中學數(shù)學史杭州演講

1、數(shù)學史與中學數(shù)學教學,余志成江西科技師大數(shù)學與計算機科學學院 2013-3-4,數(shù)學史與中學數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香 一種視角 一個領(lǐng)域,數(shù)學史與中學數(shù)學教學,全日制義務(wù)教育《數(shù)學課程標準》： 在教學活動中，教師……要創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1

2、相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,隧道全長 1036米，寬1.8米，高1.8米。設(shè)計者：歐帕里諾斯,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,薩莫斯島上的穿山隧道(前530年),案例 1 相似三角形的應(yīng)用,泰勒斯是如何測量金字塔高度的？,Thales (about 624 BC - about 547 BC),案例 1 相似三角形的應(yīng)用,泰勒斯是如何測量輪船離海岸距離的？,案例 1

3、相似三角形的應(yīng)用,《周髀算經(jīng)》卷上： 取竹空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑一寸。故以勾為首，以髀為股。從髀之日下六萬里而髀無影，從此以上至日則八萬里。若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。從髀所旁至日所十萬里。以率率之，八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。故曰日晷徑千二百五十里。,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,劉徽《九章算術(shù)》序：

4、 以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之數(shù)為大股，大股之勾即日徑也。,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《周髀算經(jīng)》測日徑法,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章：今有句五步、股十二步，問：句中容方幾何？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（17）：今有邑方二百步，各開中門。出東門一十五步有木。問：出南門幾何步而見木？,案例 1 相似三角形的

5、應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（18）：今有邑，東西七里，南北九里，各開中門。出東門一十五里有木。問：出南門幾何步而見木？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（19）：今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（22）：今有木去人不知遠近。立四表，相去各一丈。另左兩表與所望參相直。從后右表望之，入前右表三寸。問：木去人幾何

6、？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（23）：今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，望木末適與山峰斜平。人目高七尺，問：山高幾何？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（24）：今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問：井深幾何？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,巴比倫泥版文獻（巴格達博物館藏）：已知直角三角形ABC中，AB =75，BC

7、 = 60，CA = 45。S(ΔACD)= 8, 6；S(CDE) = 5, 11; 2, 24；S(ΔDEF) = 3, 19; 3, 56, 9, 36； S(ΔEFB)= 5, 53; 53, 39, 50, 24。求AD、CD、BD、CE、DE、EF、DF、BE、BF。答案：AD = 27；CD =36；BD = 48；CE =21; 36。,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,16世紀的測量方法,

8、案例 2 全等三角形的應(yīng)用,古代的水準儀 在古代埃及和巴比倫，一些測量工具和基本的幾何圖形，往往被看作神圣的符號而被用作護身符。下圖是埃及古墓中出土的測量工具形狀的護身符，其中第二種顯然是測水準的工具。,,,,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,古代的水準儀由一個等腰三角形以及懸掛在頂點處的鉛垂線組成。測量時，調(diào)整底邊的位置，如果鉛垂線經(jīng)過底邊中點，就表明底邊垂直于鉛垂線，即底邊是水平的。這就是“邊邊邊”定理的應(yīng)

9、用。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,我們有理由相信，埃及人在建造金字塔時必用到這種測量工具。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,在古羅馬土地丈量員的墓碑上，我們也看到了這種水平儀。中世紀和文藝復(fù)興時代，這種工具仍被廣泛使用。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,17世紀意大利數(shù)學家Pomodoro的《實用幾何》一書中給出的利用水準儀測量山坡高度的方法,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,角邊角 希臘幾何學的鼻祖泰勒斯（Thale

10、s, 前6世紀）發(fā)現(xiàn)了角邊角定理。普羅克拉斯（Proclus, 5世紀）告訴我們：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯。因為他說，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理。”,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,坦納里（P. Tannery, 1843～1904）認為，泰勒斯應(yīng)該是用右圖所示的方法來求船到海岸的距離的：設(shè)A為海岸上的觀察點，作線段AC垂直于AB，取AC的中點D，過C作AC的垂線，在垂線上取點E

