幾何學簡史

1、一個人若懷疑數(shù)學的極端可靠性，他就會陷入混亂之中，……人類的一切探討活動如果缺少數(shù)學上的說明和論證，那就不能稱之為科學,宇宙這本書是用數(shù)學語言寫成的。,第八講 新數(shù)學的誕生,一、代數(shù)學的新生,二、幾何學的變革,三、微積分的創(chuàng)立,一、代數(shù)學的新生,1、近代代數(shù)學的進展,2、代數(shù)方程的可解性,3、群的發(fā)現(xiàn),1、近代代數(shù)學的進展,一、代數(shù)學的新生,al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wa’l

2、-muqabala 《還原與對消計算概要》 （約 820）,Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, 783-850,al-jabr,algebra,,探討了算術(shù)問題的一般性解法,1、近代代數(shù)學的進展,一、代數(shù)學的新生,F. Vieta, 1540-1603,韋達把符號性代數(shù)稱作“類的算術(shù)”，同時規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界，認為代數(shù)運算施行于事物的類或形式，算術(shù)運算僅施行于具體的數(shù)。這就使代數(shù)成為研究一般類型的

3、形式和方程的學問，因其抽象而應用更為廣泛。,缺點：齊性原則,1、近代代數(shù)學的進展,一、代數(shù)學的新生,基本問題：如何求解三次和四次代數(shù)方程的根,(1515, S. Ferro),x3 + px = q (p, q > 0),Tartaglia,1499-1557Niccolo Fontana,x3 + px2 = q (p, q > 0),A. M. Fior,1535,1、近代代數(shù)學的進展,一、代數(shù)學的新生,G.

4、Cardano, 1501-1576,Ars Magna 《大法》1545年,包含三次方程和四次方程的代數(shù)解法,根的個數(shù),一、代數(shù)學的新生,1、近代代數(shù)學的進展,2、代數(shù)方程的可解性,3、群的發(fā)現(xiàn),2、代數(shù)方程的可解性,一、代數(shù)學的新生,18世紀后半葉，數(shù)學內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開始醞釀新的變革。當時數(shù)學家們面臨一系列數(shù)學發(fā)展里程中自身提出的、長期懸而未決的問題，其中最突出的是： 高于四次的代數(shù)方程的根式求解問題； 歐幾里

5、得幾何中平行公理的證明問題； 微積分算法的邏輯基礎問題。,2、代數(shù)方程的可解性,一、代數(shù)學的新生,中世紀的阿拉伯數(shù)學家把代數(shù)學看成是解代數(shù)方程的學問，他們系統(tǒng)地解決了二次方程的求根問題；文藝復興時期的歐洲數(shù)學家們繼承了這一傳統(tǒng)，但又有所突破。他們成功地解決了三次和四次代數(shù)方程的求根問題，并將符號與數(shù)字的運算統(tǒng)一起來，創(chuàng)立了類的算術(shù)。,基本問題：五次或更高次的代數(shù)方程的根式解。,即在n > 5時，對于形如xn + a1xn–

6、1 + …+ a n–1x + an = 0的代數(shù)方程，它的解能否通過只對方程的系數(shù)作加、減、乘、除和求正整數(shù)次方根等運算的公式得到。,2、代數(shù)方程的可解性,一、代數(shù)學的新生,J. L. Lagrange1736-1813,1770年：《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》,不可能用根式解四次以上的方程,2、代數(shù)方程的可解性,一、代數(shù)學的新生,N. H. Abel, 1802-1829,1824年:《論代數(shù)方程， 證明一般五次方程的

7、 不可解性》,方程次數(shù)大于等于五時，任何以其系數(shù)符號組成的根式都不可能表示方程的一般解。,阿貝爾方程,一、代數(shù)學的新生,1、近代代數(shù)學的進展,2、代數(shù)方程的可解性,3、群的發(fā)現(xiàn),3、群的發(fā)現(xiàn),一、代數(shù)學的新生,基本問題：什么樣的特殊方程能夠用根式來求解？,E. Galois, 1811-1832,置換群,伽羅瓦群,伽羅瓦證明了：當且僅當方程的群滿足一定條件（即它是可解群）時，方程才是根式可解的。也就是說，他找到了方程根式可解

