數(shù)學史-第08講-微積分發(fā)展史

1、微 積 分 發(fā) 展 簡 史,微積分的萌芽,微積分的醞釀,微積分的創(chuàng)立,微積分的發(fā)展與完善,微積分的偉大意義,微積分學是微分學(Differential Calculs)和積分學(Integral Calculs)統(tǒng)稱,英文簡稱Calculs,意為計算。這是因為早期微積分主要用于天文、力學、幾何中的計算問題。后來人們也將微積分學稱為分析學或無窮小分析。微積分中的基本概念主要是函數(shù)、極限、連續(xù)、導數(shù)、積分等，其中極限是微積分的基石。,微分學

2、的主要內(nèi)容包括：導數(shù)、微分。,積分學的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分。,一． 微積分思想萌芽,微積分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。在古代希臘、中國和印度數(shù)學家的著作中，已不乏用樸素的極限思想，即無窮小過程計算特別形狀的面積、體積和曲線長的例子。 在中國，公元前5世紀，戰(zhàn)國時期名家的代表作《莊子?天下篇》中記載了惠施的一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，是我國較早出現(xiàn)的極限思想。,把極限思想運用于實踐

3、，即利用極限思想解決實際問題的典范卻是魏晉時期的數(shù)學家劉徽。他的“割圓術(shù)”開創(chuàng)了圓周率研究的新紀元。劉徽首先考慮圓內(nèi)接正六邊形面積 ，接著是正十二邊形面積 ，然后依次加倍邊數(shù)，則正多邊形面積愈來愈接近圓面積。用他的話說，就是：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！卑凑者@種思想，他從圓的內(nèi)接正六邊形面積一直算到內(nèi)接正192邊形面積，得到圓周率 的近似值3.14。,南北朝時期的

4、著名科學家祖沖之（公元429-500年）祖 恒父子推進和發(fā)展了劉徽的數(shù)學思想，首先算出了圓周率 介于3.1415926與3.1415927之間，這是我國古代最偉大的成就之一。其次明確提出了下面的原理：“冪勢既同，則積不容異?！蔽覀兎Q之為“祖氏原理”，即西方所謂的“卡瓦列利原理”。并應用該原理成功地解決了劉徽未能解決的球體積問題。,歐洲古希臘時期也有極限思想，并用極限方法解決了許多實際問題。較為重要的當數(shù)安提芬(Ant

5、iphon,B.C420年左右)的“窮竭法”。他在研究化圓為方問題時，提出用圓內(nèi)接正多邊形的面積窮竭圓面積，從而求出圓面積。但他的方法并沒有被數(shù)學家們所接受。后來，安提芬的窮竭法在歐多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到補充和完善。之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計算問題。他的方法通常被稱為“平衡法”，實質(zhì)上是一種原始的積分法。他將需要求

6、積的量分成許多微小單元，再利用另一組容易計算總和的微小單元來進行比較。但他的兩組微小單元的比較是借助于力學上的杠桿平衡原理來實現(xiàn)的。平衡法體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是定積分概念的雛形。,與積分學相比，微分學研究的例子相對少多了。刺激微分學發(fā)展的主要科學問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問題。阿基米德、阿波羅尼奧斯(Apollonius, c.BC262-c.BC190)等均曾作過嘗試，但他們都是基于靜

7、態(tài)的觀點。古代與中世紀的中國學者在天文歷法研究中也曾涉及到天體運動的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，但多以慣用的數(shù)值手段（即有限差分計算）來處理，從而回避了連續(xù)變化率。,二、微積分的醞釀,近代微積分的醞釀，主要是在17世紀上半葉這半個世紀。 為了理解這一醞釀的背景，我們首先來賂微回顧一下這一時期自然科學的一般形勢和天文、力學等領域發(fā)生的重大事件。 首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠鏡，不久伽利略將他制成

8、的第一架天文望遠鏡對準星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠鏡的發(fā)明不僅引起了天文學的新高漲，而且推動了光學的研究。,1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運動定律。開普勒行星運動三大定律要意是： 1。行星運動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點； 2。由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等； 3。行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。 開普勒主要是通過觀測歸納