11、，使得B、D和E三點共線。利用角邊角定理，CE的長度即為所求的距離。這種方法為后來的羅馬土地丈量員所普遍采用。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,希思（T. L. Heath, 1861-1940）提出了另一種猜測：如圖，泰勒斯在海邊的塔或高丘上利用一種簡單的工具進行測量。直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞 A 轉(zhuǎn)動，但可以固定在任一位置上。將該細竿調(diào)準到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動EF（保持與底面垂

12、直），將細竿對準岸上的某一點C。則根據(jù)角邊角定理，DC = DB。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,上述測量方法廣泛使用于文藝復(fù)興時期。右圖是16世紀意大利數(shù)學家貝里（S. Belli, ?～1575）出版于1565年的測量著作中的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相同。,有一個故事說，拿破侖軍隊在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運用泰勒斯的方法迅速測得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎。因此，從古希臘開始，角邊角定理在

13、測量中一直扮演者重要角色。,案例3 三角比,日晷（古埃及、巴比倫、古希臘Anaximander）,案例3 三角比,Aristarchus（310 B.C.-230B.C.）,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,古代兩河流域的陶碗（圖1）以及中國仰韶文化陶盆（圖2）上的花瓣紋則表明，新石器時代的人們已經(jīng)知道用圓弧來構(gòu)造若干對稱圖形了。,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,大英博物館所藏古巴比倫時期（公元前1800年-公元前1600年）的數(shù)

14、學泥版BM 15285（殘缺不全）上，我們看到很多圓弧或圓弧與線段所圍圖形的面積問題，這些問題很可能是當時祭司編制的學校數(shù)學練習題。,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,公元前5世紀，希波克拉底在研究化圓為方問題時，求得了某些特殊弓月形的面積。在圖17中，希波克拉底發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形斜邊上的半圓與以直角頂點為圓心、直角邊為半徑的四分之一圓弧所圍成的弓月形面積與等腰直角三

15、角形的面積相等。在圖18中，希波克拉底發(fā)現(xiàn)，大圓內(nèi)接正六邊形相鄰三邊上的小半圓與大圓所圍成的三個弓月形連同其中一個小半圓的面積與等腰梯形面積相等。,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,“鹽窖”形,“鞋匠刀”形,阿基米德發(fā)現(xiàn)，鞋匠刀形的面積恰好等于以圖中大圓的半弦為直徑的圓面積。鹽窖形的面積恰好等于以大半圓直徑中垂線介于大半圓和中間小半圓之間的線段為直徑的圓面積。,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,達芬奇筆記本中的數(shù)學問題,案例 4 從巴

16、比倫祭司到達芬奇,達芬奇筆記本中的數(shù)學問題,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,,拿破侖遠征埃及途中提出的數(shù)學問題——用圓將一個圓四等分,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,Reuleaux三角形,“海豚形”,案例 4 從巴比倫祭司到達芬奇,,,“蘑菇”形,“海豚形”,Reuleaux三角形,案例 5 一元二次方程求根公式,巴比論：泥版數(shù)學文獻 泥版數(shù)學文獻中含有三種類型的一元二次方程： x2 + bx = c

17、；x2 = bx + c ；x2 + c = bx 巴比倫人已經(jīng)分別知道求根公式,,案例 5 一元二次方程求根公式,巴比倫泥版問題1：“【正方形】面積與邊長之和為3/4，【求邊長?！俊?解法：“置投影（projection）1，半之，得1/2。1/2和1/2相乘，得1/4。將1/4與3/4相加，得1，從中減去1/2，即得邊長為1/2?！?案例 5 一元二次方程求根公式,H?yrup之解釋：,,案例 5 一元二次

18、方程求根公式,巴比倫泥版問題：一個正方形面積減去它的邊長，差為870。求邊長。相當于求解 。 解法： “取1的一半，得1/2，以1/2乘1/2，得1/4；將1/4加到870，得870 1/4。這是29 1/2的平方。把1/2加到29 1/2，結(jié)果得30，即為正方形的邊長?！?,,案例 5 一元二次方程求根公式,《幾何原本》在長度為b的線段AB的延 長線上求一點D，使 AD（b+ x）與BD（x）構(gòu)成的矩形面積為c。,歐幾

19、里得的作圖法,b/2,b/2,b/2,x,x,,案例 5 一元二次方程求根公式,,釋律佗羅 (Sridhara,10世紀) 方程ax2 + bx = c的解法： 方程兩邊乘以 4 倍的二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的平方。(然后開方。),案例 5 一元二次方程求根公式,,Al-Kitāb al-mukhta Jar fī Hisāb al-jabr wa-l-muqābala,Al-Khwarizmi (780?

