數(shù)學(xué)的幾大奇觀

1、數(shù)學(xué)史上的幾大奇觀,數(shù)學(xué)史的發(fā)展和其它學(xué)科有著許多相同的地方，即存在許多奇異的想法或追求完美的理想，其原因在于或者理論知識(shí)發(fā)展的局限性，或者社會(huì)制度、宗教等的因素。但是這些思想的出現(xiàn)對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)的進(jìn)步是積極的。,一、尺規(guī)作圖,在中學(xué)我們就知道，幾何作圖嚴(yán)格局限于圓規(guī)和無(wú)尺度直尺。這種限制從古希臘一直延續(xù)至今。為什么？,古希臘認(rèn)為，所有圖形都是由直線和圓弧構(gòu)成的，圓是最完美的圖形。他們確信僅靠圓規(guī)和直尺就可以繪出圖形來(lái)。他們還認(rèn)為，依據(jù)

2、少量假設(shè)，通過(guò)邏輯把握的東西最可靠。,一、尺規(guī)作圖,如求線段AB的中點(diǎn)步驟為：1、以A為圓心，以一適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫(huà)??；2、以B為圓心，以同樣長(zhǎng)度的半徑畫(huà)弧；3、兩弧交于兩點(diǎn)，作兩點(diǎn)連線，其與AB的交點(diǎn)即為AB的中點(diǎn)。,一、尺規(guī)作圖,,,,,,人們很快找到了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖的方法，然而在正七邊形的尺規(guī)作圖時(shí)，一直研究了2000多年！,一、尺規(guī)作圖,17世紀(jì)，法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出了猜想：形如Fi=22i+1是素?cái)?shù)

3、！i=0,1,2,3,4時(shí)Fi是的確如此。而i=5時(shí)F5 是不是素?cái)?shù),一、尺規(guī)作圖,則在差不多100年后才由偉大的歐拉證明它不是素?cái)?shù)！F5=641×6700417.看來(lái)，驗(yàn)證一個(gè)大數(shù)是否為素?cái)?shù)是一個(gè)多么困難的事啊！,一、尺規(guī)作圖,迄今為止，人們只知道F1,F2,F3, F4, F5是素?cái)?shù)。人們又猜想費(fèi)馬素?cái)?shù)只有有限個(gè)，但仍是一個(gè)未解問(wèn)題。,一、尺規(guī)作圖,在歐拉之后60年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯20歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了正多邊形的邊數(shù)是費(fèi)馬素?cái)?shù)

4、時(shí)是可以用尺規(guī)作圖的，并且得到一般性結(jié)論：正n邊形可尺規(guī)作圖的充分必要條件是：,一、尺規(guī)作圖,由此我們知道正7邊形是不可以尺規(guī)作圖的！因?yàn)?不是費(fèi)馬素?cái)?shù)。,一、尺規(guī)作圖,而正17邊形（屬于高斯，80多頁(yè)），正257邊形（200多頁(yè)）是可以用尺規(guī)作圖的。高斯的墓碑上刻著一個(gè)正17邊形。 大家可以驗(yàn)證3，5，17，257是否為費(fèi)馬素?cái)?shù)。,一、尺規(guī)作圖,古希臘流傳下來(lái)的還有三大幾何作圖難題：1、化圓為方： =2

5、、倍立方問(wèn)題 ： =3、三等分角問(wèn)題。,一、尺規(guī)作圖,,,,,它們的解決實(shí)際上都促進(jìn)了幾何與代數(shù)，也就是現(xiàn)在的解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展。上述三個(gè)問(wèn)題都是不可能的！1、化圓為方，因?yàn)棣惺浅綗o(wú)理數(shù)。是不可作幾何量。,一、尺規(guī)作圖,2、倍立方問(wèn)題。因?yàn)?是不可作幾何量。3、三等分角問(wèn)題。以60度角為例，可得到代數(shù)方程,一、尺規(guī)作圖,二、解析幾何與微積分,前面已經(jīng)提到，古希臘的幾大幾何難題都是借助于代數(shù)方法得到解決的

6、。實(shí)際上，從公元前到公元16世紀(jì)，幾何與代數(shù)各自并行發(fā)展著。表面上看，幾何似乎是關(guān)于形的科學(xué)而與數(shù)無(wú)關(guān)，代數(shù)似乎是關(guān)于數(shù)的科學(xué)而與形無(wú)關(guān)。,二、解析幾何與微積分,代數(shù)與幾何難以聯(lián)系的原因是：人們心目中的數(shù)是相互孤立的，難以從數(shù)想到由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的線等圖形。而對(duì)于形來(lái)說(shuō)，例如線段或封閉圖形，它們與數(shù)的聯(lián)系也只限于長(zhǎng)度與面積，難以從圖形想到數(shù)的能力。,二、解析幾何與微積分,人們從“運(yùn)動(dòng)”的角度來(lái)聯(lián)系數(shù)與形的：決定性的工具是建立了坐標(biāo)系，點(diǎn)

