中南大學(xué)隨機(jī)過程第三章

1、隨機(jī)過程與排隊(duì)論,數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院胡朝明Email：math_hu2000@csu.edu.cn2024年3月19日星期二,2024/3/19,胡朝明,49－2,上一講內(nèi)容回顧,隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差k階矩協(xié)方差條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的特征函數(shù),2024/3/19,胡朝明,49－3,本講主要內(nèi)容,隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程的分布隨機(jī)過程的數(shù)字特征重要隨機(jī)過程獨(dú)立過程獨(dú)立增量過程,2

2、024/3/19,胡朝明,49－4,第二章 隨機(jī)過程的基本概念,隨機(jī)過程的引入隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程的分布隨機(jī)過程的數(shù)字特征幾種重要的隨機(jī)過程,2024/3/19,胡朝明,49－5,一、隨機(jī)過程的引入,隨機(jī)過程產(chǎn)生于二十世紀(jì)初，起源于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)領(lǐng)域，布朗運(yùn)動(dòng)和熱噪聲是隨機(jī)過程的最早例子。隨機(jī)過程理論社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。例如：現(xiàn)代電子技術(shù)、現(xiàn)代通信、自動(dòng)控制、系統(tǒng)工程的可靠性工程、市場(chǎng)

3、經(jīng)濟(jì)的預(yù)測(cè)和控制、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的排隊(duì)論、儲(chǔ)存論、生物醫(yī)學(xué)工程、人口的預(yù)測(cè)和控制等等。 只要研究隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就要用到隨機(jī)過程的理論。,2024/3/19,胡朝明,49－6,設(shè)有一個(gè)生物群體，由于繁殖而產(chǎn)生后代，對(duì)于固定的n(n≥1)，令X(n,?)表示第n代生物群體的個(gè)數(shù)，X(n,?)是隨機(jī)變量，可取非負(fù)整數(shù)值0,1,2,…，而X(n,?),n=0,1,2,…是一族隨機(jī)變量，即一個(gè)隨機(jī)過程。,例,電

4、話問題,設(shè)X(t,?)表示某電話臺(tái)在[0,t)時(shí)間內(nèi)收到用戶的呼喚次數(shù)。對(duì)某個(gè)固定的t(0?t??)，X(t,?)是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以是任意非負(fù)整數(shù)，隨著時(shí)間t的變化，就得到一族隨機(jī)變量X(t,?)，0?t??，即一個(gè)隨機(jī)過程。,懸浮在液體中的微粒由于分子的隨機(jī)碰撞而作布朗運(yùn)動(dòng)。設(shè)X(t,?)表示時(shí)刻t微粒所處位置的橫座標(biāo)，當(dāng)t變化時(shí)，X(t,?)，0?t??，是一族隨機(jī)變量，即一個(gè)隨機(jī)過程。,電子元件或器件由于內(nèi)部電子的隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)所

5、引起的端電壓X(t,?)稱為熱噪聲電壓。對(duì)于固定的t?0，X(t,?)是一個(gè)隨機(jī)變量，隨著t的變化得到一族隨機(jī)變量X(t,?)，t?0，是一個(gè)隨機(jī)過程。,布朗運(yùn)動(dòng),熱噪聲,生物群體,2024/3/19,胡朝明,49－7,二、隨機(jī)過程的定義,設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)概率空間，T是一個(gè)參數(shù)集(T?R)，X(t,?)，t?T，??Ω是T?Ω上的二元函數(shù)，如果對(duì)于每一個(gè)t?T，X(t,?)是(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量，則稱隨機(jī)變量族{X(t,?)

6、，t?T}為定義在(Ω,F,P)上的隨機(jī)過程(或隨機(jī)函數(shù))。簡(jiǎn)記為{X(t)，t?T}，其中t稱為參數(shù)，T稱為參數(shù)集。,2024/3/19,胡朝明,49－8,樣本函數(shù)與狀態(tài)空間,隨機(jī)過程X(t,?)是定義在T?Ω上的二元函數(shù)：一方面，當(dāng)t?T固定時(shí)，X(t,?)是定義在Ω上的隨機(jī)變量；另一方面，當(dāng)??Ω固定時(shí)，X(t,?)是定義在T上的函數(shù)，稱為隨機(jī)過程的樣本函數(shù)。隨機(jī)過程在時(shí)刻t所取的值X(t)=x稱為時(shí)刻t時(shí)隨機(jī)過程{X(t),t