20、-850?),,,案例 5 一元二次方程求根公式,花拉子米《代數(shù)學》,案例 5 一元二次方程求根公式,韋達 x2+ax=b (令 x = u+ z ) ? u2+(2z+a) u+(z2+az+b)=0 (令2z + a =0) ? u2-1/4 (a2-4b)=0 ? ?

21、,F. Viète （1540-1603）,案例 6 等比數(shù)列求和公式,泥版MS 1844（約公元前2050年）上記載如下問題的解法：七兄弟分財產(chǎn)，最小的得2，后一個比前一個多得1/6，問所分財產(chǎn)共有多少？七兄弟所得構(gòu)成一個首項為2、公比為7/6、項數(shù)為6的等比數(shù)列。,案例 6 等比數(shù)列求和公式,泥版M 7857（古巴比倫時期）上，人們發(fā)現(xiàn)了一個等比數(shù)列問題。正面是一個首項為99、公比為9的等比數(shù)列：99，891，8019

22、，72171，649539。反面是： 649539 大麥 72171 麥穗 8019 螞蟻 891 鳥 99 人,案例 6 等比數(shù)列求和公式,萊因得紙草書（約公元前1650年）,萊因得紙草上的等比數(shù)列問題,,,案例 6 等比數(shù)列求和公式,埃及乘法12?7,,案例 6 等比數(shù)列求和公式,《幾何原

23、本》第 9 卷命題 35,,案例 6 等比數(shù)列求和公式,References[1] T. L. Heath (1921). A History of Greek Mathematics. London: Oxford University Press.[2] C. S. Roero (1994). Egyptian Mathematics. In I. Grattan-Guiness ed., Encyclopaedia of t

24、he History and Philosophy of Mathematical Sciences. London: Rourledge. 30-45 [3] 汪曉勤, 韓祥臨 (2002). 中學數(shù)學中的數(shù)學史, 北京: 科學出版社[4] 汪曉勤等 (2003). HPM視角下的等比數(shù)列教學，中學教研（數(shù)學）, (7)[5] 汪曉勤(2006). 幾何視角下的等比數(shù)列求和公式. 中學數(shù)學教學參考, (2),,案例 7 橢圓

25、的方程,,N. Guisnée《代數(shù)在幾何上的應(yīng)用》 (1705年),,,,案例 7 橢圓的方程,,《圓錐曲線解析》(1707),M. de L’Hospital 1661-1704,,案例 7 橢圓的方程,,斯蒂爾《圓錐曲線論》(1745),,案例 7 橢圓的方程,,賴特（J. M. F. Wright）《圓錐曲線之代數(shù)體系》（1836）,，,,案例 7 橢圓的方程,,羅賓遜（H. N. Robinson, 1806

26、-1867）《圓錐曲線與解析幾何》 （1862）,,案例 7 橢圓的方程,,查爾斯·戴維斯（C. Davies, 1798-1876）《解析幾何基礎(chǔ)》（1867）,，,,案例 7 橢圓的方程,,查理·斯密（C. Smith, 1844-1916）《圓錐曲線初論》（1890）,,，,案例 7 橢圓的方程,References[1] Guisnée, N. Application de l'A

27、lgebre à la Geometrie. J. Boudot et J. Quillau, 1705. 71-72[2] L’Hospital, M. de. Traité Analytique des Sections Coniques. Paris: Montalant, 1720. 22-25[3] Robinson, H. N. Conic Sections & Analytical Geom

28、etry. New York: Ivison, Phinney & Co., 1862. 140-141[4] Steell, R. A Treatise of Conic Sections. London: St John’s Gate, 1745. 17[5] Wright, J. M. F. An Algebraic System of Conic Sections & Other Curves. London

29、: Black & Amstrong, 1836. 94-95[6] Davies, C. Elements of Analytic Geometry. New York: A. S. Barnes & Co., 1867. 95-96[7] Smith, C. An Elementary Treatise on Conic Sections. London: Macmillan & Co., 1890. 1