7、 數(shù)。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成了線，線的運(yùn)動(dòng)形成了體......。 數(shù)與形的充分結(jié)合才產(chǎn)生了解析幾何。,,二、解析幾何與微積分,解析幾何的主要?jiǎng)?chuàng)始人是笛卡兒！在笛卡兒之前，就已經(jīng)出現(xiàn)了代數(shù)與幾何的結(jié)合，即解析幾何的萌芽.我們來(lái)看一個(gè)例子。,二、解析幾何與微積分,求比例中項(xiàng)問(wèn)題。求給定長(zhǎng)度AB與AC的比例中項(xiàng)。若AB=AC，那么他們本身就是比例中項(xiàng)，否則，可設(shè)AB<AC.,二、解析幾何與微積分,將AB置于AC上,以AC為直

8、徑畫(huà)圓,過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線交圓于D,連接AD,AD即為所求比例中項(xiàng).,,,,∽,二、解析幾何與微積分,接著,我們依次作出E、F、G、H、...使得,,二、解析幾何與微積分,因?yàn)锳D=x時(shí),AF=x3,AF=AD+DF,故當(dāng)DF=a時(shí),我們得到X3=x+a,二、解析幾何與微積分,結(jié)論:從幾何得到了一個(gè)代數(shù)方程.另一方面,若a是已知數(shù),那么AD=x作為方程的根可以在幾何上表示出來(lái)(尺規(guī)作圖).,二、解析幾何與微積分,反過(guò)來(lái),笛卡兒對(duì)幾何問(wèn)

9、題應(yīng)用了代數(shù)方法:研究幾何軌跡問(wèn)題.解析幾何的精華在于把幾何曲線用代數(shù)方程來(lái)表示,同時(shí)又用代數(shù)的研究方法來(lái)研究幾何.這種方法顯示了其強(qiáng)大的生命力:代數(shù)是純演算的和,二、解析幾何與微積分,推理的,它只需要邏輯的和技巧的,而不需要面對(duì)千變?nèi)f化的幾何曲線的表面現(xiàn)象得到其本質(zhì)性的東西.即幾何曲線(曲面)的分類.,二、解析幾何與微積分,,二、解析幾何與微積分,通過(guò)代數(shù)方法(平移和旋轉(zhuǎn))我們可以把一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.而且還有三個(gè)不變量.它們是二

10、次曲線的本質(zhì)—三類:橢圓、雙曲線和拋物線。 難以想象,沒(méi)有代數(shù)的參與,在眾多曲線中我們能看到這些本質(zhì)性的東西.,二、解析幾何與微積分,解析幾何出現(xiàn)后不久，微積分也被發(fā)現(xiàn)了?？梢哉f(shuō)，微積分不僅是數(shù)學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，也為近代科學(xué)開(kāi)辟了光明的道路；微積分不僅是17世紀(jì)的偉大發(fā)現(xiàn)，而且是世界人類文明史上最為光輝燦爛的發(fā)現(xiàn)。,二、解析幾何與微積分,微積分的來(lái)源是科學(xué)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)要求的必然：速度、距離、重心；切線、長(zhǎng)度、面積、體積；極值問(wèn)題等等。

11、,速度切線,,微分,距離體積,,積分,二、解析幾何與微積分,微積分的創(chuàng)立是以發(fā)現(xiàn)微分與積分互為逆運(yùn)算為標(biāo)志的，即我們所說(shuō)的微積分學(xué)基本定理：,二、解析幾何與微積分,微積分的偉大意義在于：1、微積分改變了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、方式和方法，帶來(lái)了數(shù)學(xué)空前和持久的繁榮昌盛！顯示了數(shù)學(xué)內(nèi)部的辨證統(tǒng)一的深刻哲理。,二、解析幾何與微積分,2、推動(dòng)了自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)的發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學(xué)的基本語(yǔ)言。其他如力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)等

12、學(xué)科都得到了無(wú)限的推動(dòng)力。近代的生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)等都離不開(kāi)數(shù)學(xué)。,二、解析幾何與微積分,3、對(duì)人類物質(zhì)文明作出了巨大貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用和更新，通過(guò)其他學(xué)科對(duì)人類的進(jìn)步產(chǎn)生了前所未有的作用：工業(yè)革命、人造衛(wèi)星、新星的發(fā)現(xiàn)、經(jīng)濟(jì)規(guī)律、金融運(yùn)作等等。,二、解析幾何與微積分,4、對(duì)人類文化產(chǎn)生了革命性的影響。只要研究變化規(guī)律就要用到微積分，在人文、社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也是如此。哲學(xué)（馬克思、恩格斯）、經(jīng)濟(jì)學(xué)、考古學(xué)、社會(huì)學(xué)、心理學(xué)、語(yǔ)

