第四章統(tǒng)計物理學(xué)基礎(chǔ)

1、第四章 統(tǒng)計物理學(xué)基礎(chǔ),4-1 統(tǒng)計物理的基本概念,一、物質(zhì)的微觀模型,熱力學(xué)系統(tǒng)（熱力學(xué)研究的對象）：大量微觀粒子（分子、原子等）組成的宏觀體系。,外界：熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物體。,微觀粒子體系的基本特征(1)分子(或原子)非常小。(2)熱力學(xué)系統(tǒng)所包含的微觀粒子數(shù)非常巨大.(3)分子之間存在相互作用力--分子力.(4）分子或原子都以不同的速率不停地運動。,分子之間相互作用力--分子力與分子間距離關(guān)系,為斥力且 減少時f急

2、劇增加,為平衡態(tài)，f=0,注意,? d 可視為分子力程；數(shù)量級在10-10--10-8m數(shù)量級，可看作分子直徑（有效直徑）。,?分子力是電磁力，遠(yuǎn)大于萬有引力。,宏觀量——狀態(tài)參量 描寫熱力學(xué)系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的參量。 如 壓強 p、體積 V、溫度 T 等。,微觀量：描述系統(tǒng)內(nèi)個別微觀粒子特征和運動狀態(tài)的物理量。 如分子的質(zhì)量、 直徑、速度、動量、能量 等。,宏觀量與微觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。統(tǒng)計物理學(xué)任務(wù)之一是建立宏觀量與微觀量的

3、統(tǒng)計平均值的關(guān)系。,二、系統(tǒng)狀態(tài)的描寫,在這過程中，各點密度、溫度等均不相同，這就是非平衡態(tài)。但隨著時間的推移，各處的密度、溫度、壓強等都達(dá)到了均勻，無外界影響，狀態(tài)保持不變，就是平衡態(tài)。,設(shè)一容器，用隔板將其隔開，當(dāng)隔板右移時，氣體分子向右邊擴散，,平衡態(tài): 在無外界的影響下，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。,假想把箱子分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時，兩側(cè)粒子有的穿越界線，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。,例如：粒子數(shù),說明：,平衡態(tài)是

4、一種理想狀態(tài),處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運動，而且因為碰撞， 每個分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時間 改變。,平衡態(tài)是一種熱動平衡,狀態(tài)方程,理想氣體,物態(tài)方程(狀態(tài)方程),當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，三個狀態(tài)參量存在一定的函數(shù)關(guān)系：,三、分子熱運動的無序性和統(tǒng)計規(guī)律性,什么是統(tǒng)計規(guī)律性(statistical regularity)?,大量偶然性從整體上所體現(xiàn)出來的必然性。,例. 扔硬幣,,,,,,,,,,,,,,,從入口投

5、入小球,,與釘碰撞,落入狹槽,為清楚起見 , 從正面來觀察。,( 偶然 ),隔板,鐵釘,統(tǒng)計規(guī)律和方法 伽爾頓板,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律 —— 統(tǒng)計規(guī)律。,再投入小球：,經(jīng)一定段時間后 , 大量小球落入狹槽。,分布情況：,中間多，兩邊少。,重復(fù)幾次 ，結(jié)果相似。,單個小球運動是隨機的 ,大量小球運動分布是確定的。,統(tǒng)計規(guī)律和方法 伽爾頓板,,,,小球數(shù)按空間位置 分布曲線,

6、四、 統(tǒng)計的基本概念,1. 概率,如果N次試驗中出現(xiàn)A事件的次數(shù)為NA,當(dāng)N??時，比值NA/N稱為出現(xiàn)A事件的概率。,概率的性質(zhì):,(1) 概率取值域為,? 統(tǒng)計規(guī)律特點: （1）只對大量偶然的事件才有意義. （2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變). (3) 大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。,(2) 各種可能發(fā)生的事件的概率總和等于1.,幾率歸一化條件,(3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和,(4) 二相容