30、12-113,案例8 和角公式,托勒密（2世紀）,案例8 和角公式,托勒密（2世紀）,案例8 和角公式,帕普斯（Pappus, 3世紀末）《數(shù)學匯編》,案例8 和角公式,帕普斯（Pappus, 3世紀末）《數(shù)學匯編》,,案例8 和角公式,阿布·韋發(fā)(Abu’l-Wefa, 940-998),,案例8 和角公式,克拉維斯（C. Clavius, 1537-1612）《星盤》(1593),案例8 和角公式,阿布

31、83;韋發(fā)的啟示,案例8 和角公式,阿布·韋發(fā)的啟示,案例8 和角公式,面積變換法之一,案例8 和角公式,面積變換法之二,1,1,數(shù)學史與中學數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香 一種視角 一個領(lǐng)域,2 一條進路,在數(shù)學教學中，我們總是在不斷地回答“為什么”。為什么等腰三角形兩底角相等？（驢橋定理）為什么 是無理數(shù)？（不可公度量的發(fā)現(xiàn)）為什么 ？（均值不等式）為什

32、么正整數(shù)和（正）偶數(shù)是一樣多的？（實無窮）為什么函數(shù) 是奇函數(shù)？,2 一條進路,為什么要將圓周分成360度？（即，為什么在角度制里，要將圓周的1/360作為度量角的單位？）為什么 ？為什么平面直角坐標系將平面所分成的四個部分叫“象限”？為什么將冪指數(shù)稱為“對數(shù)”？為什么某些函數(shù)被稱為“奇函數(shù)”和“偶函數(shù)”？為什么稱未知數(shù)為“元”？,2 一條進路,為什么要將圓周分成36

33、0度？1年＝360天； 60 進制迦勒底人將黃道圓分成12宮，每一宮分成30等分。,2 一條進路,古希臘天文學家Hypsicles (c. 180 B.C.) 將黃道圓分成360等分托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在《天文大成》中使用60進小數(shù)，將圓周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分為60個小部分（秒），等等。,,2 一條進路,,,2 一條進路,為什么巴比倫人選擇60進制（以60為底）？

34、 Theon（4世紀）：60是能被1、2、3、4、5整除 的最小正整數(shù)。諾伊格鮑爾（O. Neugebauer, 1899-1990）：可以將度量三 等分。康托：巴比倫人知道一年有 360天；,2 一條進路,60是一年中的月數(shù)與行星（金、木、水、火、土）個數(shù)的乘積；蘇美爾人將等邊三角形看作是基本幾何圖形，而等邊三角形內(nèi)角為60度，因此若將60十等分，則就成為基本的角度單位，圓周含60個角度單位，故巴

35、比倫人選擇60為底；人除左手拇指為2節(jié)外，另四指各有3節(jié)，共12節(jié)；分別用右手五指數(shù)這12部分，得60。蘇美爾文明融合了兩種文明，其中一個文明采用12進制，另一文明采用5進制。,2 一條進路,許凱（N. Chuquet, 1445～1488）《算學三部》 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576 0 1 2 3 4

36、 5 6 7 8 9 … 204對應(yīng)的數(shù)16自乘，等于8對應(yīng)的256；7對應(yīng)的128乘以9對應(yīng)的512，等于16對應(yīng)的65536。,2 一條進路,施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《藝術(shù)新作》（1521） 0 1 2 3 4 5 … 16 1 2

37、 4 8 16 32 … 65536第二個數(shù)列中兩數(shù)的乘積對應(yīng)于第一個數(shù)列中兩數(shù)的和。第二個數(shù)列中三數(shù)的乘積對應(yīng)于第一個數(shù)列中三數(shù)的和。第二個數(shù)列中平方數(shù)的開方對應(yīng)于第一個數(shù)列中偶數(shù)除以2。第二個數(shù)列中某數(shù)開立方對應(yīng)于第一個數(shù)列中某數(shù)除以3。,2 一條進路,斯蒂菲爾（M. Stifel, 1487～1567）《整數(shù)算術(shù)》（1544） 0 1 2