7、?T}處于狀態(tài)x，隨機(jī)過程{X(t),t?T}所有狀態(tài)構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間，記為E，即：E＝{x：X(t)=x,t?T},2024/3/19,胡朝明,49－9,隨機(jī)過程的分類,按狀態(tài)空間和參數(shù)集分類,按狀態(tài)空間和參數(shù)集分類,獨(dú)立過程獨(dú)立增量過程正態(tài)過程泊松過程,維納過程平穩(wěn)過程馬爾可夫過程……,2024/3/19,胡朝明,49－10,三、隨機(jī)過程的分布,設(shè){X(t),t?T}是一個(gè)隨機(jī)過程，對(duì)于每一個(gè)t?T，X(t)是一

8、個(gè)隨機(jī)變量，它的分布函數(shù)F(t,x)＝P{X(t)<x}，t?T，x?R=(-?,+?)稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的一維分布函數(shù)。,如果對(duì)于每一個(gè)t?T，隨機(jī)變量X(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量，存在非負(fù)可積函數(shù)f(t,x)，使得,則稱f(t,x)，t?T,x?R為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的一維概率密度(函數(shù))。此時(shí)f(t,x)＝F’x(t,x)，t?T，x?R,2024/3/19,胡朝明,49－11,二維分布函數(shù),設(shè){

9、X(t),t?T}是一個(gè)隨機(jī)過程，對(duì)任意s,t?T，(X(s),X(t))是一個(gè)二維隨機(jī)變量，它的聯(lián)合分布函數(shù)F(s,t;x,y)＝P{X(s)<x,X(t)<y}，t?T，x?R 稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的二維分布函數(shù)。,2024/3/19,胡朝明,49－12,二維概率密度,如果(X(s),X(t))是連續(xù)型二維隨機(jī)變量，存在非負(fù)可積函數(shù)f(s,t;x,y)，使得,成立，則稱f(s,t;x,y)，s

10、,t?T，x,y?R為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的二維概率密度(函數(shù))。此時(shí),2024/3/19,胡朝明,49－13,n維分布函數(shù),設(shè){X(t),t?T}是一個(gè)隨機(jī)過程，對(duì)任意t1,t2,…,tn?T，n維隨機(jī)變量(X(t1),X(t2),…,X(tn))的聯(lián)合分布函數(shù) F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)＝P{X(t1)<x1,X(t2)<x2,…,X(tn)<xn}，t1,t2,…

11、,tn?T，x1,x2,…,xn?R稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的n維分布函數(shù)。,2024/3/19,胡朝明,49－14,n維概率密度,如果(X(t1),X(t2),…,X(tn))是連續(xù)型n維隨機(jī)變量，存在非負(fù)可積函數(shù)f(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn)，使得,t1,t2,…,tn?T；x1,x2,…,xn?R成立，則稱f(t1,t2,…,tn?T；x1,x2,…,xn)為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的n維概

12、率密度(函數(shù))。此時(shí),2024/3/19,胡朝明,49－15,n+m維聯(lián)合分布函數(shù),設(shè){X(t),t?T}和{Y(t),t?T}是兩個(gè)隨機(jī)過程，對(duì)任意s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm?T，把n+m維隨機(jī)變量(X(s1),X(s2),…,X(sn),Y(t1),Y(t2),…,Y(tm))的聯(lián)合分布函數(shù)FXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝P{X(s1)<

13、;x1,X(s2)<x2,…,X(sn)<xn,Y(t1)<y1,Y(t2)<y2,…,Y(tm)<ym}，t1,t2,…,tn?T，x1,x2,…,xn?R稱為隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)。,2024/3/19,胡朝明,49－16,n+m維聯(lián)合概率密度,成立，則稱fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,

14、…,ym)為隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}的n+m維聯(lián)合概率密度(函數(shù))。,如果(X(s1),X(s2),…,X(sn),Y(t1),Y(t2),…,Y(tm))是連續(xù)型n+m維隨機(jī)變量，存在非負(fù)可積函數(shù)fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)，使得,2024/3/19,胡朝明,49－17,相互獨(dú)立的隨機(jī)過程,設(shè){X(t),t?T}和{Y(t),t?T}

15、是兩個(gè)隨機(jī)過程，如果對(duì)任意n,m?1，其n+m維聯(lián)合分布滿足FXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝FX(s1,s2,…,sn;x1,x2,…,xn)·FY(t1,t2,…,tm;y1,y2,…,yn)或者其n+m維聯(lián)合概率密度滿足fXY(s1,s2,…,sn,t1,t2,…,tm;x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn)＝fX(s1,s2,…,sn;x

