第二章 薛定諤方程

1、第二章薛定諤方程本章介紹：本章將系統(tǒng)介紹波動(dòng)力學(xué)。波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋和態(tài)疊加原理是量子力學(xué)的兩個(gè)基本假設(shè)。薛定諤方程是波動(dòng)力學(xué)的核心。在一定的邊界條件和初始條件下求解薛定諤方程，可以給出許多能與實(shí)驗(yàn)直接比較的結(jié)果。2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋2.1.1波動(dòng)—粒子兩重性矛盾的分析按照德布按照德布按照德布羅羅意的意的意的觀觀點(diǎn)，和每個(gè)粒子相點(diǎn)，和每個(gè)粒子相點(diǎn)，和每個(gè)粒子相聯(lián)聯(lián)系的都有一系的都有一系的都有一個(gè)波。怎個(gè)波。怎個(gè)波。怎樣樣理解粒子性和波理解

2、粒子性和波理解粒子性和波動(dòng)動(dòng)性之性之性之間間的的聯(lián)聯(lián)系，系，系，這這是量子力學(xué)首先遇到的根本是量子力學(xué)首先遇到的根本是量子力學(xué)首先遇到的根本問題問題問題。。2.1.1波動(dòng)—粒子兩重性矛盾的分析能否能否能否認(rèn)為認(rèn)為認(rèn)為波是由粒子波是由粒子波是由粒子組組成？成？成？粒子的粒子的粒子的單縫單縫單縫和雙和雙和雙縫實(shí)驗(yàn)縫實(shí)驗(yàn)縫實(shí)驗(yàn)表明，如減小入射粒子表明，如減小入射粒子表明，如減小入射粒子強(qiáng)強(qiáng)度，度，度，讓讓粒子近似的一個(gè)一個(gè)從粒子源射出，粒子近

3、似的一個(gè)一個(gè)從粒子源射出，粒子近似的一個(gè)一個(gè)從粒子源射出，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，，雖雖然開始然開始然開始時(shí)時(shí)底片上的感光點(diǎn)是無底片上的感光點(diǎn)是無底片上的感光點(diǎn)是無規(guī)則規(guī)則規(guī)則的，但只要的，但只要的，但只要時(shí)間時(shí)間時(shí)間足足夠長(zhǎng)夠長(zhǎng)夠長(zhǎng)，感光點(diǎn)足，感光點(diǎn)足，感光點(diǎn)足夠夠多，底多，底多，底片上仍然會(huì)出片上仍然會(huì)出片上仍然會(huì)出現(xiàn)現(xiàn)衍射條衍射條衍射條紋紋。如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依。如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射

4、必然依。如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依賴賴于粒子于粒子于粒子間間的相互作用。的相互作用。的相互作用。這這和上述和上述和上述實(shí)驗(yàn)結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果相矛盾，果相矛盾，果相矛盾，實(shí)際實(shí)際實(shí)際上，上，上，單單個(gè)粒子也具有波個(gè)粒子也具有波個(gè)粒子也具有波動(dòng)動(dòng)性的。性的。性的。能否能否能否認(rèn)為認(rèn)為認(rèn)為粒子是由波粒子是由波粒子是由波組組成？成？成？比如說，電子是三維空間的物質(zhì)波包，波包的大小即電子的大小，波包的速度即電子的速度，但物質(zhì)波包

5、是色散的，即使原來的物質(zhì)波包很小，但經(jīng)過一段時(shí)間后，也會(huì)擴(kuò)散到很大的空間去，或者形象地說，隨著時(shí)間的推移，粒子將越來越“胖”，這與實(shí)驗(yàn)相矛盾經(jīng)經(jīng)典物理典物理典物理對(duì)對(duì)自然界所形成的基本物理自然界所形成的基本物理自然界所形成的基本物理圖圖像中有兩像中有兩像中有兩類類物理體系：物理體系：物理體系：??一一類類是是實(shí)實(shí)物粒子物粒子物粒子??另一另一另一類類是相互作用是相互作用是相互作用場(chǎng)場(chǎng)（波）（波）（波）經(jīng)經(jīng)典粒子是以同典粒子是以同典粒子是