38、 3 4 5 6 7 8 … 1 2 4 8 16 32 64 128 256 …等差數(shù)列中的加法對應(yīng)于等比數(shù)列中的乘法；等差數(shù)列中的減法對應(yīng)于等比數(shù)列中的除法；等差數(shù)列中的簡單乘法對應(yīng)于等比數(shù)列中的乘方；等差數(shù)列中的除法對應(yīng)于等比數(shù)列中的開方。,2 一條進路,克拉維斯(C. Cl

39、avius, 1538-1612)《實用算術(shù)概論》(1583) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 … 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的兩倍；

40、8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之和。,2 一條進路,納皮爾（J. Napier, 1550～1617）,2 一條進路,薛鳳祚（?～1680）《比例對數(shù)表》(1653),《數(shù)理精蘊》：“對數(shù)比例，乃西士若往·訥白爾所作。以借數(shù)與真數(shù)對列成表，故名對數(shù)表。……其法以加代乘，以減代除，以加倍代自乘，故折半即開平方。以三因代再乘，故三歸即開立方。推之至于諸乘方，莫不皆以假數(shù)相乘而得真數(shù)。蓋為乘

41、除之數(shù)甚繁，而以假數(shù)代之甚易也?！?數(shù)學史與中學數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香 一種視角 一個領(lǐng)域,3 一縷書香,薩頓 Isis (1913)《科學史引論》(1927-1947)《數(shù)學史研究》 (1936)《科學史研究》（1936）《科學史與新人文主義》（19??）,G. Sarton（1884-1956）,3 一縷書香,薩頓 在科學和人文之間只有一座橋梁，那就是科學史。建造這座橋梁是我們這個時代的

42、主要文化需要。,3 一縷書香,同樣，在數(shù)學和人文之間也只有一座橋梁，那就是數(shù)學史。,3 一縷書香,“人生之意義在于研究日、月、天?！?放棄財產(chǎn)、追求真理、身陷囹圄、鐵窗下仍在研究化圓為方問題的古希臘數(shù)學家阿那克薩哥拉,Anaxagoras (499B.C.-428B.C.),16世紀法國數(shù)學家拉繆斯，少時家貧，祖父是燒炭的，父親是個卑微的農(nóng)夫。12歲時，拉繆斯作為一位富家子弟的仆人進入巴黎的Navarre學院，白天伺候主人，黑夜

43、挑燈苦學，9年后竟獲碩士學位！他的碩士論文是《亞里士多德所說的一切都是錯的》！,3 一縷書香,Peter Ramus （1515-1572）,3 一縷書香,每天只花4小時睡覺、2小時吃飯休息、18小時學習學習、做研究的16世紀英國數(shù)學家約翰·第,John Dee（1527 – 1609）,3 一縷書香,為了研究數(shù)學，常常三天三夜不出房門的韋達,F. Viète (1540- 1603),3 一縷書香,吾先正有

44、言：“一物不知，儒者之恥?！苯翊艘患乙咽?，為其學者，皆暗中摸索耳。既遇此書，又遇子不驕不吝，欲相指授，豈可畏勞玩日，當吾世而失之！嗚呼，吾避難，難自長大；吾迎難，難自消微。必成之。,,Matteo Ricci (1552-1610)Seu Kuang-ke (1562-1633),3 一縷書香,在墨水結(jié)冰的冬夜，依然勤學不怠的索菲· 熱爾曼,Sophie Germain（1776-1831）,3 一縷書香,如果你要成為

45、一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必須對一切事情至少都懷疑一次。 ——笛卡兒《方法論》,3 一縷書香,華里司 人活著既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知的快樂給人生的酒杯加點糖。,W. Wallace (1768-1843),3 一縷書香,法布爾:牛頓二項式定理,J. H. Fabre (1823-1915),3 一縷書香,“自任國會議員以來，他學習并幾乎精通了《幾何原本》前6卷。他開始學習這門

46、嚴密的學科，為的是提高他的能力，特別是邏輯和語言的能力。因此他酷愛《幾何原本》，每次巡行，他總是隨身攜帶它；直到能夠輕而易舉地證明前六卷中的所有命題為止。他常常學到深更半夜，枕邊燭光搖曳，而同事們的鼾聲卻已此起彼伏、不絕于耳?！?(1860年總統(tǒng)候選人簡介),A. Lincohn (1809-1865),3 一縷書香,托馬斯·霍布斯 （Thomas Hobbes, 1588～1679） 40歲時才開