16、1,x2,…,xn)·fY(t1,t2,…,tm;y1,y2,…,yn)則稱隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}的相互獨(dú)立。,2024/3/19,胡朝明,49－18,n維特征函數(shù),隨機(jī)過程{X(t),t?T}的n維特征函數(shù)定義為?(t1,t2,…,tn;u1,u2,…,un),稱{?(t1,t2,…,tn;u1,u2,…,un)，t1,t2,…,tn?T，n?1}為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的有限維特

17、征函數(shù)族。,2024/3/19,胡朝明,49－19,例1,利用投擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義隨機(jī)過程,假定“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為0.5，試求：X(t)的一維分布函數(shù)F(0.5,x)和F(1,x)；X(t)的二維分布函數(shù)F(0.5,1;x,y)。,2024/3/19,胡朝明,49－20,例1(續(xù)1),解：1. 由X(t)的定義求得概率分布為：,所以一維分布函數(shù)為：,2024/3/19,胡朝明,49－21,例1(續(xù)2),2.

18、由于擲硬幣試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，故(X(0.5),X(1))的聯(lián)合概率密度為：,所以二維分布函數(shù)為：,,2024/3/19,胡朝明,49－22,四、隨機(jī)過程的數(shù)字特征,給定隨機(jī)過程{X(t),t?T}，稱m(t)＝E[X(t)]，t?T為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的均值函數(shù)(數(shù)學(xué)期望)。,若{X(t),t?T}的狀態(tài)空間是離散的，則X(t),t?T是離散型隨機(jī)變量，X(t)的概率分布為pk(t)＝P{X(t)=Xk}，k=1,2,…，

19、則,若{X(t),t?T}的狀態(tài)空間是連續(xù)的，則X(t),t?T是連續(xù)型隨機(jī)變量，X(t)的一維概率密度為f(t,x)為，則,2024/3/19,胡朝明,49－23,方差函數(shù),給定隨機(jī)過程{X(t),t?T}，稱D(t)＝D[X(t)]＝E[X(t)－m(t)]2，t?T為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的方差函數(shù)。顯然，D(t)＝E[X(t)－m(t)]2＝E[X2(t)]－m2(t)。稱

20、 為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的均方差函數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)方差函數(shù))。,若X(t),t?T是離散型隨機(jī)變量，X(t)的概率分布為pk(t)＝P{X(t)=Xk}，k=1,2,…，則,若X(t),t?T是連續(xù)型隨機(jī)變量，X(t)的一維概率密度為f(t,x)為，則,2024/3/19,胡朝明,49－24,協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù),給定隨機(jī)過程{X(t),t?T}，稱C(s,t)＝cov(X(s),X(t))＝E[X(s)－m(s)][X(t)－m

21、(t)]為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的協(xié)方差函數(shù)。顯然，C(s,t)＝E[X(s)X(t)]－m(s)m(t)，C(t,t)＝D(t)＝E[X(t)－m(t)]2。,給定隨機(jī)過程{X(t),t?T}，稱R(s,t)＝E[X(s)X(t)]為隨機(jī)過程{X(t),t?T}的相關(guān)函數(shù)。顯然，C(s,t)＝R(s,t)－m(s)m(t)，R(s,t)＝C(s,t)＋m(s)m(t),給定隨機(jī)過程{X(t),t?T}，稱,為隨機(jī)過程

22、{X(t),t?T}的相關(guān)系數(shù)。,2024/3/19,胡朝明,49－25,互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù),給定兩個(gè)隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}，稱CXY(s,t)＝E[X(s)－mX(s)][Y(t)－mY(t)]，s,t?T為隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}的互協(xié)方差函數(shù)。其中：mX(s)＝E[X(s)]，mY(t)＝E[Y(t)]。稱RXY(s,t)＝E[X(s)Y(t)]為隨機(jī)過程{X(

23、t),t?T}和{Y(t),t?T}的互相關(guān)函數(shù)。顯然，CXY(s,t)＝RXY(s,t)－mX(s)mY(t)。,如果CXY(s,t)＝0，等價(jià)地RXY(s,t)＝mX(s)mY(t)，即E[X(s)Y(t)]＝E[X(s)]E[Y(t)]，則稱{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}互不相關(guān)。,如果隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t),t?T}相互獨(dú)立，則它們一定互不相關(guān)；反之，如果隨機(jī)過程{X(t),t?T}和{Y(t)

24、,t?T}互不相關(guān)，一般不能推出它們相互獨(dú)立。,2024/3/19,胡朝明,49－26,例1,給定隨機(jī)過程{X(t),t≥0}，X(t)＝X0＋Vt，t≥0其中X0與V是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從N(0,1)。求其數(shù)字特征和一、二維概率密度。,解 1. 均值函數(shù)m(t)＝E[X(t)]=E(X0)＋tE(V)＝0；,2. 方差函數(shù)D(t)＝E[X2(t)]-m2(t)=E(X0＋Vt)2-0 ＝E(X02)＋2t