7、事件的概率等于分事件概率之積,2. 概率分布函數(shù),隨機變量,在一定條件下, 變量以確定的概率取各種不相同的值。,1. 離散型隨機變量,取值有限、分立,表示方式,2. 連續(xù)型隨機變量,取值無限、連續(xù),連續(xù)型隨機變量X的概率密度,變量取值在x—x+dx間隔內(nèi)的概率,概率密度等于隨機變量取值在x附近單位間隔內(nèi)的概率。,又稱為概率分布函數(shù)（簡稱分布函數(shù)）。,歸一化條件,x可以是分子速率、能量,3. 統(tǒng)計平均值,算術(shù)平均值為,統(tǒng)計平均值為,對于離

8、散型隨機變量,隨機變量的統(tǒng)計平均值等于一切可能狀態(tài)的概率與其相應(yīng)的取值 乘積的總和。,對于連續(xù)型隨機變量,統(tǒng)計平均值為,“漲落”現(xiàn)象,------測量值與統(tǒng)計值之間總有偏離,處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強P，不隨時間改變， 但不能保證任何時刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣， 分子數(shù)越多，漲落就越小。,布朗運動是可觀測的漲落現(xiàn)象之一。,例1：氧氣瓶的壓強降到106Pa即應(yīng)重新充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶。今有一瓶氧氣，容積為3

9、2L，壓強為1.3?107Pa，若每天用105Pa的氧氣400L，問此瓶氧氣可供多少天使用？設(shè)使用時溫度不變。,解: 根據(jù)題意，可確定研究對象為原來氣體、用去氣體和剩余氣體，設(shè)這三部分氣體的狀態(tài)參量分別為,使用時的溫度為T,設(shè)可供 x 天使用,分別對它們列出狀態(tài)方程，有,?,4-2 理想氣體的壓強 溫度和內(nèi)能,一、理想氣體的微觀模型和統(tǒng)計假設(shè),1 . 理想氣體微觀模型,理想氣體的分子模型是彈性的自由運動的質(zhì)點。,2 . 統(tǒng)計假設(shè)

10、,① 分子數(shù)密度處處相等；,② 分子沿各個方向運動的幾率均等。,亦即：分子速度在各個方向上的分量的各種平均值相等。,,,二．理想氣體的壓強公式,一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。(V,N,m ),平衡態(tài)下器壁各處壓強相同，選A1面求其所受壓強。,i分子動量增量,i分子對器壁的沖量,i分子相繼與A1面碰撞的時間間隔,單位時間內(nèi)i分子對A1面的碰撞次數(shù),單位時間內(nèi)i分子對A1面的沖量,i分子對A1面的平均沖力,所有分子對A1面的平均作

11、用力,壓強,——分子的平均平動動能,平衡態(tài)下,?,三、分子的平均平動動能與溫度的關(guān)系,溫度是氣體分子平均平動動能大小的量度,例1:（1）在一個具有活塞的容器中盛有一定的氣體。如果壓縮氣體并對它加熱，使它的溫度從270C升到1770C，體積減少一半，求氣體壓強變化多少？ （2）這時氣體分子的平均平動動能變化多少？,解：,氣體分子

12、的方均根速率,氣體分子的方均根速率與氣體的熱力學(xué)溫度的平方根成正比，與氣體的摩爾質(zhì)量的平方根成反比。,1. 自由度,確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標(biāo)數(shù)目。,以剛性分子（分子內(nèi)原子間距離保持不變）為例,四、能量按自由度均分定理,平動自由度t=3,實際氣體不能看成剛性分子，因原子之間還有振動,二、能量均分定理,,氣體分子沿 x,y,z 三個方向運動的平均平動動能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動動能 均勻分配在每個平

13、動自由度上。,平衡態(tài)下，不論何種運動，相應(yīng)于每一個可能自由度的平均動能都是,能量按自由度均分定理,如果某種氣體的分子有個 t 個平動自由度, r 個轉(zhuǎn)動自由度, s 個振動自由度.則分子具有：,注意：對應(yīng)分子的一個振動自由度，除有一份 振動的動能外，還有一份平均勢能。,結(jié)論：分子的平均總能量,對剛性分子：氣體分子無振動，則分子的平均動能為,五、理想氣體的內(nèi)能,分子間相互作用可以忽略不計,理想氣體的內(nèi)能=所有分子的熱運動動能