8、的充分必要條件。,3、群的發(fā)現(xiàn),一、代數(shù)學的新生,伽羅瓦關(guān)于群的發(fā)現(xiàn)工作，可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因為它解決了方程根式可解性這樣一個難題，更重要的是群的概念的引進導致了代數(shù)學在對象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。,群可以理解為一類對象的集合，這些對象之間存在著類似于加法或乘法那樣的二元運算關(guān)系，這種運算使得該集合滿足封閉性、結(jié)合性，并在其中存在著單位元和逆元素。,群概念的劃時代意義在于：代數(shù)學由于群的概念的引進和發(fā)展而獲得了新生，它

9、不再僅僅是研究代數(shù)方程，而更多地是研究各種抽象“對象”的運算關(guān)系，一方面，數(shù)的概念有了極大推廣，另一方面，許多抽象的對象，在更高層次上與數(shù)的概念獲得了統(tǒng)一。,二、幾何學的變革,1、近代幾何學的進展,二、幾何學的變革,基本問題：其一是，一個物體的同一投影的兩個截影有什么共同的性質(zhì)？其二是，若兩物體在各自相異的光源下具有相同物影，那么這兩個物體之間具有什么關(guān)系？,G. Desargues, 1591-1661,1639年：《試論錐面截一平

10、面 所得結(jié)果的初稿》,對平行線引入無窮遠點的概念，繼而獲得無窮遠線的概念 ；,認識到了對合、調(diào)和點組關(guān)系在投影變換下具有不變性；,通過投影和截影這種新的證明方法，統(tǒng)一處理了不同類型的圓錐曲線。,1、近代幾何學的進展,二、幾何學的變革,德沙格等人把他們使用的投影分析方法和所獲得的結(jié)果，仍舊視為歐幾里得幾何的一部分。因而在17世紀人們對這二種幾何學并不加任何區(qū)分。 但現(xiàn)在的我們，通過歷史的眼光回溯，便會很容易地

11、發(fā)現(xiàn)，當時由于這一方法而誘發(fā)了一些新的思想和觀點。那就是:一個數(shù)學對象從一個形狀連續(xù)變化到另一形狀；變換與變換不變性；僅關(guān)心幾何圖形的相交與結(jié)構(gòu)關(guān)系, 不涉及度量問題。,1、近代幾何學的進展,二、幾何學的變革,解析幾何,的基本思想是在平面上引進所謂坐標的概念，并借助這種坐標在平面上的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立一一對應關(guān)系。以此方式可以將一個代數(shù)方程與一條平面曲線對應起來，于是幾何問題便可歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究

12、發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果。,R. Descartes, 1596-1650,1、近代幾何學的進展,二、幾何學的變革,1637年:《方法論》,《幾何學》,在實際上建立起了歷史上第一個傾斜坐標系。,在笛卡爾那里，幾何與代數(shù)達到了完美的統(tǒng)一。,R. Descartes, 1596-1650,1、近代幾何學的進展,二、幾何學的變革,二、幾何學的變革,1、近代幾何學的進展,2、非歐幾何學的誕生,3、射影幾何學的繁榮,4、幾何學的統(tǒng)一,2、非歐幾何的誕

13、生,二、幾何學的變革,直到18世紀末，幾何領域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下。解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒有從實質(zhì)上改變歐幾里得幾何本身的內(nèi)容。解析方法的運用雖然在相當長的時間內(nèi)沖淡了人們對綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學嚴格性的典范始終保持著神圣的地位。,歐幾里得平行公設 ？？？？？,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,1733年，薩凱里：《歐幾里得無懈可擊》,薩凱里四邊形,銳角？直角？鈍角？,銳角？三角形內(nèi)角之和小于兩直角；

14、過給定直線外一給定點，有無窮多條直線不與該給定直線相交；等等,無邏輯矛盾，但不合乎情理。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,1763年, 克呂格爾在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實際上并未導出矛盾, 只是得到了似乎與經(jīng)驗不符的結(jié)論. 開始懷疑平行公設能否由其他公理加以證明.,1766年，蘭伯特:《平行線理論》,蘭伯特四邊形,銳角？直角？鈍角？,蘭伯特并不認為銳角假設導出的結(jié)論是矛盾，而且他認識到一組假設如果不引起矛盾的話，就提供了

15、一種可能的幾何。因此，蘭伯特最先指出了通過替換平行公設而展開新的無矛盾的幾何學的道路。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,C. F. Gauss, 1777-1855,高斯從1799年開始意識到平行公設不能從其他的歐幾里得公理推出來，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設在其中不成立的新幾何。他起先稱之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱為“非歐幾里得幾何”，所以“非歐幾何”這個名稱正是來自高斯。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,J.

