工程力學(xué)5第五章彎曲應(yīng)力

1、主講:符春生,第五章,彎曲應(yīng)力,,FS,M,FS,～τ,M=Mz,～σ,§5－1 概述,純彎曲梁分析截面上正應(yīng)力,彎矩M作用產(chǎn)生什么應(yīng)力?,純彎曲：如圖CD段。,剪切(橫力）彎曲：如圖AC段和BD段。,§5－2 梁彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力,純彎曲梁：彎矩不為零，剪力為零,（1）橫線：變形后仍為直線，但轉(zhuǎn)過一角度，并與縱線仍正交。,一.純彎曲梁的正應(yīng)力,中性層與橫截面的交線——中性軸z；,（2）縱線：彎成弧線

2、，上部縮短，下部伸長(zhǎng),,中間有一層縱線既不伸長(zhǎng)，也不縮短——中性層。,1﹒幾何關(guān)系,（1）平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線正交；,基本假設(shè),（2）單向受力假設(shè)：各縱向線（纖維）之間無擠壓。每一縱向線處于單向受力狀態(tài)。,ρ——變形后中性層的曲率半徑。,y——任一縱線到中性層的距離。,dθ——1-1和2-2截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。,任一條纖維的線應(yīng)變?yōu)椋?2.物理關(guān)系:,3.靜力學(xué)關(guān)系:,Sz = 0——中性軸z通過橫截面的形心。,I

3、yz =0——梁發(fā)生平面彎曲的條件。,EIz——彎曲剛度,,說明：,(2)符號(hào)：①由M與y的符號(hào)確定σ的符號(hào)；,⑴ 線彈性;,②由彎曲變形確定。,,① z軸為對(duì)稱時(shí)：,② z軸為非對(duì)稱時(shí):,二.純彎曲正應(yīng)力公式的推廣,例1 ：一簡(jiǎn)支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同的矩形截面，圓形截面和工字形截面,試求以三種截面的最大拉應(yīng)力。設(shè)矩形截面高為140mm,寬為100mm,面積為14000mm2。,解：該梁C截面的彎矩最大，

4、 Mmax=10×3=30kN.m,⑴矩形截面:,⑵圓形截面,⑶ 工字形截面。 選用50C號(hào)工字鋼,其截面面積為139000mm2。,在承受相同荷載和截面面積相同時(shí)，工字梁所產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力最小。反過來說，如果使三種截面所產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力相同時(shí)，工字梁所承受的荷載最大。因此，工字形截面最為合理，矩形截面次之，圓形截面最差。,結(jié)論如下：,§5-3 矩形截面梁的切應(yīng)力,1、兩點(diǎn)假設(shè):,（1）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平

5、行,（2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布,由切應(yīng)力互等定理,2、彎曲切應(yīng)力公式,y——所求點(diǎn)距中性軸的距離。,FS ——橫截面上剪力。,Iz ——整個(gè)橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩。,b——橫截面寬度。,S z* ——橫截面上距中性軸y處 橫線一側(cè) 截面對(duì)中性軸 的面積矩。,,3、切應(yīng)力沿截面高度的分布,y=±h/2，τ＝0,,比較,剪切彎曲時(shí)，平面假設(shè)不再成立,,1、腹板,FS——橫截面上剪

6、力。,矩形截面的兩個(gè)假定同樣適用。,,一、工字形截面梁,§5-4、其他形狀截面梁的切應(yīng)力,工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力:,FS——橫截面上剪力。,Iz ——整個(gè)工字形截面對(duì)中性軸z的慣性矩。,d——腹板寬度。,Sz* ——距z軸y處橫線一側(cè) 陰影部分截面對(duì)z的面積矩。,,,其中 ——面積δ×u 對(duì)中性軸的面積矩。,2、翼緣,,切應(yīng)力流：,切應(yīng)力沿截面像水流一樣流動(dòng)的現(xiàn)象。,工字形截面梁切應(yīng)力的分析方法同樣適用