9、出這三條定律，從數(shù)學上推證開普勒的經(jīng)驗定律，成為當時自然科學的中心課題之一。,1638年，伽利略的《關(guān)于兩門新科學的對話》出版。伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學奠定了基礎；他認識到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應在發(fā)射角為45度時達到，等等。伽利略本人竭力倡導自然科學的數(shù)學化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學概念與定律作精確的數(shù)學表述的巨大熱情。 凡此一切，標志著自文藝復興以來在資本

10、主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學困難，使微分學的基本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點。,微積分的創(chuàng)立，首先是為了處理十七世紀的一系列主要的科學問題。有四種主要類型的科學問題：第一類是，已知物體的移動的距離表為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度使瞬時變化率問題的研究成為當務之急；第二類是，望遠鏡的光程設計使得求曲線的切線問題變得不可回避；第三類是，確定炮彈的最大射程以及求行

11、星離開太陽的最遠和最近距離等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也急待解決；第四類問題是求行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力等，又使面積、體積、曲線長、重心和引力等微積分基本問題的計算被重新研究。,在17世紀上半葉，幾乎所有的科學大師都致力于尋求解決這些難題的新的數(shù)學工具，特別是描述運動與變化的無限小算法，并且在相當短的時期內(nèi)，取得了迅速的進展。 代表性的工作有： 1、開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積；

12、 開普勒方法的要旨，是用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。例如他認為球的體積是天數(shù)個小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計算出它的體積，然后進一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一。,2、卡瓦列里不可分量原理 他在《用新方法促進的連續(xù)不可分量的幾何學》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法。認為線是由無限多個點組成；面是由無

13、限多條平行線段組成；立體則是由無限多個平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”。 卡瓦列里利用這條原理計算出許多立體圖形的體積，他對積分學創(chuàng)立最重要的貢獻還在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等價于下列積分式子：,3、笛卡兒的“圓法” 笛卡兒的這種代數(shù)方法在推動微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研究微積分的道路的。

14、 笛卡兒圓法在確定重根時會導致極繁復的代數(shù)計算，1658年荷蘭數(shù)學家胡德提出了一套構(gòu)造曲線切線的形式法則，稱為“朗德法則”。朗德法則為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機械的算法，可以完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時所要進行的計算。,4、費馬求極大值和極小值方法 按費馬的方法。設函數(shù)f(x)在點a處取極值，費弓用“a+e”代替原來的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即：

15、 f(a+e)～f(a) 這里所提到的“e”就是后來微積分學當中的“ ”,,5、巴羅的“微分三角形” 巴羅是牛頓的老師。是英國劍橋大學第一任“盧卡斯數(shù)學教授”，也是英國皇家學會的首批會員。當巴羅發(fā)現(xiàn)和認識到牛頓的杰出才能時，便于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學生——當時才27歲的牛頓來擔任。巴羅讓賢，已成為科學史上的佳話。,6、沃利斯的“無窮算術(shù)”

16、 沃利斯另“一項重要的研究是計算四分之一單位圓的面積，并由此得到 的無窮乘積表達式。并有以下猜想：,1.牛頓的“流數(shù)術(shù)”,牛頓于1661年入劍橋大學三一學院，受教于巴羅，同時鉆研伽利賂、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術(shù)》對他影響最深，正是這兩部著作引導牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。 166

17、5年8月，劍橋大學因瘟疫流行而關(guān)閉，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競成為牛頓科學生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色理論，……，可以說牛頓一生大多數(shù)科學創(chuàng)造的藍圖，都是在這兩年描繪的。,三、微積分的創(chuàng)立,1、流數(shù)術(shù)的初建 牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當時他反復閱讀笛卡兒《幾何學》，對笛卡兒求切線的“圓法”發(fā)生興趣并試圖尋找更好的方法。就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終

18、趨于零的增量。 1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)探討微積分并取得了突破性進展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了”反流數(shù)術(shù)”(積分法)。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡論》著稱，《流數(shù)簡論》是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。,2、流數(shù)術(shù)的發(fā)展 《流數(shù)簡論》標志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟

