、。,案例 3 直角坐標(biāo)系,案例 3 直角坐標(biāo)系,?知識之諧經(jīng)歷坐標(biāo)概念的自然發(fā)生過程?探究之樂體驗(yàn)成功的快樂、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?文化之魅數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系?德育之效興趣、自信心、親近數(shù)學(xué),學(xué) 生,教 師,?內(nèi)容與課程知識（KCC）直角坐標(biāo)系的歷史?內(nèi)容與學(xué)生知識（KCS）從一維到二維的困境?內(nèi)容與教學(xué)知識（KCT）借鑒坐標(biāo)概念的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué)?水平內(nèi)容知識（HCK）直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的聯(lián)系,案例4

11、 函數(shù)的概念,函數(shù)概念的歷史,案例4 函數(shù)的概念,總之有自變量、因變量且一個(gè) x 有且僅有一個(gè) y 的值與其對應(yīng)的式子,案例4 函數(shù)的概念,師：關(guān)于函數(shù)概念，同學(xué)們并不陌生?，F(xiàn)在，請大家回憶一下，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)是怎么定義的？,引入,L. Euler (1707 – 1783),,,案例4 函數(shù)的概念,? 歐拉的函數(shù)定義(1748)：,,一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式。 ——《無窮分析引

12、論》,? 德摩根《代數(shù)學(xué)》的定義(1837)：,A. de Morgan (1806-1871),案例4 函數(shù)的概念,Any expression which contains x in any way is called a function of x.,李善蘭的譯文：“凡式中含天，為天之函數(shù)?！边@便是中文“函數(shù)”名稱的由來。,案例4 函數(shù)的概念,例1(課本)：表1列出了男子一百米欄項(xiàng)目從1900年開始的世界紀(jì)錄創(chuàng)立的時(shí)間和成就

13、，請思考：（1）統(tǒng)計(jì)表中有哪幾個(gè)變量？是什么？（2）當(dāng)時(shí)間年份確定時(shí)，相應(yīng)的世界紀(jì)錄成績是否確定？能寫出成績隨時(shí)間變化的關(guān)系式嗎？,男子100米欄世界紀(jì)錄統(tǒng)計(jì)表,案例4 函數(shù)的概念,概念生成,從“解析式”到“變量依賴關(guān)系”,,,案例4 函數(shù)的概念,問題：下圖為某天滬深300指數(shù)隨時(shí)刻變化的圖像。該圖像體現(xiàn)了指數(shù)和時(shí)刻之間的關(guān)系，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系能否用一個(gè)解析式來刻畫呢？,,,如果某個(gè)量依賴于另一個(gè)量，當(dāng)后面這個(gè)量變化時(shí)，

14、前面這個(gè)量也隨之變化，則前面這個(gè)量稱為后面這個(gè)量的函數(shù)。 ——《微分學(xué)基礎(chǔ)》,L. Euler (1707 – 1783),案例4 函數(shù)的概念,? 歐拉的新定義（1755）：,,案例4 函數(shù)的概念,例2：y = 0 ( x ? R ) 是不是一個(gè)函數(shù)？說明理由。,師：初中階段我們學(xué)習(xí)了具體的一次、二次函數(shù)等，在這些函數(shù)中，變量 y 與 x 之間就有明確的依賴關(guān)系。但是，

15、利用“依賴關(guān)系”來刻畫函數(shù)，是否盡善盡美了呢？,從“變量依賴關(guān)系”到“變量對應(yīng)關(guān)系”,,,課前的問卷調(diào)查表明：161人中有65人認(rèn)為它不是函數(shù)關(guān)系，占比40.37%。理由是：? y 不隨 x 的變化而變化；? 沒有 y 與 x 的關(guān)系式；? x 與 y 之間沒有關(guān)系；? y沒有依賴 x 的變化而改變， …………………………,案例4 函數(shù)的概念,例2：y = 0 ( x ? R ) 是不是一個(gè)函數(shù)？說明理由。,師：那我們該