47、始學習 幾何。,3 一縷書香,美國著名爵士樂作曲家和演奏家亞提蕭（Artie Shaw） 數(shù)學學習以某種奇怪的方式給了我所知道的唯一實實在在的安全感，所以我感受到了在我整個生命里從未曾有過的那種精神上的快樂。,數(shù)學史與中學數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香 一種視角 一個領(lǐng)域,4 一種視角,Furinghetti: 將數(shù)學史用于數(shù)學教學的過程,4 一種視角,設(shè)計發(fā)生教學法時影考慮的因素：學生的學習（心理學

48、領(lǐng)域）概念的歷史（數(shù)學史領(lǐng)域）數(shù)學教材課程標準,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,例 1 矩形面積為12，寬為長的3/4。問該矩形的長、寬各為多少？（埃及紙草書）例 2 已知矩形面積為60，長比寬多7。問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。例 3 已知矩形面積為60，長比寬多7。長寬之和為17，問該矩形的長為多少？列出矩形的長所滿足的方程。 （巴比倫泥版 ）,案例1 一元二次方程的

49、概念,案例1 一元二次方程的概念,例 4 長為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當梯子的頂端沿墻向下滑動6英尺時，底端離墻滑動多遠？例 5 在例 3 中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動6英尺，那么底端將再一次滑動多遠？試列出底端再一次滑動的距離所滿足的方程。,案例1 一元二次方程的概念,例 6 如圖，有一所正方形的學校，南門和北門各開在南、北面圍墻的正中間。在北門的正北方20米處有一顆大榕樹。一個學生從南門出來，朝正南方

50、走14米，然后轉(zhuǎn)向西走1775米，恰好見到學校北面的大榕樹。問這所學校每一面圍墻的長度是多少？試列出方程。,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,（展示圖片）現(xiàn)在大家看到的是 中世紀歐洲最偉大的一位數(shù)學家， 他叫斐波納契。他在1225年寫成 一本書，叫《花朵》（聽起來不 像數(shù)學書名）。在該書中，斐波 納契提出了如下問題——,斐波納契,案例1 一元二次方程的概念,例7、如圖2，在等

51、腰三角形ABC中，已知AB=AC=10，BC=12。AD是底邊BC上的高。在AB、AC上各求一點 E、F，在BC上求兩點G和H，使AEGHF是等邊五邊形。,案例1 一元二次方程的概念,在教師的引導下，基于已有的知識和經(jīng)驗，學生從例2、3、5、6、7中分別得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。,案例1 一元二次方程的概念,,,,,,,,,,,,,,案例1 一元二次方程的概念,練習1、兩個正方形面積之和為1000。

52、一個正方形邊長是另一正方形邊長的減去10。求這兩個正方形的邊長。（巴比倫泥版上的問題） 練習2、在某公園內(nèi)一塊邊長為50米的正方形空地上建造一個正方形魚池，要求水池旁邊有供人觀賞行走的通道，且水池占地面積為空地面積的60%。請完成你的設(shè)計。,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,本教學設(shè)計在以下幾個方面貫徹了新課程的思想、理念、目標和要求。 1、包含濃郁的歷史文化氣息，體現(xiàn)數(shù)學是人類的一種文化。

53、讓學生體會數(shù)學的悠久歷史，數(shù)學與人類文明的密切相關(guān)性，數(shù)學文化的多元性。 2、教學活動建立在學生已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，在引出新知識的同時也鞏固了舊知識（如開平方、軸對稱、勾股定理、圖形的相似性等）。,案例1 一元二次方程的概念,本教學設(shè)計在以下幾個方面貫徹了新課程的思想、理念、目標和要求。3、增強學生的應(yīng)用意識，讓學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。4、使學生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學模型的過程，感受一元二次方程作為一種數(shù)學模

54、型的重要性。5、使學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程。,案例1 一元二次方程的概念,6、利用背景知識以及古人的問題情境，激發(fā)學生的好奇心與學習興趣，促進自主學習。7、使學生體會到不同數(shù)學知識之間的密切聯(lián)系。8、創(chuàng)造學生的學習動機，為后面一元二次方程解法的教學埋下了伏筆。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,例 1、古塔測高 如圖所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，測得影長為11.3米。 現(xiàn)將一長為0.8米的竹竿直立，使其影

