關(guān)于化簡2階線性偏微分方程的一些直觀想法

1、溫環(huán)宇數(shù)學(xué)系PB06210447.關(guān)于化簡2階線性偏微分方程的一些直觀想法課本第一章談到化簡2階2元線性偏微分方程，以便更好的分類進(jìn)而方便其求解，個(gè)人認(rèn)為其方法稍顯突兀，并且難以向高維情況推廣，以下討論一些對于課本方法的改進(jìn)。2階半線性偏微分方程的一般形式是：1()()(...)0ijiijxxixnijiaxuaxuFuxx?????其二次的主部為：0ijijxxijLuau??化簡的實(shí)質(zhì)是做變換，而現(xiàn)階段我們能夠使用的僅有2種：①自

2、變量變換；②未知函數(shù)變換第一部分：過程推導(dǎo)1首先我們知道，二階方程困難之處是在于它的主部，于是我們單獨(dú)就進(jìn)行討論。0Lu受到二次型理論的啟發(fā)，我們利用算子復(fù)合的概念將寫成二次型的形式：0L111121212221012121..........................nnnnnnnxaaaaaaxLxxxaaax?????????????????????????????????????????????????????在這里要注意

3、的一點(diǎn)的是，雖然是x的函數(shù)，但在這個(gè)二次型里只當(dāng)作系數(shù)，即不能理解為：ija，而應(yīng)該理解為，這一點(diǎn)在后面仍會(huì)碰到。()ijiiaxx????2ijijijijaaxxxx????????溫環(huán)宇數(shù)學(xué)系PB06210447.變換后的二階主部可以直接寫出來：011122122()[]()()()TTxyxxTxyyyLJAJaaaa????????????????????????????????????????????????????2211

4、1222111222221112221112222()()()()2xxyyxxxyyxxyTxxxyyxxyxxyyaaaaaaaaaaaa???????????????????????????????????????????????????????若解出滿足一階方程的，就可以使得方程對角化，然而111222()0xxxyyxxyaaa??????????????這里有2個(gè)未知函數(shù)，一起求解可能非常復(fù)雜，好在我們要求的僅僅是一個(gè)特解，

5、不妨令，這x??樣一來，就化成了，而這個(gè)方程是很好解的。11120xyxaa?????于是，我們便完成了方程主部的對角化。4由上面的理論，總可以設(shè)：112212()0xxyyxyauauauauFuxy?????再做未知函數(shù)的變換：，便可以將一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)消去，化成12112222aadxdyaavue???1122()0xxyyavavFvxy???便是標(biāo)準(zhǔn)型了。第二部分：推廣就課本的方法而言，其對于2個(gè)自變量的處理方法自有其可取之處，因