信息光學(xué)中的傅里葉變換

1、信息光學(xué)中的傅里葉變換,,,表征現(xiàn)代光學(xué)重大進(jìn)展的另一件大事，是P.M.Duffieux 1946年把傅里葉變換的概念引入光學(xué)領(lǐng)域，由此發(fā)展成現(xiàn)代光學(xué)的一個(gè)重要分支——傅里葉光學(xué)（信息光學(xué)）。它應(yīng)用線性系統(tǒng)理論和空間頻譜的概念，分析光的傳播、衍射和成像等問題。,它用改變頻譜的方法處理相干處理系統(tǒng)中的光信息；用頻譜被改變的觀點(diǎn)評(píng)價(jià)非相干成像系統(tǒng)的像質(zhì)。信息光學(xué)促進(jìn)了圖像科學(xué)、應(yīng)用光學(xué)和光電子學(xué)的發(fā)展?？梢哉J(rèn)為它是光學(xué)、光電子學(xué)、信息論和通

2、訊理論的交叉學(xué)科。,信號(hào)頻域分布特性的分析與處理系統(tǒng)傳輸不同空間頻率信號(hào)能力的分析與處理空域←→頻域傅里葉分析,離散周期信號(hào)連續(xù)周期信號(hào)離散非周期信號(hào)連續(xù)非周期信號(hào),1. 二維傅里葉變換,1、二維傅里葉變換的定義,含有兩個(gè)變量x,y的函數(shù) f (x,y)，其二維傅里葉變換定義為,{ },在此定義中，,本身也是兩個(gè)自變量,的函數(shù)。,變換,F,,,振幅譜,,相位譜,,功率譜,類似地，函數(shù)f

3、 (x,y)也可以用其頻譜函數(shù)表示，即：,上式稱為F（fx，fy）的二維傅里葉逆變換。,正變換和逆變換在形式上非常相似，只是被積函數(shù)中指數(shù)因子的符號(hào)和積分變量不同而已。,我們可以用傅里葉變換對(duì)偶式來表示兩種變換之間的關(guān)系式。,,,二、傅里葉變換的存在條件,（1）、函數(shù)f(x,y)必須對(duì)整個(gè)XY平面絕對(duì)可積，即,（2）、函數(shù)f(x,y)必須在XY平面上的每一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)局部連續(xù)，即僅存在有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)和有限個(gè)極大和極小點(diǎn)。,（3）、函數(shù)f

4、(x,y)必須沒有無窮大間斷點(diǎn)。,上述三個(gè)存在條件是從數(shù)學(xué)的角度提出的，我們不證明它。這是因?yàn)?，從?yīng)用的角度看，作為時(shí)間或空間函數(shù)而實(shí)際存在的物理量，其傅里葉變換總是存在的。 但需說明的，為了物理學(xué)上描述方便起見，我們往往又用理想化的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示實(shí)際的物理圖形，對(duì)這些有用的函數(shù)而言，上面的三個(gè)條件中的一個(gè)或多個(gè)可能均不成立。例如階躍函數(shù)， ?函數(shù)等就不滿足存在條件。,因此，為了在傅里葉分析中能有更多的函數(shù)來描述物理圖形，有

5、必要對(duì)傅里葉變換的定義作一些推廣。,三、廣義傅里葉變換,對(duì)于不嚴(yán)格滿足存在條件的函數(shù)，首先把它定義為某一個(gè)序列的極限，該序列中的每一成分都具有通常的傅里葉變換，然后求出該序列各成分的傅里葉變換，從而得到一個(gè)相應(yīng)的變換序列。如果后一序列極限存在，就稱它為所考慮函數(shù)的廣義傅里葉變換。所以廣義傅里葉變換就是極限意義下的傅里葉變換。,例題：求函數(shù)f(x,y)=1的傅里葉變換,解：上述函數(shù)顯然不符合傅里葉變換存在的條件，現(xiàn)在我們把它定義為矩形函數(shù)

6、序列的極限。,先求矩形函數(shù)的傅里葉變換,{rect(y)},{rect(x)},F,F,請(qǐng)同學(xué)業(yè)們動(dòng)手推導(dǎo),f (x,y)=1,所以1的傅里葉變換是?函數(shù)。,問題： ?函數(shù)的逆傅里葉變換等于1嗎？,{ },F,物理圖像,請(qǐng)同學(xué)業(yè)們動(dòng)手推導(dǎo),2. 傅里葉變換的基本性質(zhì)和有關(guān)定理,1、線性性質(zhì),設(shè),a,b為常數(shù)，則,即兩個(gè)函數(shù)的線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)的傅里葉變換的相應(yīng)組合。,F,F,F,2、二重傅里葉變換性

7、質(zhì),對(duì)二元函數(shù)作二次傅里葉變換，得到原函數(shù)的反折,3、縮放性質(zhì),4、平移特性,函數(shù)空域的位移，帶來頻域中的線性相移，另一方面函數(shù)在空域中的相移，會(huì)導(dǎo)致頻域位移。,,F,F,F,F,5、對(duì)稱性質(zhì),若f(x,y)為實(shí)函數(shù)，顯然有,,稱,具有厄米對(duì)稱性,F,F,若f(x,y)為虛函數(shù)，顯然有,,稱,具有反厄米對(duì)稱性,,,說明：空域兩個(gè)函數(shù)的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重要的意義，當(dāng)一個(gè)復(fù)雜函數(shù)可以表示成簡單函數(shù)的乘積或卷積時(shí)，利用

8、卷積定理可由簡單函數(shù)的傅里葉變換來確定復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。而且定理為獲得兩個(gè)函數(shù)的卷積提供了另一途徑，即將兩函數(shù)的變換式相乘，再對(duì)乘積作逆變換。,F,F,F,F,6、卷積的傅里葉變換,7、乘積的傅里葉變換,F,F,8、相關(guān)的傅里葉變換,（1）互相關(guān)定理,,互譜能量密度,（2）自相關(guān)定理,★,,稱為信號(hào)f(x,y)的能譜密度,F,9、帕斯瓦爾（能量）定理,在應(yīng)用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表明一個(gè)事件空域各分量能量的總和與頻域各

9、分量能量的總和是相等的。,10、積分性質(zhì)(一維情況),F,F,11、導(dǎo)數(shù)定理,則有,F,F,F,若其導(dǎo)數(shù)存在,F,F,證明：,,F,F,,F,例題：求矩形函數(shù)的傅里葉變換,,F,F,例題：求高斯函數(shù)的傅里葉變換,,F,F,例題：求余弦函數(shù)的傅里葉變換,,F,F,例題：求三角函數(shù)的傅里葉變換,利用卷積定理,F,F,F,下面利用卷積定理的圖解方法求三角函數(shù)的傅里葉變換。,這種方法，用圖形表示出函數(shù)在空間域和頻率域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分析思路

10、直觀且便于記憶。,,,,,例：求極坐標(biāo)內(nèi)的二維傅里葉變換。,,,同理,上面極坐標(biāo)下的傅里葉變換的形式是相當(dāng)復(fù)雜的，但是當(dāng)g具有圓對(duì)稱性時(shí)，極坐標(biāo)顯得比較方便。,傅里葉-貝塞爾變換,設(shè)g(r,?)具有圓對(duì)稱性，即g與?無關(guān)，于是可以寫成 g(r,?)= g(r),,,利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系式,式中,是第一類零階貝塞爾函數(shù),上式表明，圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換仍是圓對(duì)稱的,類似地可得其傅里葉逆變換,在極坐下，圓對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換和逆變換的運(yùn)