55、子的末端與塔影的末端重合，測得竹竿的影長為0.2米。求塔高。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,這個例子根據(jù)古希臘哲學家泰勒斯測量金字塔高度的傳說以及歐幾里得《光學》中測量物體高度問題改編而成，原型為杭州西湖北岸寶石山上的保俶塔。教師在講完這個例子后，可向?qū)W生介紹泰勒斯測量金字塔高度的故事，讓學生明白，歷史上人們對相似三角形性質(zhì)的認識和應(yīng)用很早，我們今天的方法早在兩千五百多年前就以經(jīng)為泰勒斯所用。真是“太陽底下沒有新鮮事”！,案例2 相似三

56、角形的應(yīng)用,例2、隔河測距 如圖所示，在A和B兩點之間有一條河。在BA延長線上取一點C，作BC的垂線AD和CE，點D位于BE上。測得AC = 5米，CE = 3.3米，AD = 3米。求A、B之間的距離。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,這個問題根據(jù)海倫《Dioptra》中的間接測量問題改編而成。比古塔測高問題稍為復(fù)雜一些，因為，根據(jù)相似三角形性質(zhì)所得到的比例中，有兩項含有未知數(shù)，不能直接求得AB。意大利HPM學者Chung Ip

57、Fung等曾將與上述問題類似的問題與中國劉徽（3世紀）的海島測高問題同用于教學設(shè)計，目的是讓學生了解數(shù)學文化的多元性。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,例3、校園占地 如圖，有一所正方形的學校，西門和北門各開在西、北面圍墻的正中間。在北門的正北方30米處有一顆大榕樹。一個學生從西門出來，朝正西方走750米，恰好見到學校北面的大榕樹。問這所學校占地多少？,案例2 相似三角形的應(yīng)用,這個問題是根據(jù)《九章算術(shù)》勾股章中的“邑方”問題改編

58、而成的，原題為：“今有邑方不知大小，各開中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問：邑方幾何？”本問題比前面兩個問題稍難，需通過開方求解。教師告訴學生，中國在漢代就有這類問題，漢代的測量技術(shù)已十分高超；中國古代的幾何學與測量密切相關(guān)。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,例4、勾股定理的推廣（分組討論，合作探究） 我們知道，在直角三角形ABC三邊上作三個正方形，則兩直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，這就是勾股定理?，F(xiàn)

59、在直角三角形ABC三邊上任作兩兩相似的三個三角形BCD、ACE和ABF，如圖所示。關(guān)于這三個三角形的面積，你能得到什么結(jié)論？給出你的證明。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,案例2 相似三角形的應(yīng)用,這個問題要用到相似三角形的另一個性質(zhì)，即面積之比等于相似比的平方。事實上，古代巴比倫人已經(jīng)知道這個性質(zhì)；而對于畢達哥拉斯是如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的，西方數(shù)學史家的其中一種推測也是基于這個性質(zhì)：過直角三角形直角頂點向斜邊引高線，得大小三個兩兩相似的直角

60、三角形，它們的面積之比等于各自斜邊平方之比，但兩個小直角三角形面積之和等于大直角三角形面積，故它們的斜邊平方之和等于大直角三角形斜邊的平方。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,例5、愛琴文明的遺跡 古希臘歷史學家希羅多德（Herodotus, 前5世紀）描述了畢 達哥拉斯的故鄉(xiāng)、薩莫斯島上的一條約建于公元前530年、用于從愛琴海引水的穿山隧道，設(shè)計者為工程師歐帕里諾斯（Eupalinos）。這個隧道后來被人遺忘，直到19世

61、紀末，它才被考古工作者重新發(fā)現(xiàn)。20世紀70年代，考古工作者對隧道進行了全面的發(fā)掘。隧道全長1036米，寬1.8米，高1.8米。兩個工程隊從山的南北兩側(cè)同時往里挖掘，最后在山底某處會合，考古發(fā)現(xiàn)，會合處誤差極小。當時人們挖隧道所用的標準方法是在挖掘過程中在山的表面向下挖若干通風井，以確定所抵達的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古學家驚訝的是，該隧道挖掘過程中并未使用這一方法！人們不禁要問：歐帕里諾斯到底是用什么方法來確保兩個工程隊在彼