14、之總和,1mol理想氣體的內(nèi)能為,一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能為,溫度改變，內(nèi)能改變量為,例2 就質(zhì)量而言，空氣是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三種氣體組成，它們的分子量分別為28、32、40。空氣的摩爾質(zhì)量為28.9?10-3kg，試計算1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能。,解： 在1摩爾空氣中,N2質(zhì)量,摩爾數(shù),O2質(zhì)量,摩爾數(shù),Ar質(zhì)量,摩爾數(shù),1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能,平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個規(guī)

15、律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。,溫度和壓強都涉及到分子的平均動能，即有必要研究一下分子速率的規(guī)律。這個規(guī)律早在1859年由麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計概念從理論上推導(dǎo)出耒，爾后被實驗證實。,4-3 麥克斯韋分子速率分布率,一、分子速率分布的實驗測定,測定分子速率分布的實驗裝置,圓筒不轉(zhuǎn)，分子束的分子都射在P處,圓筒轉(zhuǎn)動，分子束的速率不同的分子將射在不同位置,下面列出了Hg分子在某溫度時不同速率的分子

16、數(shù)占總分子的百分比。,,速率分布函數(shù),速率分布曲線,,歸一化條件,麥克斯韋速度分布律,二、麥克斯韋分布律及三種統(tǒng)計速率,麥克斯韋速度分布律,麥克斯韋速度分布函數(shù),,麥克斯韋速率分布律,麥克斯韋速率分布函數(shù),麥克斯韋速度分布律,一個分子處于v~v+dv區(qū)間內(nèi)的概率,麥克斯韋速率分布函數(shù),1、最可幾速率,極值條件,2、平均速率,分子速率的三個統(tǒng)計值,對于連續(xù)分布,3、方均根速率,1、溫度與分子速率,溫度越高，分布曲線中的最可幾速率vp增大，

17、但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度增大，高度降低。,麥克斯韋分布曲線的性質(zhì),氧氣分子分布函數(shù)和溫度的關(guān)系,2、質(zhì)量與分子速率,分子質(zhì)量越大，分布曲線中的最可幾速率vp越小，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度減小，高度升高。,( n為分子數(shù)密度),說明下列各量的物理意義：,？,思考題,解：,—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。,—— 分布在速率 v 附近

18、 v ~ v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。,—— 單位體積內(nèi)分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + dv 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。,—— 分布在有限速率區(qū)間v1 ~ v2 內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。,—— 分布在有限速率區(qū)間 v1 ~ v2 內(nèi)的分子數(shù)。,—— 分布在 0 ～ ∞ 速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。（ 歸一化條件）,—— v2 的平均值。,解： (1)氣體分子的分布曲線如圖,由歸一化條件,

19、,平均速率,方均速率,方均根速率為,(3)速率介于0~v0/3之間的分子數(shù),(4)速率介于0~v0/3之間的氣體分子平均速率為,討論,速率介于v1~v2之間的氣體分子的平均速率的計算,對于v的某個函數(shù)g(v)，一般地，其平均值可以表示為,,,,(1)畫出分布函數(shù)的示意圖.,(2)用N , 定常數(shù)A,由分布函數(shù)的歸一化條件可定出A,(3)求 , ,,,與 最大值對應(yīng)的最可幾速率就是,,奧地

20、利物理學(xué)家 玻耳茲曼,（1844-1906）,4-4 玻耳茲曼分布律,若氣體分子處于恒定的外力場（如重力場）中,氣體分子分布規(guī)律如何,一 、 玻耳茲曼分布律,如氣體分子處于外力場中，分子能量 E = Ep+ Ek,在麥克斯韋速度分布律中，,因子,,理想氣體分子僅有動能,麥克斯韋速度分布可以看作是無外場中分子數(shù)按能量的分布,玻耳茲曼將麥?zhǔn)戏植纪茝V為：,在溫度為T的平衡態(tài)下，任何系統(tǒng)的微觀粒子（經(jīng)典粒子）按能量分布都與