7、于T字形，槽形，箱形等截面梁。,,二、圓形截面梁,三、薄壁圓環(huán)截面梁,例2：一T形截面外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力，并畫出最大剪力截面上的切應(yīng)力分布圖。,解:,(1) 確定橫截面形心的位置.,(2) 計(jì)算橫截面的慣性矩Iz .,Iz=186.6×106mm4,(3) 畫剪力、彎矩圖.,(4) 計(jì)算最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力,由于該梁的截面不對(duì)稱于中性軸，因而橫面上下邊緣的距離不相等，故需分別計(jì)算B、D截面

8、的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，然后比較。,① 在B截面上的彎矩為負(fù)，故該截面上邊緣各點(diǎn)處產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，下邊緣各點(diǎn)處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力。,σt max = 40×103×100×10-3/186.6×10-6=21.4 MPa,,σc max = 40×103×180×10-3/186.6×10-6=38.6 MPa,② D截面上的彎矩為正，故該截面下邊緣各點(diǎn)處產(chǎn)生

9、最大拉應(yīng)力，上邊緣各點(diǎn)處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力：,σt max = 22.5×103×180×10-3/186.6×10-6=21.7 MPa,,σc max = 22.5×103×100×10-3/186.6×10-6=12.1 MPa,∴σt max = 21.7 MPa， 發(fā)生在D截面的下邊緣各點(diǎn)處。,σc max = 3

10、8.6 MPa， 發(fā)生在B截面的下邊緣各點(diǎn)處。,FSmax=50kN截面上的切應(yīng)力分布:,例3：一矩形截面外伸梁，如圖所示?，F(xiàn)自梁中1.2.3.4點(diǎn)處分別取四個(gè)單元體，試畫出單元體上的應(yīng)力，并寫出應(yīng)力的表達(dá)式。,解：(1)求支座反力:,,(2)畫FS 圖和M 圖,5－4、梁的強(qiáng)度計(jì)算,危險(xiǎn)點(diǎn)：,最大彎矩截面的上、下底面各點(diǎn)為正應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)。,最大剪力截面的中性軸各點(diǎn)為切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)。,危險(xiǎn)截面：,最大彎矩截面,最大

11、剪力截面,一、梁的強(qiáng)度計(jì)算,1、等截面梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：,注：①?gòu)澢菰S正應(yīng)力[σ]彎略大于軸向拉壓容許正應(yīng)力[σ]軸， 一般可取[σ]彎= [σ]軸。,②當(dāng)[σt ] ≠ [σc ]時(shí)，需分別計(jì)算σtmax和σcmax，使 σtmax ≤ [σt ] ， σcmax ≤ [σc ]。,2、等截面梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為:,校核強(qiáng)度；,設(shè)計(jì)截面；,求容許荷載。,強(qiáng)度計(jì)算：,注：① 一般情況下，只需按正應(yīng)

12、力強(qiáng)度條件來進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算， 不必對(duì)切應(yīng)力作校核。,② 特殊情況下，需校核切應(yīng)力強(qiáng)度。,a. FS 很大而 M 較小。,焊接或鉚接的組合薄壁截面梁。如工字形截面，當(dāng)復(fù)板高度很高， 厚度很小時(shí)，腹板上產(chǎn)生相當(dāng)大的切應(yīng)力。,c. 木梁的順紋向抗剪強(qiáng)度較低，應(yīng)校核τ順。,d、題中給定[τ]。,例4. 如圖一簡(jiǎn)支木梁。已知：[σt] = [σc] = 10 MPa，[τ] = 2 MPa。梁截面為矩形，b = 80

13、 mm，求高度。,解：由正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面高度，再校核切應(yīng)力強(qiáng)度。,1°按正應(yīng)力強(qiáng)度條件計(jì)算h 。,而,可取 h = 200 mm 。,2°切應(yīng)力強(qiáng)度校核：,故由正應(yīng)力強(qiáng)度條件所確定的h=200mm能滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。,例5. 一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知:l=2m,Iz=5493×104mm4;若材料為鑄鐵:[σt] = 30 MPa，[σc] = 90 MPa, [τ]=24MPa。試求q的