19、的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對自己的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚。他在這一年10月當選為三一學院成員，次年又獲碩士學位，并不是因為他在微積分方面的工作，而是因為在望遠鏡制作方面的員獻。但從那時起直到1693年大約四分之一世紀的時間里，牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是： (1)1669年的《運用無限多項方程的分析》 ； (2) 1671年的《流數(shù)法與無窮級數(shù)》； (3) 169

20、1年的《曲線求積術(shù)》。,牛頓微積分學說最早的公開表述出現(xiàn)在1687年出版的力學名著《自然哲學的數(shù)學原理》之中。因此《原理》也成為數(shù)學史上的劃時代著作。 《原理》在創(chuàng)導首末比方法的同時保留了無限小瞬，這種做法常常被認為自相矛盾而引起爭議。實際上，在牛頓的時代，建立微積分嚴格基礎的時機尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽創(chuàng)造新算法的同時，堅持對微積分基礎給出不同解釋，說明了他對微積分基礎所存在的困難的深邃洞察和謹慎態(tài)度。

21、,《原理》被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴格地推導證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學工具的威力。 《原理》中的微積分命題雖然都采用了幾何形式來敘述、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多救命題是依靠使用了“新分析法”，然后再“綜合地證

22、明”。事實上，1664年參加巴羅主考的三一學院津貼生考試時，因歐氏幾何成績不佳差一點未能通過。,2.萊布尼茨的微積分,在微積分的創(chuàng)立上，牛頓與萊布尼茨分享榮譽。 萊布尼茨(1646——1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學學習法律，同時開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學思。1667年獲阿爾持多夫大學法學博士學位，次年開始為緬因茨選帝侯服務，不久被派往巴黎任大使。萊布尼茨在巴黎居留了四年[16

23、72—1676)，這四年對他整個科學生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時期完成或奠定了基礎。,萊布尼茨在巴黎與荷蘭效學家、物理學家惠更斯的結(jié)識、交往，激發(fā)了他對數(shù)學的興趣．他通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題． 與牛頓流數(shù)論的運動學背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角

24、形的研究．特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經(jīng)出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．,1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，刊登在《教師學報》上，這也是數(shù)學史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻．該文是萊布尼茨對自己1673年以來微分學研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號dx，dy。萊布尼茨假設橫坐標x的微分dx是任意的量，

25、縱坐標y的微分dy就定義為它與dx之比等于縱坐標與次切距之比的那個量。 《新方法》中明確陳述了萊布尼茨1677年已得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式：,1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學淪文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》。這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系。 萊布尼茨分析道：‘‘研究不定求積或其不可能性的方法，對我來說不過是我稱之為反切線方法的

26、更廣泛的問題的特殊情形(并且事實上是比較容易的情形)，而這種反切線方法包括了整個超越幾何的絕大部分．”,3.優(yōu)先權(quán)之爭,微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展史上的重大事件，在18世紀的歐洲，曾有一場關(guān)于建立微積分優(yōu)先權(quán)問題的爭論?！皟?yōu)先權(quán)”之爭是由局外人搬弄是非引發(fā)的。1699年一位瑞士數(shù)學家N.F.德丟勒在一本小冊子中提出“牛頓是微積分的第一發(fā)明人”，萊布尼茲則是“第二發(fā)明人”，“曾從牛頓那里有所借鑒”，尤其后面這句話，使得德國人十分不滿.1712

27、年，英國皇家學會還專門成立一個“調(diào)查委員會”，并于第二年公布了一份《通報》，宣布“確認牛頓為第一發(fā)明人。”這種事態(tài)引起了萊布尼茲的申訴，雙方爭論越演越烈，指責對方的話說得十分難聽。這實在是“科學史上最不幸的一頁”，使得18世紀英國數(shù)學家與歐洲大陸數(shù)學家分道揚鑣，英國數(shù)學堅持牛頓原始創(chuàng)新的那種傳統(tǒng)不肯改進，遠離了數(shù)學分析逐漸完善的主流，分析數(shù)學的主流與中心移到了德國與法國，不必要的“優(yōu)先權(quán)”之爭使英國數(shù)學受到了損失。,就微積分而言，牛頓在