21、 成正比。,經(jīng)典粒子按能量的分布函數(shù)為：,麥克斯韋—玻耳茲曼分布,（M—B分布）,外力場中，粒子分布不僅按速度區(qū)間vx~vx+dvx 、vy~vy+dvy、vz~vz+dvz分布，還應(yīng)按位置區(qū)間x~x+dx、 y~y+dy、 z~z+dz分布,,該區(qū)間內(nèi)的粒子數(shù)為：,玻耳茲曼分布律,對速度區(qū)間積分可得分布在位置區(qū)間的分子數(shù)為：,+?,則分子數(shù)密度,粒子數(shù)按勢能分布,為勢能等于零處的分子數(shù)密度,+?,,,按近代理論，粒子所具

22、有的能量在有些情況下只能取一系列分立值E1 ,E2 ,…Ei ,…EN,處于Ei狀態(tài)的粒子數(shù),對于兩個任意能級,在正常狀態(tài)下，粒子總是優(yōu)先占據(jù)低能級狀態(tài)。,粒子數(shù)分布服從玻爾茲曼分布,二、重力場中粒子按高度的分布,,由氣體狀態(tài)方程,,式中P0為h=0處的大氣壓強，P為h處的大氣壓強，m是大氣分子質(zhì)量。,大氣密度和壓強隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小（高空空氣稀薄，氣壓低）,,,兩邊取對數(shù),測知地面和高空處的壓強與溫度，可估算所在高空離地面的高度

23、。,例 5 氫原子基態(tài)能級E1=-13.6eV，第一激發(fā)態(tài)能級E2=-3.4eV，求出在室溫T=270C時原子處于第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)的數(shù)目比。,解：,在室溫下，氫原子幾乎都處于基態(tài)。,4-7 范徳瓦爾斯方程,范徳瓦爾斯方程是對理想氣體的模型的修正,1摩爾理想氣體的狀態(tài)方程,V0分子自由活動空間.理想氣體分子是沒有體積的質(zhì)點，故v0等于容器的體積。,(1)考慮分子體積引起的修正,理想氣體狀態(tài)方程的修正為,可估算,V0為氣體所占容積,V0

24、-b為分子自由活動空間,(2)進一步考慮分子間引力引起的修正,r? r0 —— 斥力,r? r0 —— 引力,r? R —— 幾乎無相互作用 R稱為分子力的有效作用距離,R= r0 ——無相互作用. r0稱為平衡距離,當(dāng)兩個分子彼此接近到r? r0時斥力迅速增大，阻止兩個分子進一步靠近，宛如兩個分子都是具有一定大小的球體。,,設(shè)想：氣體中任一分子都有一個以其為中心，以R為半徑的力作用球，其它分子只有處于此球內(nèi)才

25、對此分子有吸引作用。,?處于容器當(dāng)中的分子? ,平衡態(tài)下，周圍的分子相對于?球?qū)ΨQ分布，它們對?的引力平均說來相互抵消。,?處于器壁附近厚度為R的表層內(nèi)的分子?, ??的力作用球被器壁切割為球缺，?周圍分子的分布不均勻，使?平均起來受到一個指向氣體內(nèi)部的合力，,?,?,這層氣體分子由于受到指向氣體內(nèi)部的力所產(chǎn)生的總效果相當(dāng)于一個指向內(nèi)部的壓強，叫內(nèi)壓強 ?P。,所以，考慮引力作用后，氣體分子實際作用于器壁并由實驗可測得的壓強為,所有運

26、動到器壁附近要與器壁相碰的分子必然通過此區(qū)域，則指向氣體內(nèi)部的力，將會減小分子撞擊器壁的動量，從而減小對器壁的沖力。,?,?,??P的相關(guān)因素,? P表面層分子受到內(nèi)部分子的通過單位面積的作用力,與表面層分子（類似? ）的數(shù)密度 n 成正比,與施加引力的內(nèi)部分子的數(shù)密度 n 成正比,,,或,將氣體分子視為有吸引力剛球時,1摩爾氣體范德瓦爾斯方程,?,?,a、 b由實驗確定。實際氣體在很大范圍內(nèi)近似遵守范德瓦爾斯方程。,如果