14、容許值,并校核切應(yīng)力強(qiáng)度。,解：1°畫剪力、彎矩圖，確定危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)。,2°求[ q ]。,C截面：,q ≤12.3kN/m,B截面：,q ≤9.6 kN/m,∴ 該梁所受q 的容許值為：[ q ]=9.6kN/m,3、校核切應(yīng)力,二、提高承載能力的措施,1、選擇合理截面形式,即Wz /A 越大越合理，此時(shí)Iz /A也較大，既可提高強(qiáng)度，又可提高剛度。,彎矩M與Wz成正比，,Wz越大越合理,合理截面：是在不增加

15、材料消耗的前提下， 盡可能使得Wz越大越合理。,如設(shè)截面高度為h ，,可見，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圓截面合理。,選擇截面的形式時(shí)，還要考慮材料的性能。塑性：中性軸對(duì)稱；脆性：中性軸非對(duì)稱, ；,矩形截面：,工字形截面：,對(duì)圓形截面：,2、采用強(qiáng)度較高的材料,一般高強(qiáng)度材料的[σ]和[τ]較高。,3、采用變截面梁,采用變截面梁，可節(jié)省材料及減少自重。,最合理的變截面梁是等強(qiáng)度

16、梁.,σmax = M(x) / W(x) = [σ],M(x) = Fx /2,W(x) = bh2(x) /6,當(dāng)高度b = 常數(shù)時(shí):,由切應(yīng)力強(qiáng)度條件:,---魚腹梁,y,4、改善梁的受力狀況,可通過調(diào)整支座和改變結(jié)構(gòu)來完成。,5、增加梁的支座——超靜定梁,可減少M(fèi)max及位移。,§5－5 非對(duì)稱截面梁的平面彎曲﹑,對(duì)稱彎曲：梁具有縱向?qū)ΨQ平面，外力(力偶）作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。,開口簿壁截面的彎曲中心,非對(duì)稱彎曲：梁不

17、具有縱向?qū)ΨQ平面或雖具有縱 向?qū)ΨQ平面，但外力并不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。,一、平面彎曲時(shí)外力作用的方向,設(shè) z 為中性軸：,又由,,C,,可見：非對(duì)稱截面梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，外力作用的平面必須平行于形心主慣性平面。此時(shí)，梁的軸線在形心主慣性平面內(nèi)彎成一條平面曲線。橫截面上的另一根形心主軸即為中性軸。,（梁受到平行于y軸的外力作用）,= M,= 0,對(duì)于無縱向?qū)ΨQ面的非對(duì)稱彎曲梁，如果是純彎曲，,只要外力偶作用在與形

18、心主慣性平面平行的任意平面內(nèi)，則梁只發(fā)生平面彎曲，而不發(fā)生扭轉(zhuǎn)；,如果是橫力（剪切）彎曲，即使外力作用在形心主慣性平面內(nèi)，梁除發(fā)生彎曲以外，還會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)。,二.開口薄壁截面的彎曲中心,只有當(dāng)外力作用在彎心平面內(nèi)，梁才只發(fā)生平面彎曲。,彎心平面：通過彎曲中心與形心主慣性平面平行的平面。,彎曲中心：當(dāng)梁在兩個(gè)正交的形心主慣性平面內(nèi)分別產(chǎn)生平面彎曲時(shí)，橫截面上產(chǎn)生的相應(yīng)兩個(gè)剪力作用線的交點(diǎn)，稱為彎曲中心。,τ1,τ1,腹 板:,翼 緣:,(

19、c),彎曲中心：當(dāng)梁在兩個(gè)正交的形心主慣性平面內(nèi)分別產(chǎn)生平面彎曲時(shí)，橫截面上產(chǎn)生的相應(yīng)兩個(gè)剪力作用線的交點(diǎn)A，稱為彎曲中心。,彎曲中心的確定：截面剪力合力作用點(diǎn)的位置,彎曲中心位置與剪力大小無關(guān)，僅與截面形狀尺寸有關(guān)，如圖槽形截面彎曲中心位置：,一些常見開口薄壁截面彎曲中心位置的確定的原則：,1.具有兩根對(duì)稱軸的截面,其交點(diǎn)就是彎曲中心。,2.具有一根對(duì)稱軸的截面，彎曲中心必定位于對(duì)稱軸上。,3.如果截面由中心線相交一點(diǎn)的兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形所