16、Bolyai1802-1860,1832年2月14日， 《絕對空間的科學》 其中論述的所謂“絕對幾何”就是非歐幾何。,F. Bolyai1775-1856,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,1826年在喀山大學發(fā)表了《簡要論述平行線定理的一個嚴格證明》的演講，報告了自己關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn);1829年發(fā)表了題為《論幾何原理》的論文，這是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻，但由于是用俄文刊登在《喀

17、山通訊》上而未引起數(shù)學界的注意。,Н. И. Лобачевский1792-1856,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,羅巴切夫斯基非歐幾何的基本思想與高斯、波約是一致的，即用與歐幾里得第五公設相反的斷言： 通過直線外一點，可以引不止一條而至少是兩條直線與已知直線不相交。作為替代公設，由此出發(fā)進行邏輯推導而得出一連串新幾何學的定理。羅巴切夫斯基明確指出，這些定理并不包含矛盾，因而它的總體就形成了一個邏輯上可能的

18、、無矛盾的理論，這個理論就是一種新的幾何學-——非歐幾里得幾何學。歐幾里得幾何學在這里僅成了羅巴切夫斯基幾何的一個特例。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,1854年，黎曼發(fā)表論文《關(guān)于幾何基礎的假設》,B. Riemann, 1826-1866,發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想，并建立了一種更廣泛的幾何。即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何。羅巴切夫斯基幾何以及歐幾里得幾何都只不過是這種幾何的特例。 黎曼的研究是以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊微分幾何為

19、基礎的。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,在黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對于三維空間，有以下三種情形：曲率為正常數(shù)；曲率為負常數(shù)；曲率恒等于零。黎曼指出后兩種情形分別對應于羅巴切夫斯基的非歐幾何學和通常的歐幾里得幾何學，而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對應于另一種非歐幾何學。在這種幾何中，過已知直線外一點，不能作任何平行于已知直線的直線。這實際上是以前面提到的薩凱里等人的鈍角假設為基礎而展開的非歐幾何學。,

20、2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,在黎曼之前，從薩凱里到羅巴切夫斯基，都認為鈍角假設與直線可以無限延長的假定矛盾，因而取消了這個假設。但黎曼區(qū)分了“無限”與“無界”這兩個概念，認為直線可以無限延長并不意味著就其長短而言是無限的，只不過是說，它是無端的或無界的。,在對無限與無界概念作了區(qū)分以后，人們在鈍角假設下也可像在銳角假設下一樣，無矛盾地展開一種幾何。這第二種非歐幾何，也叫（正常曲率曲面上的）黎曼幾何。作為區(qū)別，數(shù)學史文獻上就把羅

21、巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)的非歐幾何叫作羅巴切夫斯基幾何。普通球面上的幾何就是黎曼非歐幾何，其上的每個大圓可以看成是一條“直線”，容易看出，任意球面“直線”都不可能永不相交。,黎曼可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學家。他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,貝爾特拉米的模型： “偽球面”它由平面曳物線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周而得。 羅巴切夫

22、斯基平面片上的所有幾何關(guān)系與適當?shù)摹皞吻蛎妗逼系膸缀侮P(guān)系相符合。這使羅巴切夫斯基幾何立刻就有了現(xiàn)實意義。缺點：具有片段性。還沒有解決全部羅巴切夫斯基幾何的無矛盾性問題。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學的變革,克萊因的幾何模型：在普通歐幾里得平面上取一個圓，并且只考慮整個圓的內(nèi)部。他約定把圓的內(nèi)部叫“平面”，圓的弦叫“直線”（端點除外）。這種圓內(nèi)部的普通幾何事實就變成羅巴切夫斯基幾何的定理，而且反過來，羅巴切夫斯基幾何中的每個定理都

23、可以解釋成圓內(nèi)部的普通幾何事實。,龐加萊也對羅巴切夫斯基幾何給出了一個歐幾里得模型。這就使非歐幾何具有了至少與歐幾里得幾何同等的真實性。因為我們可以設想，如果羅巴切夫斯基幾何中存在任何矛盾的話，那么這種矛盾也必然會在歐幾里得幾何中表現(xiàn)出來，也就是說，只要歐幾里得幾何沒有矛盾，那么羅巴切夫斯基幾何也不會有矛盾。至此，非歐幾何作為一種幾何的合法地位才充分建立起來。,二、幾何學的變革,1、近代幾何學的進展,2、非歐幾何學的誕生,3、射影幾何學