25、E(X0V)+t2E(V2) ＝1+t2；,3. 一維概率密度 因?yàn)閄0與V相互獨(dú)立且都服從N(0,1)，故X(t)＝X0＋Vt服從正態(tài)分布N(0,1+t2)，所以{X(t),t≥0}的一維概率密度為：,2024/3/19,胡朝明,49－27,例1(續(xù)1),4. 協(xié)方差函數(shù)與相關(guān)函數(shù)因?yàn)閙(t)=0，所以 C(s,t)＝R(s,t)＝E[X(s)X(t)]＝E[X0＋Vs][X0＋Vt]＝E[X02]+(s+t

26、)E[X0V]+stE[V2]＝1+st因?yàn)閄0與V相互獨(dú)立且服從N(0,1)，記,從而(X(s),X(t))～N(?,C)，其中均值?=(m(s),m(t))T=(0,0)T，,協(xié)方差矩陣C＝,,,2024/3/19,胡朝明,49－28,例1(續(xù)2),5.二維概率密度,2024/3/19,胡朝明,49－29,例2,隨機(jī)相位正弦波X(t)＝?cos(?t＋?)，-?<t<+?其中?,?為常數(shù)，?是在[0,2?]上均

27、勻分布的隨機(jī)變量。求{X(t),-?<t<+?}的均值函數(shù)、方差函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)。,解 ?的概率密度為,1. 均值函數(shù)m(t)＝E[X(t)],2024/3/19,胡朝明,49－30,例2(續(xù)1),2. 相關(guān)函數(shù),2024/3/19,胡朝明,49－31,例2(續(xù)2),3. 協(xié)方差函數(shù),4. 方差函數(shù),2024/3/19,胡朝明,49－32,五、重要隨機(jī)過程,1.獨(dú)立過程,給定隨機(jī)過程{X(t),t?T

28、}，如果對(duì)任意正整數(shù)n及任意t1,t2,…,tn?T，隨機(jī)變量X(t1),X(t2),…,X(tn)相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)過程{X(t),t?T}為獨(dú)立過程。 特別，如果X(n),n=1,2,3,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱{X(n),n=1,2,3,…}為獨(dú)立隨機(jī)序列。 獨(dú)立過程的n維概率分布由一維概率分布確定：,2024/3/19,胡朝明,49－33,例,如果X(n),n=1,2,3,…是相互獨(dú)立的伯努利隨機(jī)變量

29、，它們的概率分布律為,則稱{X(n),n=1,2,3,…}為伯努利隨機(jī)序列。 伯努利隨機(jī)隨機(jī)序列是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)序列。其均值E[X(n)] = p，方差D[X(n)] = pq，相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù),2024/3/19,胡朝明,49－34,2.獨(dú)立增量過程,設(shè)隨機(jī)過程{X(t),t?T}，T＝[0,+?)，如果對(duì)任意正整數(shù)n?2，t1,t2,…,tn?T且t1<t2<…<tn，隨機(jī)過程

30、的增量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱{X(t),t?T}為獨(dú)立增量過程。,2024/3/19,胡朝明,49－35,平穩(wěn)獨(dú)立增量過程,如果獨(dú)立增量過程{X(t),t?T}，T＝[0,+?)，對(duì)所有的s,t?T及h>0,s+h,t+h?TX(t+h)-X(s+h)與X(t)-X(s)有相同的概率分布，則稱{X(t),t?T}為平穩(wěn)獨(dú)立增量過程

31、。,平穩(wěn)獨(dú)立增量過程{X(t),t?T}的增量X(t+?)-X(t)，t?T,t+??T的概率分布僅依賴于?而與t無關(guān)，即僅與時(shí)間區(qū)間的長度有關(guān)，而與起點(diǎn)無關(guān)，具有平穩(wěn)性，即增量具有平穩(wěn)性。,2024/3/19,胡朝明,49－36,例,設(shè){X(n),n=1,2,3,…} 是獨(dú)立隨機(jī)序列，,則{Y(n),n=0,1,2,…}是獨(dú)立增量過程。若X(n),n=1,2,3,…是相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量，且,則{Y(n),n=0,1,2