13、言學(xué)、法學(xué)......它們直接影響著人們的世界觀和文化結(jié)構(gòu)。,三、非歐幾何,一個(gè)遺憾的事：幾乎所有的大學(xué)生不知道非歐幾何，甚至數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生（包括部分大學(xué)數(shù)學(xué)教師）也是如此。今天我們?cè)噲D來(lái)彌補(bǔ)這個(gè)遺憾，來(lái)了解影響和改變世界的非歐幾何。,三、非歐幾何,歐氏幾何在公元前300年就已產(chǎn)生，起特征是建立了公理化方法：即從幾個(gè)概念和幾個(gè)命題，演繹出本學(xué)科其它所有概念和命題，從而構(gòu)成這一學(xué)科的全貌。運(yùn)用這種方法的學(xué)科被認(rèn)為是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)和成熟的

14、科學(xué)。,三、非歐幾何,歐氏幾何的公理體系出現(xiàn)在歐幾里德的《集合原本》中，在其之后的2200后，希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》加以完善。其間，許多數(shù)學(xué)家作了許多公理體系的完備性工作。然而，令人放心不下的是該公理體,三、非歐幾何,系中的第五公理，即平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題。因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)即使歐幾里德本人也盡量避免使用它。所以人們開(kāi)始從三個(gè)方面研究平行公理。1、試圖給出新的平行線定義以繞開(kāi)這個(gè)困難；,三、非歐幾何,2、試圖用比平行公理缺點(diǎn)更少的其他公理取

15、代它；（等價(jià)或包含）3、試圖用其他公里推出它。第三個(gè)問(wèn)題得到的最多的研究，但是毫無(wú)結(jié)果。,三、非歐幾何,在用反證法研究第三個(gè)問(wèn)題時(shí)，試圖推出矛盾，但是沒(méi)有。實(shí)際上，反證法就是假設(shè)與第五公理不成立。第五公理是說(shuō)：過(guò)已知直線外一點(diǎn)，可作一條也只可作一條直線與已知直線平行。,三、非歐幾何,19世紀(jì)初，俄羅斯人羅巴切夫斯基在否定第五公理的同時(shí)，假設(shè)其反面之一：“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，可作多于一條的直線與已知直線平行”，得到了一系列定理，并且認(rèn)

16、為他得到了一門(mén)新的幾何學(xué)。這是過(guò)去2000年以來(lái)的重大突破。,三、非歐幾何,羅巴切夫斯基1826年2月11日宣布自己建立了新的幾何學(xué)之后，得到了許多數(shù)學(xué)大家的嘲笑、諷刺，德國(guó)詩(shī)人歌德也出來(lái)諷刺他。實(shí)際上，羅巴切夫斯基的理論得到世界的認(rèn)可是在他去世幾十年后的事了.,三、非歐幾何,在羅氏幾何產(chǎn)生后的1854年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼把歐氏第五公理改為：“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，沒(méi)有與其平行之直線”，得到的一種新的幾何學(xué)——黎曼幾何，為非歐幾何的另一翼。,

17、三、非歐幾何,絕對(duì)幾何,,,,歐氏幾何,羅氏幾何,黎曼幾何,聯(lián)系公理迭合公理順序公理連續(xù)公理,三、非歐幾何,非歐幾何的產(chǎn)生具有三個(gè)重大意義:1、解決了平行公理的獨(dú)立性問(wèn)題。推動(dòng)了一般公理體系的獨(dú)立性、相容性、完備性問(wèn)題的研究，促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一更為深刻的數(shù)學(xué)分支的形成與發(fā)展。,三、非歐幾何,2、證明了對(duì)公理方法本身的研究能推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，理性思維和對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯和完美的追求，推動(dòng)了科學(xué)，從而推動(dòng)了社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，各分

18、支紛紛建立了自己的公理體系，包括被公認(rèn)為最困難的概率論也在20世紀(jì)30年代,三、非歐幾何,建立自己的公理體系。實(shí)際上公理化的研究又孕育了元數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展。3、非歐幾何實(shí)際上預(yù)示了相對(duì)論的產(chǎn)生，就象微積分預(yù)示了人造衛(wèi)星一樣。非歐幾何與相對(duì)論和匯合是,三、非歐幾何,科學(xué)史上劃時(shí)代的事件。人們都認(rèn)為是愛(ài)因斯坦創(chuàng)立了相對(duì)論，但是，也許愛(ài)因斯坦更清楚，是他和一批數(shù)學(xué)家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。出現(xiàn)動(dòng)鐘