24、的繁榮,4、幾何學的統(tǒng)一,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學的變革,非歐幾何揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將平直空間的歐氏幾何變成了某種特例。實際上，如果將歐幾里得幾何限制于其原先的涵義——三維、平直、剛性空間的幾何學，那么，19世紀的幾何學就可以理解為一場廣義的“非歐化”運動：從三維到高維，從平直到彎曲，而射影幾何的發(fā)展又從另一個方向使“神圣”的歐幾里得幾何再度“降格”為其他幾何的特例。,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學的變革,J-V. Ponce

25、let1788-1867,1822年，龐斯列：《論圖形的射影性質(zhì)》,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學的變革,基本問題：圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì)。,連續(xù)性原理。它涉及通過投影或其他方法把某一圖形變換成另一圖形的過程中的幾何不變性。龐斯列將它發(fā)展到包括無窮遠點的情形。,對偶原理。射影幾何的研究者們曾經(jīng)注意到，平面圖形的“點”和“線”之間存在著異乎尋常的對稱性。如果在它所涉及的定理中，將“點”換成“線”，同時將“線”換成“點”，那么

26、就可以得到一個新的定理。,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學的變革,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學的變革,1847年，施陶特出版《位置幾何學》，提出方案，通過給每個點適當配定一個識別標記（也稱坐標）來避免射影幾何學對于長度概念的依賴，使之擺脫了度量關(guān)系，成為與長度等度量概念無關(guān)的全新學科。,K.G.C. von Staudt, 1798-1867,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學的變革,施陶特還指出：射影幾何的概念在邏輯上要先于歐幾里得幾何概

27、念，因而射影幾何比歐幾里得幾何更基本。 施陶特的工作鼓舞了英國數(shù)學家凱萊（A. Cayley, 1821-1895）和普呂克的學生克萊因（F. Klein, 1849-1925）進一步在射影幾何概念基礎上建立歐幾里得幾何乃至非歐幾何的度量性質(zhì)，明確了歐幾里得幾何與非歐幾何都是射影幾何的特例，從而為以射影幾何為基礎來統(tǒng)一各種幾何學輔平了道路。,二、幾何學的變革,1、近代幾何學的進展,2、非歐幾何學的誕生,3、射影幾何學的繁

28、榮,4、幾何學的統(tǒng)一,4、幾何學的統(tǒng)一,二、幾何學的變革,非歐幾何的創(chuàng)立不只是解決了兩千年來一直懸而未決的平行公設問題，更重要的是它引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命。,首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠的影響。在此之前，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對空間觀念。非歐幾何的創(chuàng)始人無一例外的都對這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)。,其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學即歐幾里得幾何學的局面。19世紀中葉以后，通過否定歐幾里

29、得幾何中這樣或那樣的公設、公理，產(chǎn)生了各種新而又新的幾何學，,4、幾何學的統(tǒng)一,二、幾何學的變革,F. Klein, 1849-1925,1872年: 《愛爾朗根綱領》,幾何學是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學問，任何一種幾何學只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。這樣一來，不僅19世紀涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對應于幾何學的一種分類。,4、幾何學的統(tǒng)一,二、幾何學的變革,

30、并非所有的幾何都能納入克萊因的方案，例如今天的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領的確能給大部分的幾何提供一個系統(tǒng)的分類方法，對幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。,4、幾何學的統(tǒng)一,二、幾何學的變革,D. Hilbert, 1862-1943,公理化方法,1899年:《幾何基礎》,是從公理出發(fā)來建造各種幾何。 希爾伯特在這方面的劃時代貢獻在于，他比任何前人都更加透徹地弄清了公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系。,4、幾何學的統(tǒng)一,二、幾

31、何學的變革,《幾何基礎》中提出的公理系統(tǒng)包括了20條公理，希爾伯特將它們劃分為五組：關(guān)聯(lián)公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續(xù)公理。在這樣自然地劃分公理之后，希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即相容性:從系統(tǒng)的公理出發(fā)不能推出矛盾,亦稱無矛盾性;獨立性:系統(tǒng)的每條公理都不能是其余公理的邏輯推論;完備性:系統(tǒng)中所有的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出。在這樣組織起來的公理系統(tǒng)中，通過否定或者替換其中的一條或