28、1687年以前并未公開發(fā)表任何有關(guān)微積分的文章，而萊布尼茲則于1684年和1686年分別先于牛頓發(fā)表了關(guān)于微分與積分的兩篇重要文章，可見文章的發(fā)表萊布尼茲先于牛頓，但牛頓對微積分的發(fā)現(xiàn)確實領先于萊布尼茲，而且萊布尼茲對牛頓有很高的評價。1701年在柏林王宮的宴會上，當普魯士王問萊布尼茲如何評價牛頓時，萊布尼茲答：“綜觀有史以來的全部數(shù)學，牛頓做了一多半的工作?！迸ｎD對萊布尼茲也有公正的評價，牛頓在《原理》的前言中稱：“十年前，我在給學問

29、淵博的數(shù)學家萊布尼茲的信中曾指出：我發(fā)現(xiàn)了一種新方法，可以用來求極大值、極小值、作切線以及解決其他類似的問題，而且這種方法也適用于無理數(shù)。這位名人回信說他也發(fā)現(xiàn)了類似的方法，并把他的方法給我看了。他的方法與我的大同小異，除了用語、符號、算式和量的產(chǎn)生方式外，沒有實質(zhì)性區(qū)別。可見牛頓也承認萊布尼茲與他同時發(fā)現(xiàn)了微積分。,兩人工作的不同點：（1）在建立微分學的出發(fā)點上，牛頓主要從力學出發(fā)，以速度為模型，而萊布尼茲則主要從幾何出發(fā)，從作曲線

30、在一點的切線開始建立了微分學。（2）在積分學問題上，牛頓偏重于求微分的反運算，即今天的不定積分概念；而萊布尼茲則側(cè)重于把積分了解為求微分的“和”，實際上他把這種算法叫“求和計算”，也就是今天的定積分概念。（3）對無窮小的理解也不盡相同。牛頓的無窮小不分階數(shù)，而萊布尼茲試圖定義高階微分，并對其間的關(guān)系作過生動的比喻（如恒星、地球、砂粒等）。由此可見，萊布尼茲的微分有許多層次，在這一點上比牛頓深刻。（4）二人采用的符號不同。比如牛頓用

31、“點”，而萊布尼茲用“d”等，并由于他精心設計，反復改進，系統(tǒng)地提出了至今仍沿用的符號，這對微積分的發(fā)展起到了積極作用。,（5）他們二人的學風也不盡相同。作為科學家的牛頓學風嚴謹，小心謹慎，重視實際。作為哲學家的萊布尼茲則比較大膽，富于想象，勇于推廣，因為他不贊成因過分的細密而阻礙了最好的創(chuàng)造。 　牛頓的支持者有著名數(shù)學家泰勒和馬克勞林，萊布尼茲的維護者則是著名數(shù)學家貝努利兄弟，這場爭論把歐洲科學家分成勢不兩立的兩派－英國

32、派和大陸派，并因此使雙方停止了學術(shù)交流。由于牛頓的代表著作《自然哲學的數(shù)學原理》中主要使用的幾何方法，所以在牛頓去逝后的100多年中，英國人繼續(xù)以幾何為主要工具，沿用牛頓的落后記號，以致使英國數(shù)學開始落后于大陸。,四、微積分的發(fā)展與完善,1．函數(shù)概念的發(fā)展　　　解析幾何出現(xiàn)以后，有了變量，這為函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展提供了條件，而自然科學的發(fā)展需要人們研究函數(shù)。微積分產(chǎn)生之后，函數(shù)的研究就成為必然，初等函數(shù)已經(jīng)被充分認識。牛頓用“流量”一

33、詞表示變量之間的關(guān)系，萊布尼茲用“函數(shù)”一詞表示任何一個隨曲線上的點的變動而變動的量。1734年，歐拉使用記號表示函數(shù)。這個時期的函數(shù)概念，是由解析表達式（有限或無限的）所給出，是運算的組合，函數(shù)要與曲線聯(lián)系起來。,1807年，傅里葉由于研究熱的傳導問題，發(fā)現(xiàn)了不能用單個（有限的）解析式表達的函數(shù)，如，　　　　　　他的這一發(fā)現(xiàn)是函數(shù)概念發(fā)展的一個轉(zhuǎn)折點。雖然歐拉等人也有類似傅里葉的思想，但只是在傅里葉對熱傳導深入研究引起人們注意時，