27、氣體質(zhì)量為M , 則其體積為,質(zhì)量為M氣體的范德瓦爾斯方程為:,?,?,當(dāng)系統(tǒng)各部分的宏觀物理性質(zhì)如密度、溫度或流速不均勻時，系統(tǒng)就處于非平衡態(tài).在不受外界干擾時,系統(tǒng)總是要從非平衡態(tài)自發(fā)地過渡到平衡態(tài).這種過渡稱為輸運過程.,4-7 氣體的輸運過程,輸運過程有三種熱傳導(dǎo)、擴散、內(nèi)摩擦.,氮氣分子在270C時的平均速率為476m.s-1.,克勞修斯指出：氣體分子的速度雖然很大，但前進中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運動方向

28、就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。,氣體分子平均速率,一、平均碰撞頻率和平均自由程,在相同的?t時間內(nèi)，分子由A到B的位移大小比它的路程小得多,分子自由程:,氣體分子兩次相鄰碰撞之間自由通過的路程。,分子碰撞頻率:,在單位時間內(nèi)一個分子與其他分子碰撞的次數(shù)。,大量分子的分子自由程與每秒碰撞次數(shù)服從統(tǒng)計分布規(guī)律?？梢郧蟪銎骄杂沙毯推骄鲎泊螖?shù)。,假定,平均碰撞次數(shù),運動方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A 碰撞,一秒鐘內(nèi):

29、,,一秒鐘內(nèi)A與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù),一切分子都在運動,,平均自由程,與分子的有效直徑的平方和分子數(shù)密度成反比,當(dāng)溫度恒定時,平均自由程與氣體壓強成反比,平均自由程,在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，幾種氣體分子的平均自由程,例 計算空氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均自由程和平均碰撞頻率。取分子的有效直徑d=3.5?10-10m。已知空氣的平均分子量為29。,解：,已知,空氣摩爾質(zhì)量為29?10-3kg/mol,空氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均速率,二、三種輸

30、運過程,1. 內(nèi)摩擦,流體內(nèi)各部分流動速度不同時,就發(fā)生內(nèi)摩擦現(xiàn)象.,相鄰流體層之間由于速度不同引起的相互作用力稱為內(nèi)摩擦力,也叫粘滯力.,流體沿x方向流速是z的函數(shù),流速梯度,沿z方向所出現(xiàn)的流速空間變化率。,粘滯力的大小與兩部分的接觸面dS和截面所在處的流速梯度成正比。,內(nèi)摩擦系數(shù)或粘度,恒為正值.,2.熱傳導(dǎo)(heat conduction),當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)各部分的溫度不均勻時，就有熱量從溫度較高的地方傳遞到溫度較低的地方，由于溫差而

31、產(chǎn)生的熱量傳遞現(xiàn)象。,溫度梯度,表示流體中溫度沿z軸方向的空間變化率。,在dt時間內(nèi)，從溫度較高的一側(cè)，通過這一平面向溫度較低的一側(cè)所傳遞的熱量，與這一平面所在處的溫度梯度和面積元成正比,3.擴散(diffusion),物體內(nèi)各部分的密度不均勻時，由于分子的熱運動，從而引起質(zhì)量從密度大的區(qū)域向密度小的區(qū)域遷移的現(xiàn)象。,密度梯度,表示氣體的密度沿z軸方向的空間變化率。,,在dt時間內(nèi)，通過dS傳遞的質(zhì)量,三、輸運過程的微觀解釋,1.氣體的

32、內(nèi)摩擦現(xiàn)象在微觀上是分子在熱運動中的輸運定向動量的過程.也就是分子在熱運動中通過dS面交換定向動量的結(jié)果.,可認(rèn)為氣體處于平衡態(tài),宏觀流速,分子熱運動平均速率,如果,在dt時間內(nèi)從下向上垂直越過dS面的平均氣體分子數(shù):,分子數(shù)密度,根據(jù)分子熱運動的各向同性,總分子中平均有 的分子從下向上垂直越過dS面.,它們離dS面的平均距離為平均自由程 ,所以,在dt時間內(nèi),由于分子熱運動從下向上帶過dS面的定向動量等于分子處于