16、怎樣描述這兩個(gè)變量之間的關(guān)系呢？重新審視函數(shù) y = 0 ( x ? R ) ，無論 怎樣變化， 的值都是以不變應(yīng)萬變，此處的關(guān)鍵詞“應(yīng)”即為“對應(yīng)”之意，也就是對每一個(gè) 的值，都有 的值0與之對應(yīng)。我們能否從這樣一個(gè)新的視角來理解前面遇到的例子呢？生：男子100米欄世界紀(jì)錄表中，對于每一個(gè)出現(xiàn)的年份，都能找到一個(gè)世界紀(jì)錄與之對應(yīng)；而在滬深指數(shù)圖像中，每一個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)確定的股票指數(shù)與之對應(yīng)。,案例4 函數(shù)的概念,師：理解得很到位，

17、那么對于我們熟悉的函數(shù)y=2x2 呢？生：對每一個(gè)x的值，都有y的值與之對應(yīng)。師：我們還發(fā)現(xiàn)，對于變量x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，說明我們同樣可以從對應(yīng)的角度來理解曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)。通過以上實(shí)例的分析，同學(xué)們能否提煉并概括一下這些關(guān)系的共同特征？生：以上函數(shù)關(guān)系中，對變量 x 的每一個(gè)值，變量 y 都有唯一確定的值與之對應(yīng)。,案例4 函數(shù)的概念,師：那么，能不能用集合的語言和對應(yīng)關(guān)系來描述初中所學(xué)的函數(shù)概念呢？生：如

18、果在某個(gè)變化的過程中有兩個(gè)變量 x 和 y，對于某個(gè)實(shí)數(shù)集合 D 內(nèi)的每一個(gè)確定的 x， y 都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么 y 就是 x 的函數(shù)，x 叫做自變量，x 的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和 x 對應(yīng)的 y 的值叫做函數(shù)值。師：非常好！這正是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷于1837年提出的函數(shù)定義。,案例4 函數(shù)的概念,,? 狄利克雷的現(xiàn)代定義（1837）：,設(shè) a、b 是兩個(gè)確定的值，x 是可取 a、b 之間一切值的變量。如果對于每一

19、個(gè) x，有唯一有限的 y 值與它對應(yīng),當(dāng)x連續(xù)變化時(shí)，y 也隨之變化那么 y 叫做 x 的函數(shù)。,L. Dirichlet（1805-1859）,案例4 函數(shù)的概念,案例4 函數(shù)的概念,師：反觀剛才分析過的這些函數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)圖表、一個(gè)圖像或者一個(gè)解析式來呈現(xiàn)，我們把它統(tǒng)稱為“對應(yīng)法則”。例如表1中，14.2與1936對應(yīng)，1973有唯一的13.1與之對應(yīng)，這個(gè)表格就是一個(gè)對應(yīng)法則。那么同學(xué)們能否從這個(gè)角度來分析其他例子的

20、對應(yīng)關(guān)系呢?生：圖2的滬指變化圖像就是一種對應(yīng)法則。生：函數(shù) y = 2x2，這個(gè)解析式就是一種對應(yīng)法則。,案例4 函數(shù)的概念,案例5 對數(shù)的概念,計(jì)算：,案例5 對數(shù)的概念,,,,,,,案例5 對數(shù)的概念,案例5 對數(shù)的概念,299792.458,31536000,+,,光在真空中的速度 （千米/秒),一年的秒數(shù),,= 1光年,一個(gè)天文單位,299792458,31536,,1798754748,8993

21、77374,1498962290,299792458,899377374,,9454254955488,案例5 對數(shù)的概念,計(jì)算：,案例5 對數(shù)的概念,31536,299792458,案例5 對數(shù)的概念,我們需要創(chuàng)造新數(shù)！,31536.000,《幾何原本》卷11之棱柱定義 一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它是有一些平面構(gòu)成的，其中有兩個(gè)面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。,案例 6 棱柱的概念,案例6 棱柱的

22、概念,Wentworth & Smith(1913)之棱柱定義： 有兩個(gè)面為平行平面上的全等多邊形、其他面均為平行四邊形的多邊形叫棱柱。,案例 6 棱柱的概念,案例 6 棱柱的概念,歷史上的棱柱定義分布,案例 6 棱柱的概念,棱柱定義的演進(jìn),? Schuyler(1876)最早對歐氏定義進(jìn)行改進(jìn)。棱柱是一個(gè)多面體，它有兩個(gè)面為全等、平行的多邊形且對應(yīng)邊平行，其余各面均為以全等多邊形對應(yīng)邊為底的平行四邊形。,案例