6、以同時(shí)時(shí)確定的坐確定的坐確定的坐標(biāo)標(biāo)和和動(dòng)動(dòng)量來描述其運(yùn)量來描述其運(yùn)量來描述其運(yùn)動(dòng)動(dòng)狀狀態(tài)態(tài)，粒子，粒子，粒子的運(yùn)的運(yùn)的運(yùn)動(dòng)動(dòng)遵從遵從遵從經(jīng)經(jīng)典力學(xué)典力學(xué)典力學(xué)規(guī)規(guī)律，在運(yùn)律，在運(yùn)律，在運(yùn)動(dòng)過動(dòng)過動(dòng)過程中具有確定程中具有確定程中具有確定嚴(yán)嚴(yán)格的格的格的軌軌道。粒子的能量，道。粒子的能量，道。粒子的能量，動(dòng)動(dòng)量在粒子限量在粒子限量在粒子限度的空度的空度的空間間小區(qū)域集中；當(dāng)其與其它物理體系作用小區(qū)域集中；當(dāng)其與其它物理體系作用小區(qū)域集中；

7、當(dāng)其與其它物理體系作用時(shí)時(shí)，只與粒子所在，只與粒子所在，只與粒子所在處處附近的粒子相互作用，附近的粒子相互作用，附近的粒子相互作用，并遵從能量、并遵從能量、并遵從能量、動(dòng)動(dòng)量的量的量的單單個(gè)交個(gè)交個(gè)交換傳遞過換傳遞過換傳遞過程，其程，其程，其經(jīng)經(jīng)典物理典物理典物理過過程是粒子的碰撞；程是粒子的碰撞；程是粒子的碰撞；““定域定域定域””是粒子運(yùn)是粒子運(yùn)是粒子運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的特征。特征。特征。經(jīng)經(jīng)典波典波典波動(dòng)則動(dòng)則動(dòng)則是以是以是以場(chǎng)場(chǎng)量（振幅、

8、相位等）來描述其運(yùn)量（振幅、相位等）來描述其運(yùn)量（振幅、相位等）來描述其運(yùn)動(dòng)動(dòng)狀狀態(tài)態(tài)，遵從，遵從，遵從經(jīng)經(jīng)典波典波典波動(dòng)動(dòng)方程，波的能方程，波的能方程，波的能量和量和量和動(dòng)動(dòng)量周期性分布于波所量周期性分布于波所量周期性分布于波所傳傳播的空播的空播的空間間而不是集中在空而不是集中在空而不是集中在空間間一點(diǎn)，即波的能量、一點(diǎn)，即波的能量、一點(diǎn)，即波的能量、動(dòng)動(dòng)量是空量是空量是空間間廣廣延的。波與其他物延的。波與其他物延的。波與其他物質(zhì)質(zhì)體

9、系相互作用體系相互作用體系相互作用時(shí)時(shí)，可同，可同，可同時(shí)時(shí)與波所在廣延空與波所在廣延空與波所在廣延空間間內(nèi)的所有物理體系相互作用，內(nèi)的所有物理體系相互作用，內(nèi)的所有物理體系相互作用，其能量可其能量可其能量可連續(xù)變連續(xù)變連續(xù)變化，波化，波化，波滿滿足疊加原理，足疊加原理，足疊加原理，““非定域非定域非定域””是波是波是波動(dòng)動(dòng)性運(yùn)性運(yùn)性運(yùn)動(dòng)動(dòng)的特性。的特性。的特性。??????在在經(jīng)經(jīng)典物理中，粒典物理中，粒典物理中，粒子和波各子和波各子