34、他關(guān)于函數(shù)的這個發(fā)現(xiàn)才對人們有所震動。,,1821年，柯西在他關(guān)于分析學的著作中給出函數(shù)一個新的定義：若干個有聯(lián)系的變量之間，當給定了其中一個變量的值，就可以決定所有其它變量的值。該定義基本上擺脫了“解析表達式”的要求，側(cè)重于關(guān)于變量間關(guān)系的認識，但仍未揭示出變量之間的對應關(guān)系這一函數(shù)概念的本質(zhì)。更進一步的定義是德國數(shù)學家狄利克雷在1837年給出的：如果對于給定區(qū)間的每一個的值，有唯一的一個的值與之對應，那么就是的一個函數(shù)。他還舉出一個

35、著名函數(shù)的例子，以說明函數(shù)概念的一般性，這就是“狄利克雷函數(shù)”：當是有理數(shù)時，取值1；當是無理數(shù)時，取值0。這個函數(shù)是不可能寫出任何解析表達式來的。,2．函數(shù)的極限　　　極限的思想自古以來就有，但直到柯西時，才使它有了一個明確的定義。他在1821年的《代數(shù)分析教程》中這樣說的：當一個變量逐次所取得的值無限趨向一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多么小就有多小，則該定值就叫做這些值的極限?！　　】挛鞯亩x與前人不同的是，他擺脫了幾何

36、圖形及幾何量的任何牽連，只用了“變量”的“數(shù)”或函數(shù)，沒有幾何或力學的直觀。在此基礎上，柯西很自然的定義了“無窮小量”及“無窮大量”，他把無窮小量看成是以0為極限的變量，這就澄清了對無窮小量“似零非零”的模糊認識，把它從物理的、幾何的原形中抽象成為一個純數(shù)學概念。,由柯西建立起來的這個分析體系，極限是最基本的概念，使用它給出了微分、積分、收斂、連續(xù)等幾乎所有的概念。但是，柯西的定義中這樣一些描述性的詞語，如：“無限接近”、“要多小就多小

37、”等，其數(shù)學意義是不確切的，還留有物理過程的直觀痕跡，沒有達到算術(shù)化程度，因此這樣的極限論還是初步的、不精確的。1850年左右，魏爾斯特拉斯為排除極限概念中的幾何直觀性，提出了關(guān)于極限的純算術(shù)定義，用他發(fā)明的所謂語言來表達極限概念，也就是我們現(xiàn)今使用的定義，它與柯西的定義不同的是：,①其中沒有任何或明或暗地含有幾何、運動的含義，完全算術(shù)化了。②沒有“變量”、“變化”、“趨向”等動態(tài)的詞，是一個靜態(tài)的定義，它說明極限的本質(zhì)是“靜態(tài)”的。

38、③柯西定義中“要多小有多少”這種詞是一種定性的描述，現(xiàn)在量化了。④沒有涉及“無窮小量”，從而可以徹底地在微積分中排除“無窮小”概念。,3．關(guān)于導數(shù)　　　1817年和1823年，波爾察諾與柯西分別定義了導數(shù)，都是按照函數(shù)增量與自變量增量之比的極限來定義的。與導數(shù)有關(guān)的嚴密化問題，有下面幾點：①柯西給出導數(shù)定義后，又把 定義為任一有限量，而把 定義為 ，從而導數(shù)概念與萊布尼茲的微分統(tǒng)

39、一起來，并可以通過導數(shù)定義微分。②1797年，拉格朗日給出“拉格朗日中值定理”，1823年，柯西給出了中值定理的證明，并且用它闡明了 與 之間的關(guān)系。,,,,③可微性與連續(xù)性的關(guān)系花了幾十年時間才被人們弄清楚。柯西認為，連續(xù)函數(shù)一定是可微的。雖然波爾察諾在1834年就已經(jīng)知道連續(xù)性與可微性有區(qū)別，并且構(gòu)造出連續(xù)但在任何點都沒有導數(shù)的函數(shù)來，但是他沒有發(fā)表。1854年，黎曼給出處處連續(xù)但在很多點