23、6 棱柱的概念,Stone & Millis (1916)的定義：棱柱是這樣的多面體，它的兩個(gè)面為平行平面上的全等多邊形，其余各面均為平行四邊形、且有一組對邊分別為這兩個(gè)全等多邊形的對應(yīng)邊。,案例 6 棱柱的概念,案例 6 棱柱的概念,? 嘗試對空間幾何體進(jìn)行歸類,案例 6 棱柱的概念,案例 6 棱柱的概念,師：我們身邊有各種各樣的空間幾何體，下面請大家將下列幾何體按照一定的特征進(jìn)行分類。,生：根據(jù)有沒有曲面，①、②、

24、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨為一類，③、④、⑩、?和?為一類。,案例 6 棱柱的概念,師：很好，像①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨這些幾何體，是由什么圖形圍成的？生：平面多邊形。師：這些幾何體就叫做多面體。師：像③、⑩、?和?這些幾何體可以由一個(gè)平面圖形繞其平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)而圍成，它們叫做旋轉(zhuǎn)體。師：如果將①、②、⑤、⑥、⑦、⑧和⑨這些多面體再細(xì)分的話，應(yīng)該怎么分呢？生：我根據(jù)上下兩頭的大小，認(rèn)為①、②、⑧為一類，⑥、⑦為一類，⑤是一類

25、，⑨是一類。,案例 6 棱柱的概念,師：很好，大家都同意他的意見嗎？生：我認(rèn)為⑤與①、②、⑧是同一類，因?yàn)樗鼈兌疾皇羌獾?。（猶豫一下）但是好像又不能歸為一類，畢竟⑤上下不一樣大，側(cè)面是梯形。師：很好，其實(shí)①、②、⑧就是棱柱，⑥、⑦是棱錐，⑤是棱臺，而這三類幾何體是多面體中最基本、最簡單的幾何體。下面，我們逐個(gè)對棱柱、棱錐、棱臺進(jìn)行研究。首先，我們來研究棱柱的結(jié)構(gòu)特征。,案例 6 棱柱的概念,? 棱柱定義的初步構(gòu)建,讓學(xué)生用自己的

26、語言，以小組為單位嘗試給棱柱下一個(gè)定義。教師強(qiáng)調(diào)：定義必須真正刻畫出棱柱這一類幾何體，而不會產(chǎn)生意外。[經(jīng)過5分鐘的討論，學(xué)生逐漸提交成果，筆者將學(xué)生的定義分成7類，分別用D1、D2、…、D7表來示，見下表。],案例 6 棱柱的概念,案例 6 棱柱的概念,? 棱柱定義的不斷完善,師：滿足條件D1的多面體是棱柱嗎？生：不是，⑨就是反例。師：看來只規(guī)定上下兩個(gè)面的屬性是不夠的，那如何完善呢？生：側(cè)面都是平行四邊形。師：很好，這

27、就是D2（屏幕投影D2），我們來看看，滿足條件 D2 的幾何體是不是棱柱呢？,[D1：上、下面相同且平行的多面體叫棱柱。],[D2：兩個(gè)底面是平行且相等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。],案例 6 棱柱的概念,[教師逐一將“棱柱類”實(shí)物進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)側(cè)面都是平行四邊形，絕大多數(shù)學(xué)生也開始相信 D2 是正確的。]生：將兩個(gè)像⑧這樣的棱柱疊在一起，讓它們“扭”一下，也許是個(gè)反例。師：你能利用現(xiàn)有的教具將反例構(gòu)造出來嗎？,學(xué)生用斜棱柱拼接形

28、成一個(gè)反例,案例 6 棱柱的概念,生：這個(gè)不算反例，因?yàn)樗举|(zhì)上是兩個(gè)棱柱。師：很好，看來有同學(xué)對這個(gè)反例不滿意，畢竟它是可以分解成兩個(gè)棱柱。師：其實(shí)，D2與歷史上偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得的定義是一致的。,《幾何原本》卷11之棱柱定義 一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它是有一些平面構(gòu)成的，其中有兩個(gè)面是相對的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。,[PPT放映歐幾里得的畫像、生平以及《幾何原本》中的棱柱定義。],案例 6

