丘成桐講演《幾何魅力及應(yīng)用》2

1、幾何: 魅力及應(yīng)用,丘成桐美國哈佛大學(xué),科學(xué)的興起與個(gè)人修養(yǎng)、團(tuán)體文化有直接的關(guān)系。 假如一個(gè)人的一生目標(biāo)以逐利當(dāng)官為大前提，做學(xué)問頂多是一個(gè)過渡手腕，即使小有成就，也難以持久。推動(dòng)科研的熱情和好奇心很快就會(huì)冷淡。傳世之學(xué)，更無足論了。,,即使我的學(xué)生中間也有很多年少得志的，不但有名聞全國，也有屢得獎(jiǎng)于海外的。但往往沾沾自喜，以為學(xué)有成就，就爭(zhēng)名逐利、自夸自大。往往急功近利，導(dǎo)致文章錯(cuò)誤百出。又為了做院士，花了很

2、多時(shí)間去巴結(jié)權(quán)貴。在這樣的背景下，何以做高雅的學(xué)問，更遑論傳世之學(xué)了。 做大學(xué)問的學(xué)者，必需有崇高的志向。而立志不易，必需有深厚的文化環(huán)境和朋友老師的激勵(lì)才能形成這個(gè)先決的條件。,在西方，為了培養(yǎng)研究人員的素質(zhì)，特別講究通才教育。其實(shí)中國深厚的文化提供了做學(xué)問最好的背景，中國詩詞歌賦意境高超，能夠純化個(gè)人的心志。屈原天問篇一連問這么多問題，值得我們學(xué)習(xí)。孟子知言養(yǎng)氣，是培養(yǎng)氣質(zhì)和做學(xué)問的很好的方法。,我年

3、少時(shí)家貧，父親卻勉我以學(xué)問，不以富貴為志。父親寫了一本西洋哲學(xué)史，引文心雕龍一小段，使我記憶尤深。,文心雕龍：嗟呼，身與時(shí)舛，志共道申，標(biāo)心于萬古之上，而送懷與千載之下。,崇基學(xué)院門前對(duì)聯(lián)崇高惟博愛本天地立心無間東西溝通學(xué)術(shù)基礎(chǔ)在育才當(dāng)海山勝境有懷抱與陶鑄人群

4、 丘鎮(zhèn)英,父親很注重我有崇高的志向，所以很早教導(dǎo)我的古文中就有左傳論三不朽的文章。 左傳 叔孫豹論三不朽 太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此之謂不朽。 立德立功之道，必以謙讓質(zhì)樸為主﹁會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小﹂輕妄浮誇之言也。,從中國古文中，可以看到做科學(xué)的方法，例如： 王國維論做大學(xué)問三個(gè)過程

5、 晏殊昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路。 柳永……衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。 辛棄疾……眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。其實(shí)我想加一首詞： 宋徽宗……天遙地遠(yuǎn)，萬水千山，知他故宮何處，怎不思量，除夢(mèng)里有時(shí)曾去。,除了中國古代文學(xué)對(duì)我的影響外，我也看翻譯的西方文學(xué)作品，其中一首詩使我十分感動(dòng)的是：

6、 英國大詩人拜倫 “希臘?。∧惚臼瞧胶蜁r(shí)代的愛嬌，你本是戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)代的天驕。撒芷波，歌聲高，女詩人，熱情好。更有那德羅士、菲波士榮光常照。此地是藝文舊壘，技術(shù)中潮，如今在否？算除卻太陽光線，萬般沒了?！?“馬拉頓前?。∩饺菘~緲。馬拉頓后??！海門環(huán)繞。如此好山河，也應(yīng)有自由回照。我向那波斯軍墓門憑眺。難道我為奴為隸，今生便了？不信我

7、為奴為隸，今生便了?！?梁?jiǎn)⒊g,歐幾里得(公元前350年) 《原本》,●歐幾里得幾何公設(shè)■任意兩點(diǎn)間可作唯一的直線■任何線段可以無限延長(zhǎng)■以任一點(diǎn)為中心和任一距離為半徑可作一圓■所有直角彼此相等■對(duì)于一直線L和該直線外的一點(diǎn)P，存在唯一通過