40、沒有導數(shù)的例子，這也沒有引起人們的注意。連續(xù)性與可微性之間驚人的區(qū)別，是由瑞士人塞萊里埃指出的，1860年他給出處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)（a是正整數(shù)），此后魏爾斯特拉斯也給出這樣的例子，連續(xù)性不蘊含可微性的發(fā)現(xiàn)有重大意義，它使人們更加不敢依賴直觀和幾何的思考方式了。,,4．積分學的嚴密化過程 牛頓的積分本質(zhì)上是微分法的逆運算，也可以說是“不定積分”；萊布尼茲把面積看成矩形微元的和，實際上是定積分。他們的這種模

41、糊不清的概念和關(guān)系延續(xù)了100多年之后才被柯西等人弄清楚了。 1823年，柯西對定積分做了開創(chuàng)性的工作，即他對連續(xù)函數(shù)下了定積分的定義，并對積分的理論進行了下列建設性的工作。①他證明連續(xù)函數(shù)的積分必存在，并強調(diào)在使用積分前先解決這個問題，這說明他對存在性是很重視的。由于沒有一致連續(xù)性的概念，他的證明是有缺陷的。,②證明了微積分基本定理。③證明了全體原函數(shù)彼此之間僅相關(guān)一個常數(shù)，且定義了不定積分為變上限的定積分，由

42、此開始，人們把不定積分與原函數(shù)區(qū)分開了。④定義了無窮區(qū)間上的積分及無界函數(shù)的積分。⑤用極限定義了區(qū)域的面積、曲線的長、立體的體積等概念。 1854年，黎曼從考慮傅里葉級數(shù)和積分公式出發(fā)，認為被積函數(shù)的條件應該放寬，因此他把積分定義推廣到有界函數(shù)上，不再要求連續(xù)性，即所謂黎曼積分.1875年，達布引入了“達布和”，給出了可積性充要條件。至此，黎曼積分的理論基本上得到了完善。,5．無窮級數(shù) 微積

43、分的發(fā)展與無窮級數(shù)的研究密不可分。牛頓在他的的流數(shù)論中自由運用無窮級數(shù)，他憑借二項式定理得到了　和　等許多函數(shù)的級數(shù)。泰勒級數(shù)則提供了將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的一般方法。在18世紀，各種初等函數(shù)的級數(shù)展開陸續(xù)得到，并在解析運算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具。數(shù)學家在早期運用無窮級數(shù)時，沒有對收斂和發(fā)散問題引起足夠重視。到了18世紀末，由于應用無窮級數(shù)得到了一些可疑的有時甚至是完全荒謬的結(jié)果。,,,如無窮級數(shù)到底等于什么？當時

44、人們認為一方面另一方面，那么豈非　??？這種矛盾曾使傅里葉這樣的大數(shù)學家也困惑不解，甚至于讓歐拉也在此犯下了可笑的錯誤。他在得到　　　　　　　　　　　　后，再令　　　時，得出　　　　　　　　　。由此可見當時數(shù)學界中的混亂局面。當時幾乎無人過問分析中一些比較細致的問題，如級數(shù)、積分的收斂性等，顯然，無窮級數(shù)運算的合法性亟待有人來研究。,,,,,,,,1811年，傅里葉首先給出了級數(shù)收斂的嚴格定義，而第一個對無窮級數(shù)的收斂性質(zhì)作出研

45、究的是數(shù)學大師高斯。1812年，他在《無窮級數(shù)的一般研究》的著作中研究超幾何級數(shù)　時，把級數(shù)的使用限制在它的收斂范圍內(nèi)，同時，他引入了高斯級數(shù)的概念，除了證明這些級數(shù)的性質(zhì)外，還通過對它斂散性的討論開創(chuàng)了關(guān)于級數(shù)斂散性的研究。1821年，柯西在《分析教程》一書中給出了著名的柯西準則以及比值判別法和根式判別法。他在1853年認識到，要使得連續(xù)函數(shù)的級數(shù)的和一定連續(xù)，必須有一致收斂的條件，但他仍然沒有看出在使用級數(shù)的逐項積分時也要求一致收