32、,…}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。,2024/3/19,胡朝明,49－37,例,設(shè){X(n),n=1,2,3,…} 是相互獨(dú)立同分布的伯努利隨機(jī)變量序列,則稱{Y(n),n=0,1,2,…}為二項(xiàng)計(jì)數(shù)過程(隨機(jī)游動(dòng))。二項(xiàng)計(jì)數(shù)過程是一個(gè)獨(dú)立增量過程。其一維概率分布Y(n) ~ B(n,p)，均值函數(shù)E[Y(n)] = np，方差函數(shù)D[Y(N)] = pq，,2024/3/19,胡朝明,49－38,例,二維概率分布,協(xié)方差

33、函數(shù),一般,2024/3/19,胡朝明,49－39,獨(dú)立增量過程的性質(zhì),如果{X(t),t?0}是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，X(0)＝0，則均值函數(shù)m(t)＝at，a為常數(shù)；方差函數(shù)D(t)＝?2t，?為正常數(shù)；協(xié)方差函數(shù)C(s,t)＝?2min(s,t)。獨(dú)立增量過程的有限維分布由一維分布和增量分布決定。,2024/3/19,胡朝明,49－40,證明,1）設(shè)m(t)＝E[X(t)]，則m(t+s)＝E[X(t+s)]＝E

34、[X(t+s)-X(s)+X(s)-X(0)]＝E[X(t+s)-X(s)]+E[X(s)-X(0)]＝E[X(t)]+E[X(s)]＝m(t)+m(s)由數(shù)學(xué)分析知識(shí)知：m(t)＝at，其中常數(shù)a＝m(1)。,f(x)連續(xù)，若f(x+y) = f(x)+f(y)，則f(x) = kx。,2024/3/19,胡朝明,49－41,證明(續(xù)1),2）設(shè)D(t)＝D[X(t)]，則D(t+s)＝D[X(t+s)]

35、＝D[X(t+s)-X(s)+X(s)-X(0)]＝D[X(t+s)-X(s)]+D[X(s)-X(0)]＝D[X(t)]+D[X(s)]＝D(t)+D(s)由數(shù)學(xué)分析知識(shí)：D(t)＝?2t，其中?2＝D(1)為正常數(shù)。,f(x)連續(xù)，若f(x+y) = f(x)+f(y)，則f(x) = kx。,2024/3/19,胡朝明,49－42,證明(續(xù)2),3）C(s,t)＝E{[X(t)]-m(t)][X(s)-

36、m(s)]},＝E[X(t)X(s)]-m(s)m(t)＝E{[X(t)-X(s)+X(s)]X(s)}-m(s)m(t),一般地，C(s,t)＝?2min(s,t)。,假設(shè)t > s，否則變形為E{[X(s)-X(t)+X(t)]X(t)}-m(s)m(t),＝E[X(t)-X(s)]E[X(s)]+E[X2(s)]-m(s)m(t)＝m(t-s)m(s)+D(s)-m2(s)-m(s)m(t)＝a(t-s)as+?2s

37、-a2s2-a2stt>s＝?2s,2024/3/19,胡朝明,49－43,證明(續(xù)3),2. 任取t1<t2<…<tn?T，令,Y1＝X(t1)，Y2＝X(t2)-X(t1)，…，Yn＝X(tn)-X(tn-1)由增量的獨(dú)立性知，Y1,Y2,…,Yn為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X(t1)＝Y(jié)1，X(t2)＝Y(jié)1+Y2，…，X(tn)＝Y(jié)1+Y2+…+Yn記?(t1,u1)為X(t1)的特征函數(shù)；

38、 ?(tk-tk-1,u)為X(tk)-X(tk－1)的特征函數(shù)； ?(t1,t2,…,tn;u1,u2,…,un)為X(t1),X(t2), …,X(tn)的聯(lián)合特征函數(shù)。,2024/3/19,胡朝明,49－44,證明(續(xù)4),由特征函數(shù)的定義及Y1,Y2,…,Yn的獨(dú)立性，有?(t1,t2,…,tn;u1,u2,…,un),2024/3/19,胡朝明,49－45,證明(續(xù)5),因此，只要由一維分布和增量分布就可以完全確定獨(dú)立增量

39、過程的有限維分布。,2024/3/19,胡朝明,49－46,說明,特別地，對(duì)a＞-?，P{X(a)=0}＝1的情況下，因?yàn)閄(t1)＝X(t1)-X(a)，所以只要知道增量分布就可以完全確定獨(dú)立增量過程的有限維分布。 對(duì)于平穩(wěn)獨(dú)立增量過程{X(t),t?[a,b]}，若a>-?，P{X(a)=0}＝1。因?yàn)樵隽縓(t2)-X(t1)的分布與X(t2-t1+a)-X(a)與X(t2-t1)的分布相同，所以實(shí)際上只要知道X(t