10、和波各為為一一類類宏宏觀觀體系的呈體系的呈體系的呈現(xiàn)現(xiàn)，反映著兩，反映著兩，反映著兩類對(duì)類對(duì)類對(duì)象，兩種物象，兩種物象，兩種物質(zhì)質(zhì)形形態(tài)態(tài)，其運(yùn)，其運(yùn)，其運(yùn)動(dòng)動(dòng)特點(diǎn)是不相容的，特點(diǎn)是不相容的，特點(diǎn)是不相容的，即具有粒子性運(yùn)即具有粒子性運(yùn)即具有粒子性運(yùn)動(dòng)動(dòng)的物的物的物質(zhì)質(zhì)不會(huì)具有波不會(huì)具有波不會(huì)具有波動(dòng)動(dòng)性；反之具有波性；反之具有波性；反之具有波動(dòng)動(dòng)性運(yùn)性運(yùn)性運(yùn)動(dòng)動(dòng)的物的物的物質(zhì)質(zhì)不會(huì)具有粒子性。不會(huì)具有粒子性。不會(huì)具有粒子性。綜綜上所述

11、，微上所述，微上所述，微觀觀粒子既不是粒子既不是粒子既不是經(jīng)經(jīng)典的粒子又不是典的粒子又不是典的粒子又不是經(jīng)經(jīng)典的波，或者典的波，或者典的波，或者說說它既是量子概念的粒子又是量它既是量子概念的粒子又是量它既是量子概念的粒子又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他們們是具有一定的能量、是具有一定的能量、是具有一定的能量、動(dòng)動(dòng)量和量和量和質(zhì)質(zhì)量等粒子的屬性，量等粒

12、子的屬性，量等粒子的屬性，但不具有確定的運(yùn)但不具有確定的運(yùn)但不具有確定的運(yùn)動(dòng)軌動(dòng)軌動(dòng)軌道，運(yùn)道，運(yùn)道，運(yùn)動(dòng)規(guī)動(dòng)規(guī)動(dòng)規(guī)律不遵從牛律不遵從牛律不遵從牛頓頓定律；其量子概念中的波定律；其量子概念中的波定律；其量子概念中的波動(dòng)動(dòng)性并不是指某個(gè)性并不是指某個(gè)性并不是指某個(gè)實(shí)實(shí)在物理量在空在物理量在空在物理量在空間間的波的波的波動(dòng)動(dòng)，而是指用波函數(shù)的模的平方表示在空，而是指用波函數(shù)的模的平方表示在空，而是指用波函數(shù)的模的平方表示在空間間某某處處粒子

13、被粒子被粒子被發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)的概率。的概率。的概率。??現(xiàn)現(xiàn)在被物理學(xué)家在被物理學(xué)家在被物理學(xué)家們們普遍接受的波函數(shù)解普遍接受的波函數(shù)解普遍接受的波函數(shù)解釋釋是玻恩提出的是玻恩提出的是玻恩提出的統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)解解釋釋。他。他。他認(rèn)為認(rèn)為認(rèn)為，粒子在衍射或，粒子在衍射或，粒子在衍射或干涉干涉干涉實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中所揭示的波中所揭示的波中所揭示的波動(dòng)動(dòng)性性質(zhì)質(zhì)，既可以看成是大量粒子在同一，既可以看成是大量粒子在同一，既可以看成是大量粒子在同一實(shí)驗(yàn)實(shí)

14、驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中的中的中的統(tǒng)計(jì)結(jié)統(tǒng)計(jì)結(jié)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，也可以果，也可以果，也可以認(rèn)認(rèn)為為是是單單個(gè)粒子在多次相同個(gè)粒子在多次相同個(gè)粒子在多次相同實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)中中顯顯示的示的示的統(tǒng)計(jì)結(jié)統(tǒng)計(jì)結(jié)統(tǒng)計(jì)結(jié)果。果。果。??玻恩的玻恩的玻恩的統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)解解釋釋：波函數(shù)在某一：波函數(shù)在某一：波函數(shù)在某一時(shí)時(shí)刻在空刻在空刻在空間間的的強(qiáng)強(qiáng)度，即其振幅度，即其振幅度，即其振幅絕對(duì)值絕對(duì)值絕對(duì)值的平方與在的平方與在的平方與在這這一點(diǎn)找一點(diǎn)找一點(diǎn)找到粒子的幾率成正比，和粒