46、斂。,,是魏爾斯特拉斯引入了一直被忽視的一致收斂的概念，從而消除了微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂現(xiàn)象。他利用一致收斂的概念給出了逐項積分和在積分號下求微分的條件。由于他對一致收斂的研究使得微積分日趨嚴密，他也因此成為分析嚴格化的最大貢獻者，并被譽為“現(xiàn)代分析之父”。調(diào)和級數(shù)的討論引引起了對發(fā)散級數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是利用發(fā)散級數(shù)而獲得一些著名的數(shù)值逼近公式。18世紀通過研究發(fā)散級數(shù)獲得的一個重要常數(shù)“歐拉常數(shù)”　，,,

47、是歐拉討論如何利用對數(shù)函數(shù)來逼近調(diào)和級數(shù)時得到的，它最簡單的表示形式為：　　　　　　　　　　　　　　　　.　　　　歐拉曾計算出 的近似值為0.577 218，但迄今我們還不能判定究竟是有理數(shù)還是無理數(shù)。,,,五、微積分發(fā)現(xiàn)的偉大意義,1．自從有了解析幾何和微積分，就開辟了變量數(shù)學的時代，因而數(shù)學開始描述變化，描述運動。微積分改變了整個數(shù)學世界的面貌。牛頓、萊布尼茲17世紀創(chuàng)立的微積分還存在著明顯的邏輯缺陷，但是這種缺陷并未抑

48、制它旺盛的生命力。18世紀的數(shù)學家們在微積分提供的思維和工具的基礎上闊步前進，迅速創(chuàng)立了許多數(shù)學分支，諸如微分方程，無窮級數(shù)，變分法等。在進入19世紀之后，還有諸多與微積分直接相關(guān)的數(shù)學分支產(chǎn)生，原有的一些數(shù)學分支也開始利用微積分的方法，前者包括復變函數(shù)，微分幾何等，后者包括數(shù)論，概率論等?？梢哉f，在有了微積分之后的兩、三百年時間，數(shù)學獲得了極大的發(fā)展，獲得了空前的繁榮。微積分的嚴密邏輯基礎也在19世紀完善地建立起來。微積分基本定理的表

49、現(xiàn)形式在多維空間和一般拓撲空間中也獲得了拓廣，在更廣闊的領域中延伸，進一步顯示了它在數(shù)學領域里的普遍意義。,2．對其他自然科學和工程技術(shù)的作用　　　有了微積分，整個力學、物理學都得以它為工具加以改造，微積分成了物理學的基本語言，而且，許多物理學問題要依靠微積分來尋求解答?！皵?shù)理不分家”，這句話在有了微積分之后就具有了真實的意義，離開了微積分不可能有現(xiàn)代物理，無論是力學、電學還是光學、熱學。微積分的創(chuàng)立得到了天文學的啟示，此后，天文學再

50、也離不開微積分。19世紀上半葉可能還認為化學只需要簡單的代數(shù)知識，而生物學基本上與數(shù)學沒有聯(lián)系?，F(xiàn)在，化學、生物學、地理學等都必須深入地同微積分打交道。,3．對人類物質(zhì)文明的影響　　　工程技術(shù)是最直接影響人類物質(zhì)生活的，然而工程技術(shù)的基礎即數(shù)理科學，也可以說，現(xiàn)代工程技術(shù)少不了微積分的支撐，從機械到材料力學，從大壩到電站的建設，都要利用微積分的思想和方法。如果說在落后的生產(chǎn)方式之下，只需要少量的幾何、三角知識就可以工作的話，如今，任何

51、一個未學過微積分的人都不可能從事科學技術(shù)工作。在有了微積分和萬有引力原理之后，人們就預見了人造衛(wèi)星及宇宙飛行的可能，并且早已利用微積分計算出了宇宙速度。今日滿天飛行的人造衛(wèi)星早在微積分產(chǎn)生之初就已在學者們的預料之中。在今天人類廣泛的經(jīng)濟活動、金融活動中，微積分也成了必不可少的工具。微積分誕生之初的主要背景是物理學和幾何學，而今，它幾乎成為一切領域所運用。它對人類物質(zhì)生活的影響是越來越大。,4．對人類文化的影響　　 只要研究變化規(guī)律就