29、 棱柱的概念,生：哇，好神奇！它符合D2，但一點(diǎn)棱柱的影子都沒有。師：是的，但是它可以分解成4個(gè)棱柱。,[學(xué)生們用期待的眼神看著教師，迫切想見證奇跡的發(fā)生。教師用事先制作好的模型現(xiàn)場分解（如下圖），學(xué)生驚呆了。],[教師用8個(gè)菱形、4個(gè)正方形磁力片現(xiàn)場拼出這個(gè)反例，如圖4。],案例 6 棱柱的概念,案例 6 棱柱的概念,生：（驚嘆）竟然是4個(gè)棱柱！師：對，這就是立體幾何的奇妙之處?？磥戆牙庵?dāng)成最基礎(chǔ)、最簡單的幾何體來研究是非常

30、有必要。師：既然 D2 規(guī)定了底面的特征以及側(cè)面是平行四邊形還不夠，那么如何修改呢？生：加上“側(cè)棱都平行”這個(gè)條件。師：很好，如果加上“側(cè)棱都平行”這個(gè)條件，棱柱的定義就完整了。但我們再仔細(xì)剖析一下，如果有了“側(cè)棱都平行”這個(gè)條件，那么側(cè)面一定會是平行四邊形嗎？生：會的。,案例 6 棱柱的概念,師：所以，我們這時(shí)把“側(cè)面都是平行四邊形”弱化成“側(cè)面都是四邊形”可不可以？生：可以。師：很好，這就是D5，也是教材上對棱柱的定義

31、，下面請大家一起看教材。師：其實(shí)D3、D4都關(guān)注到了側(cè)棱的特征，而D6、D7是從棱柱生成的角度定義了棱柱。歷史上都有類似的定義（PPT上放映），有興趣的同學(xué)課后自己去查閱資料。,D5：至少有兩個(gè)面互相平行，由多個(gè)四邊形組成，且相鄰的邊互相平行。,D3：側(cè)面的棱要平行且長度相等，上底和下底一樣的多面體。,D4：互相平行的兩個(gè)面，且兩個(gè)面之間的連線相互平行的幾何體叫棱柱。,D7：一個(gè)多邊形向一個(gè)固定的方向，掃過所形成的空間幾何立體圖形。,

32、數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例,案例8 三角形內(nèi)角和,[從泰勒斯的故事引入泰勒斯的發(fā)現(xiàn)。],?三角形內(nèi)角和的發(fā)現(xiàn),案例8 三角形內(nèi)角和,師：請同學(xué)們以小組為單位，分別用六個(gè)同樣的等腰三角形（黃色）和六個(gè)同樣的不等邊三角形（紅色）來拼圖，感受泰勒斯當(dāng)年的探究和發(fā)現(xiàn)過程。,案例8 三角形內(nèi)角和,? 等腰三角形拼圖方案,案例8 三角形內(nèi)角和,? 不等邊三角形拼圖方案,案例8 三角形內(nèi)角和,案例8 三角形內(nèi)角和,[教師讓學(xué)生在圖

33、中鎖定某一個(gè)三角形，通過添加輔助線來說理。按位置，六個(gè)三角形分別稱為上左、上中、上右、下左、下中和下右三角形。各小組經(jīng)過討論之后，產(chǎn)生了多種方案。],? 三角形內(nèi)角和的說理,案例8 三角形內(nèi)角和,第 1 組的方案：鎖定下中三角形。[與畢達(dá)哥拉斯的證明相同],案例8 三角形內(nèi)角和,第2組的方案：鎖定下中三角形。[與19世紀(jì)末美國教科書上的證明相同],案例8 三角形內(nèi)角和,第 3 組的方案：鎖定下中三角形。[與克萊羅的證明相同],案例

34、8 三角形內(nèi)角和,第 4 組的方案：鎖定下中三角形。[與歐幾里得的證明相同],案例8 三角形內(nèi)角和,? 方法之美三角形內(nèi)角和定理的不同證明? 探究之樂積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)成功快樂? 文化之魅三角形內(nèi)角和定理的歷史? 德育之效興趣、自信心、親近數(shù)學(xué),學(xué) 生,教 師,? 內(nèi)容與課程知識（KCC）三角形內(nèi)角和定理的歷史材料? 專門內(nèi)容知識（SCK）三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)與各種證明? 內(nèi)容與教學(xué)知識（KCT）借