15、子到粒子的幾率成正比，和粒子到粒子的幾率成正比，和粒子聯(lián)聯(lián)系的波是概率波系的波是概率波系的波是概率波2.1.2波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的的特點(diǎn)：波函數(shù)的的特點(diǎn)：波函數(shù)的的特點(diǎn)：1.由于給出在時(shí)刻，粒子在處出現(xiàn)的幾率密度，因此原則2|)(|tr??tr?上可由統(tǒng)計(jì)平均公式：?????rdrdrfrf????????)()(III.III.III.在量子力學(xué)中，在量子力學(xué)中，在量子力學(xué)中，對(duì)對(duì)于概率波而言，波的干涉是描述粒子運(yùn)于概率波而言，波的

16、干涉是描述粒子運(yùn)于概率波而言，波的干涉是描述粒子運(yùn)動(dòng)動(dòng)狀狀態(tài)態(tài)的概率波本身的干涉，的概率波本身的干涉，的概率波本身的干涉，而不是粒子之而不是粒子之而不是粒子之間間的干涉。的干涉。的干涉。IV.IV.IV.一般來一般來一般來說說，，依依賴賴于于時(shí)間時(shí)間時(shí)間，是，是，是的函數(shù)，因此的函數(shù)，因此的函數(shù)，因此態(tài)態(tài)疊加原理不疊加原理不疊加原理不僅對(duì)僅對(duì)僅對(duì)某一某一某一時(shí)時(shí)刻成立，而且隨刻成立，而且隨刻成立，而且隨時(shí)時(shí)?t間間的的變變化，化，化，態(tài)

17、態(tài)疊加原理仍然成立。疊加原理仍然成立。疊加原理仍然成立。2.32.32.3薛定薛定薛定諤諤方程方程方程??經(jīng)經(jīng)典力學(xué)中，體系運(yùn)典力學(xué)中，體系運(yùn)典力學(xué)中，體系運(yùn)動(dòng)動(dòng)狀狀態(tài)態(tài)隨隨時(shí)間時(shí)間時(shí)間的的變變化遵循牛化遵循?；裱ｎD頓力學(xué)。和力學(xué)。和力學(xué)。和經(jīng)經(jīng)典力學(xué)典力學(xué)典力學(xué)類類似，我似，我似，我們們也也應(yīng)應(yīng)建立建立建立一個(gè)決定波函數(shù)隨一個(gè)決定波函數(shù)隨一個(gè)決定波函數(shù)隨時(shí)間變時(shí)間變時(shí)間變化化規(guī)規(guī)律的方程式。從物理上，律的方程式。從物理上，律的方程

18、式。從物理上，這這個(gè)方程式必個(gè)方程式必個(gè)方程式必須滿須滿須滿足下述條件：足下述條件：足下述條件：I.I.I.由于波函數(shù)由于波函數(shù)由于波函數(shù)滿滿足足態(tài)態(tài)疊加原理，而疊加原理，而疊加原理，而態(tài)態(tài)疊加原理疊加原理疊加原理對(duì)對(duì)任何任何任何時(shí)間時(shí)間時(shí)間都成立，因此描述波函數(shù)隨都成立，因此描述波函數(shù)隨都成立，因此描述波函數(shù)隨時(shí)間變時(shí)間變時(shí)間變化的方程化的方程化的方程應(yīng)該應(yīng)該應(yīng)該是是線線性方程。性方程。性方程。II.II.II.方程的系數(shù)方程的系數(shù)方

19、程的系數(shù)僅僅含有含有含有質(zhì)質(zhì)量、量、量、電電荷等內(nèi)稟量，不荷等內(nèi)稟量，不荷等內(nèi)稟量，不應(yīng)應(yīng)含有和個(gè)含有和個(gè)含有和個(gè)別別粒子粒子粒子運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)狀狀態(tài)態(tài)特定性特定性特定性質(zhì)質(zhì)有關(guān)的量，如有關(guān)的量，如有關(guān)的量，如動(dòng)動(dòng)量。量。量。III.III.III.因因?yàn)闉椴ê瘮?shù)的自波函數(shù)的自波函數(shù)的自變變量是坐量是坐量是坐標(biāo)標(biāo)和和時(shí)間時(shí)間時(shí)間，因此它必然是關(guān)于坐，因此它必然是關(guān)于坐，因此它必然是關(guān)于坐標(biāo)標(biāo)和和時(shí)間時(shí)間時(shí)間的偏微分方程。的偏微分方程。的偏微分