8、P，并和L不相交的直線。,… 幾何公設(shè)僅是一些定義。,—龐加萊,畢達(dá)哥拉斯,●給出一個(gè)直角三角形●該定理是幾何學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)●三元數(shù)組(3,4,5) 在古代文明中是非常著名的。我們稱 (a,b,c) 為畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組。,畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組,● 希臘人意識(shí)到，當(dāng) 時(shí)，c 不是有理數(shù)，也就是說，c 不是兩個(gè)整數(shù)的商?！?可以用下面的公式找到整數(shù)的畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組這里

9、 都是正整數(shù)。 （畢達(dá)哥拉斯，歐幾里得，丟番圖……）,畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組,一個(gè)困難問題：分類所有的有理數(shù)畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組，使其對(duì)應(yīng)的直角三角形的面積為整數(shù)。這樣的整數(shù)叫同余數(shù)。同余數(shù)：例如，1，2，3，4不是；5，6，7是。面積為5,同 余 數(shù),1983年， Tunnell用 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想證明了： 如果 n 是一個(gè)奇的非平方整數(shù)， n

10、 是同余數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足方程的三元數(shù)組(x,y,z) 的個(gè)數(shù)是滿足方程 的三元數(shù)組(x,y,z) 的個(gè)數(shù)的兩倍。,橢 圓 曲 線,如果同余數(shù)n 是由三元數(shù)組(x,y,z)構(gòu)成的直角三角形的面積，這里 x,y,z 均是有理數(shù)，設(shè) 我們發(fā)現(xiàn) 滿足該方程的曲線叫橢圓曲線，它們構(gòu)成一個(gè)群。,橢圓曲線,如果

11、 和 是一曲線的兩點(diǎn)， 是直線 和該曲線的交點(diǎn)，那么稍后我們將看到橢圓曲線在現(xiàn)代幾何和在弦理論中起著非常重要的作用。,橢圓曲線 – 同余數(shù),n 是同余數(shù) 橢圓曲線 有無限多個(gè)有理數(shù)解。 某些相伴的函數(shù)在 處為零。 Theta函數(shù)的某些積的系數(shù)為零。,柏拉圖多面體,正多面體是凸

12、體，每個(gè)面是相同的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)相連著同樣數(shù)目的面。僅有五種：正四面體，立方體，正八面體，正十二面體，正二十面體。,歐 拉 數(shù),對(duì)于柏拉圖多面體:歐拉注意到如果一個(gè)閉曲面能連續(xù)地形變到一個(gè)閉的多面體。分別記V,E,F,為該多面體的頂點(diǎn)數(shù),邊數(shù)和面數(shù)，那么 這里 h 是環(huán)柄個(gè)數(shù)對(duì)于球面

13、, h=0,2(1-h) 稱為歐拉數(shù),歐 拉 數(shù),環(huán)柄數(shù)分別為 1, 2, 3,對(duì)稱性—正多面形,正多面體、磚瓦面、幾何圖案給出對(duì)稱性概念，支配著幾何學(xué)的發(fā)展。晶體按照對(duì)稱群分類,高斯—博涅公式,對(duì)多面體我們可以指定與某個(gè)頂點(diǎn) v 相連的面的曲率為 - 與 v 相連的面的內(nèi)夾角所有頂點(diǎn)處曲率之和為 高斯-博涅-魏依-艾倫多夫和陳省身推廣了上述公式,高斯—

14、博涅公式,這類聯(lián)系幾何信息和拓?fù)淞康墓皆诂F(xiàn)代幾何學(xué)和現(xiàn)代物理學(xué)中有著顯著的重要性。（在物理語言中，這類公式聯(lián)系著拓?fù)浜桑負(fù)淙毕?。）這類理論建立在陳類基礎(chǔ)上。1960年 阿蒂亞-辛格 作出了光輝的推廣。分析和幾何產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系。,天 文 測(cè) 量,希臘天文學(xué)家將幾何學(xué)應(yīng)用于天文測(cè)量。例如，地球的直徑（在賽伊尼的埃拉斯特尼 (公元前 275年-195年))。對(duì)天文測(cè)量的愿望反過來又影響著幾何學(xué)和三角學(xué)的發(fā)展。,… 相信我，如果我