35、鑒定理的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué),案例9 正弦定理,同學(xué)們有沒有想過，流星離我們有多遠(yuǎn)呢？像星星那樣遠(yuǎn)嗎？比月亮離得近嗎？圖5是某次測量的示意圖，其中O是地球的球心，A、B是兩個(gè)觀測者所在的位置，相距500 km（球面距離）。AD、BD表示地平線，相交于點(diǎn)D。兩人觀測到同一顆流星C時(shí)的仰角分別為 ? = 23.2?，? = 44.3?。問題是：流星距離兩位觀測者分別有多遠(yuǎn)呢？,? 引入,,,案例9 正弦定理,? 定理探究,直角三角形中的邊角

36、關(guān)系,,，,，,,斜三角形中有同樣結(jié)果嗎？,案例9 正弦定理,? 定理新證,17世紀(jì)，中國清代數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家梅文鼎在《平三角舉要》給出了另一種精彩的證明。,梅文鼎(1633-1721),韋達(dá) (1571) 的證明,案例9 正弦定理,,，,，,，故得,? 定理拓展,F. Viete（1540-1603),案例9 正弦定理,? 歷史概說,雷格蒙塔努斯,梅文鼎,納綏爾丁,韋達(dá),案例9 正弦定理,? 一個(gè)定理 ：正弦定理? 兩種方

37、法；納綏爾丁同徑法和韋達(dá)的外接圓方法；? 三類應(yīng)用： 角邊角、角角邊、邊邊角（一般含兩個(gè)解）。? 四則啟示：（1）數(shù)學(xué)源于實(shí)際問題；（2）數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸完善；（3）數(shù)學(xué)方法豐富靈動；（4）多元文化精彩紛呈。,? 課堂小結(jié),數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例,案例10 全等三角形的應(yīng)用,Thales (624 B.C. ? - 547? B.C.),泰勒斯出生于米利都，希臘七賢之一。青年時(shí)代曾游歷埃及，利用竿影測量過金字塔

38、的高度，利用全等三角形計(jì)算過輪船到海岸的距離。創(chuàng)立愛奧尼亞學(xué)派。最早將幾何學(xué)引入希臘，并將其變?yōu)檠堇[科學(xué)。被譽(yù)為“幾何學(xué)鼻祖”。,幾何鼻祖泰勒斯,案例10 全等三角形的應(yīng)用,對頂角相等；圓為直徑所平分；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形底角相等；角邊角定理；半圓上的圓周角為直角；相似三角形對應(yīng)邊成比例,泰勒斯發(fā)現(xiàn)的幾何命題,案例10 全等三角形的應(yīng)用,普羅克拉斯（Proclus, 5世紀(jì)）說：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理

39、歸于泰勒斯。因?yàn)樗f，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理。”,Thales,泰勒斯與角邊角定理,案例10 全等三角形的應(yīng)用,直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞 A 轉(zhuǎn)動，但可以固定在任一位置上。將該細(xì)竿調(diào)準(zhǔn)到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動EF（保持與底面垂直），將細(xì)竿對準(zhǔn)岸上的某一點(diǎn)C。則根據(jù)ASA定理，DC = DB。,泰勒斯的測量方法,案例10 全等三角形的應(yīng)用,16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)

40、家貝里（S. Belli, ?～1575）出版于1565年的測量著作中的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相同。,拿破侖軍隊(duì)在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運(yùn)用泰勒斯的方法迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎。因此，從古希臘開始，角邊角定理在測量中一直扮演者重要角色。,案例10 全等三角形的應(yīng)用,戰(zhàn)爭中的泰勒斯方法,案例10 全等三角形的應(yīng)用,在抗美援朝戰(zhàn)爭中，一名志愿軍戰(zhàn)士利用泰勒斯的方法測量敵營的距離。,戰(zhàn)爭中的

41、泰勒斯方法,案例10 全等三角形的應(yīng)用,鞏固兩個(gè)三角形全等的基本判定方法；經(jīng)歷構(gòu)造全等三角形解決實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、合作能力和表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心；認(rèn)識數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的密切聯(lián)系。感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神。,教學(xué)目標(biāo),案例10 全等三角形的應(yīng)用,鞏固兩個(gè)三角形全等的基本判定方法；經(jīng)歷構(gòu)造全等三角形解決實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、合作能力和表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