20、方程。IV.IV.IV.由于由于由于經(jīng)經(jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)的極限情況，因此典力學(xué)是量子力學(xué)的極限情況，因此典力學(xué)是量子力學(xué)的極限情況，因此這這個(gè)方程必個(gè)方程必個(gè)方程必須滿須滿須滿足足對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)原理，當(dāng)原理，當(dāng)原理，當(dāng)取取經(jīng)經(jīng)典極限典極限典極限時(shí)時(shí)，它能，它能，它能過過渡到牛渡到牛渡到牛頓頓方程。方程。方程。V.V.V.對(duì)對(duì)于自由粒子，于自由粒子，于自由粒子，這這個(gè)方程的解個(gè)方程的解個(gè)方程的解應(yīng)該應(yīng)該應(yīng)該是是單單色平面波的波函數(shù)。色平面波

21、的波函數(shù)。色平面波的波函數(shù)。??方程的建立方程的建立方程的建立對(duì)對(duì)平面波式平面波式平面波式??????)()()(EtrpiwtrkiAeAetr???????分分別對(duì)別對(duì)別對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)和和時(shí)間時(shí)間時(shí)間求微商后得：求微商后得：求微商后得：，，??Eti??????222p????由上兩式可以看出能量與由上兩式可以看出能量與由上兩式可以看出能量與動(dòng)動(dòng)量作用在波函數(shù)上的量作用在波函數(shù)上的量作用在波函數(shù)上的結(jié)結(jié)果與算符果與算符果與算符及及作用在

22、波函數(shù)上作用在波函數(shù)上作用在波函數(shù)上ti?????i的的結(jié)結(jié)果相同，即存在果相同，即存在果相同，即存在對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)系：關(guān)系：關(guān)系：??????????????????192619261926年，薛定年，薛定年，薛定諤諤推廣推廣推廣tiE????????ip上述上述上述規(guī)則規(guī)則規(guī)則到一般情況，建立了描述波函數(shù)演化到一般情況，建立了描述波函數(shù)演化到一般情況，建立了描述波函數(shù)演化規(guī)規(guī)律的薛定律的薛定律的薛定諤諤方程，得到薛定方程，得到薛定方

23、程，得到薛定諤諤方程：方程：方程：)())(2()(?)(22trtrUmtrHtrti???????????????薛定薛定薛定諤諤方程式量子力學(xué)的基本假方程式量子力學(xué)的基本假方程式量子力學(xué)的基本假設(shè)設(shè)之一，但必之一，但必之一，但必須須指出，我指出，我指出，我們們并未建立薛定并未建立薛定并未建立薛定諤諤方程，因方程，因方程，因?yàn)闉橹恢恢恢牢⒎址匠痰慕馐遣蛔阋越⑽⒎址匠痰摹５牢⒎址匠痰慕馐遣蛔阋越⑽⒎址匠痰?。道微分方程的解是?/p>

24、足以建立微分方程的。B.B.B.以上以上以上對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)系式（關(guān)系式（關(guān)系式（2.3.32.3.32.3.3）式，只是在直角坐）式，只是在直角坐）式，只是在直角坐標(biāo)標(biāo)系中的系中的系中的對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)關(guān)系，在其他坐關(guān)系，在其他坐關(guān)系，在其他坐標(biāo)標(biāo)系中不一定成立。系中不一定成立。系中不一定成立。下面我們討論一下定態(tài)情況：若勢(shì)能不顯含時(shí)間，則薛定諤方程可用分離變量法求)(trU?t解，此時(shí)可令：將上式代入薛定諤方程并用遍除等)()()(tfr