62、此看不到的情況下沿同一條直線向里挖的？,案例2 相似三角形的應(yīng)用,在歐帕里諾斯600年后，希臘數(shù)學家海倫在一本介紹測量方法的小書《Dioptra》中給出一種在山兩側(cè)的兩個已知出口之間挖掘直線隧道的方法，人們相信：這正是歐帕里諾斯當年用過的方法。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,練習題1、如圖，過直角頂點C向斜邊AB引垂線，D為垂足。于是直角三角形ADC、BDC、和ABC兩兩相似。你能利用相似三角形的性質(zhì)證明勾股定理嗎？,案例2 相似三

63、角形的應(yīng)用,2、解《九章算術(shù)》問題：“今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問：井深幾何？”,案例2 相似三角形的應(yīng)用,3、在一個勾5米，股12米的直角三角形空地上，要建一個正方形花壇，要求花壇的面積盡量大。請給出你的設(shè)計方法。（改編自《九章算術(shù)》勾股章“勾股容方”問題）,案例3 等比數(shù)列前 n 項和,上海市楊浦高級中學方耀華老師,等比數(shù)列的定義：,等比數(shù)列的通項公式：,通項公式的推廣：,設(shè)等比數(shù)列

64、 ，首項 ，公比為 ，,【知識回顧】,【問題】,“一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人會不愿意，哪知富人一口應(yīng)承了下來，但提出了如下條件：,借錢第一天，窮人還1分錢；第二天，還2分錢，……以后每天所還的錢數(shù)都是前一天的2倍，30天后，互不相欠。,在30天中，第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，第三天借給窮人3萬元，……，以后每一天多借給窮人1萬元。,能不能答應(yīng)富人以上的條件?,【問題解析】,窮人還錢總數(shù)－富人借錢總

65、數(shù) ＝ ？,富人借錢總數(shù)＝,窮人還錢總數(shù)＝,小組討論,班級交流,【問題解析】,窮人還錢總數(shù)－富人借錢總數(shù) ＝ ？,富人借錢總數(shù),窮人還錢總數(shù),【問題解析】,窮人還錢總數(shù)－富人借錢總數(shù),富人借錢總數(shù),窮人還錢總數(shù),答：不能答應(yīng)富人的條件。,【問題小結(jié)】,求等比數(shù)列 前30項和,等比數(shù)列前 項和,【公式探究】,設(shè)等比數(shù)列 ，首項 ，公比為 ，其前,對于一般的等比數(shù)列，它的前 項和公式是什么？,項和,

66、【公式探究】,萊因得紙草書（1650B.C.）,【公式探究】,萊因得紙草書（1650B.C.）,【公式探究】,設(shè)等比數(shù)列 ，首項 ，公比為 ，其前,項和,方程法：,【公式探究】,如果 是等比數(shù)列，,幾何原本,Euclid(325B.C.~265B.C.),【公式探究】,設(shè)等比數(shù)列 ，首項 ，公比為 ，其前,項和,合比定理：,【公式探究】,設(shè)等比數(shù)列 ，首項 ，公比

67、為 ，其前,項和,錯位相減法：,—）,,,,,,,個,構(gòu)造常數(shù)列,【例題舉隅】,例 1 兩河流域泥版MS 1844（約公元前2050年）上的問題：七兄弟分財產(chǎn)，最小的得2，后一個比前一個多得1/6，問所分財產(chǎn)共有多少？例 2. 求等比數(shù)列1，2，4，… 第5項到第16項的和。,例 3. 求 的值.,(a 為常數(shù)),一個中心:,兩個基本點：,(1) 重要的求

68、和方法：方程法；比例法；錯位相 減法；(2) 重要的思想方法：特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、 分類討論的思想方法.,等比數(shù)列前n項和公式的推導及運用。,【課堂小結(jié)】,數(shù)學史與中學數(shù)學教學,一座寶藏 一條進路 一縷書香 一種視角 一個領(lǐng)域,5 一個領(lǐng)域,1859年，達爾文發(fā)表進化論。在此基礎(chǔ)上，?？藸柼岢鲆粋€生物發(fā)生學定律：“個體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”，并將該定律運用于心理學領(lǐng)域，指出“兒童的心理發(fā)展不過是種