42、和自信心；認(rèn)識數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的密切聯(lián)系。感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神。,教學(xué)目標(biāo),案例10 全等三角形的應(yīng)用,探究之樂?體驗(yàn)成功的快樂、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)文化之魅?角邊角定理的悠久歷史；? 數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系德育之效? 人文精神與意志品質(zhì)；? 傾聽、合作、交流、包容,學(xué) 生,教 師,內(nèi)容與課程知識（KCC）? 全等三角形的歷史內(nèi)容與教學(xué)知識（KCT）? 借鑒全等三角形的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué)水平

43、內(nèi)容知識（HCK）? 全等三角形與相似三角形之間的聯(lián)系；,案例11 解一元二次方程的配方法,數(shù)學(xué)泥版 YBC 6967,,案例11 解一元二次方程的配方法,《幾何原本》卷2命題6,,案例11 解一元二次方程的配方法,花拉子米《代數(shù)學(xué)》,,,案例11 解一元二次方程的配方法,? 復(fù)習(xí)舊知,,解一元二次方程：,用幾何語言來表達(dá)上述方程。,案例11 解一元二次方程的配方法,? 問題提出,9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的《代數(shù)學(xué)》中

44、提出以下問題：一平方與十根等于二十迪拉姆，求根。（解一元二次方程方程 ）,,師：在古代，開方就相當(dāng)于“已知正方形面積求邊長”。那么，這個(gè)問題是否也可以借助幾何圖形來解決呢？請同學(xué)們觀察一下，這個(gè)方程的左邊可以表示成什么圖形？生1：邊長為x的正方形面積，再加上一個(gè)長和寬分別為x和10的長方形。,? 方法引導(dǎo),案例11 解一元二次方程的配方法,師：將它們拼在一起，能得到什么圖形？生：長為x +1

45、0，寬為x的長方形。師：請畫到黑板上，讓大家看看。生1：[在黑板上作出一個(gè)長方形。],案例11 解一元二次方程的配方法,師：但問題又來了，這不是一個(gè)正方形，不能直接開平方吧。生2：要把它變成一個(gè)正方形，用截補(bǔ)的方法。生3：[在黑板上將生1所作的長方形補(bǔ)成正方形。],案例11 解一元二次方程的配方法,師：我們一起來看看，此時(shí)這個(gè)圖形的面積是怎么表示的？生：表示為 x2 + 20x +100。師：對比一下原來的方程，這里的一

46、次項(xiàng)與原方程有出入，怎么辦？生4：在等式右邊也加上10x。生5：不行，這樣不滿足開平方法的特征呀。生：左邊滿足，右邊不行，加得太復(fù)雜了。師：右邊多了一次項(xiàng)，那怎么辦？能不能不讓它多出來？,案例11 解一元二次方程的配方法,生5：[在黑板上給出了一種作圖法。],案例11 解一元二次方程的配方法,師：請生5說說你的具體做法。生5：把長為x、寬為10的矩形一分為二，再把其中一半移到正方形的下方，最后補(bǔ)上邊長為5的小正方形。師：

47、太棒了！和花拉子米的做法完全一樣。[眾生嘖嘖稱奇。]請同學(xué)們想一想，這相當(dāng)于對原方程實(shí)施了怎樣的操作呢？生： 。師：我們最后得到的方程滿足開平方法的特征。,,案例11 解一元二次方程的配方法,,? 拓展理解,古巴比倫泥板上的問題：已知兩數(shù)乘積為10，差為4，求這兩數(shù)，相當(dāng)

48、于解方程一元二次方程 x2 - 4x = 10。[教師讓學(xué)生分小組討論相應(yīng)的幾何方法。學(xué)生遇到了很大困難，一籌莫展！],案例11 解一元二次方程的配方法,,最后，一個(gè)學(xué)生仿照一次項(xiàng)系數(shù)為正的情形解決了難題。,,相應(yīng)的配方過程：,數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例,數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例,數(shù)學(xué)史與教師MKT之間的密切關(guān)聯(lián),? 一種模式? 一個(gè)團(tuán)隊(duì)? 一批案例? 一條進(jìn)路,數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例,謝謝聆聽,x