第十章二階線性偏微分方程的分類

1、第十章 二階線性偏微分方程的分類,本章將介紹二階線性偏微分方程的基本概念、分類方法和偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)化. 特別對(duì)于常系數(shù)的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn)方法也進(jìn)行了詳細(xì)討論，這對(duì)后面的偏微分方程求解是十分有用的.,10.1 基本概念,(1) 偏微分方程 含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如,其中,是未知多元函數(shù)，而,是未知變量；,為,的偏導(dǎo)數(shù). 有時(shí)為了書,寫方便，通常記,(2)方程的階 偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程

2、的階．,(3)方程的次數(shù) 偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微分方程的次數(shù)．,(4)線性方程 一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程．,(5)準(zhǔn)線性方程 一個(gè)偏微分方程，如果僅對(duì)方程中所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱方程為準(zhǔn)線性方程．,(6)自由項(xiàng) 在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)．,例如 ： 方程的通解和特解概

3、念,二階線性非齊次偏微分方程,的通解為,其中,是兩個(gè)獨(dú)立的任意函數(shù)．因?yàn)榉匠虨?二階的，所以是兩個(gè)任意的函數(shù)．若給函數(shù),指定為,特殊的,，則得到的解,稱為方程的特解．,n階常微分方程的通解含有n個(gè)任意常數(shù)，而n階偏微分方程的通解含有n個(gè)任意函數(shù)．,10.2 數(shù)學(xué)物理方程的分類,在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程．這三類方程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會(huì)看到它們的解也

4、表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn)．,我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二次實(shí)曲線,其中,為常數(shù)，且設(shè),則當(dāng),,時(shí)，上述二次曲線分別為雙,曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來對(duì)二階線性偏,微分方程進(jìn)行分類.,下面主要以含兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析．而對(duì)于更多個(gè)自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討論的基本方法是一樣的．,兩個(gè)自變量(x, y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為,（10.2.1）,其中,為,的已知函數(shù)．,定理10.2.1

5、 如果,是方程,(10.2.2),的一般積分，則,是方程,(10.2.3),的一個(gè)特解．,在具體求解方程(10.2.10)時(shí)，需要分三種情況討論判別式,1. 當(dāng)判別式,以求得兩個(gè)實(shí)函數(shù)解,時(shí)，從方程(10.2.10)可,也就是說，偏微分方程(10.2.1)有兩條實(shí)的特征線．于是，令,即可使得,．同時(shí)，根據(jù)(10.2.4)式，就可以斷定,．所以，方程(10.2.6) 即為,(10.2.4),或者進(jìn)一步作變換,于是有,所以,又可以進(jìn)一步將

6、方程(10.2.11)化為,這種類型的方程稱為雙曲型方程．我們前面建立的波動(dòng)方程就屬于此類型．,2．當(dāng)判別式,時(shí)：這時(shí)方程,(10.2.10)一定有重根,因而只能求得一個(gè)解，例如，,，特征線為,一條實(shí)特征線．作變換,就可以使,由(10.2.4)式可以得出，一定有,，故可推出,．這樣就可以任意選取另一個(gè)變換，,只要它和,彼此獨(dú)立，即雅可俾式,即可．這樣，方程(10.2.6)就化為,此類方程稱為拋物型方程．熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類型

7、．,3. 當(dāng)判別式,面的討論，只不過得到的,時(shí)：這時(shí)，可以重復(fù)上,和,是一,對(duì)共軛的復(fù)函數(shù)，或者說，偏微分方程(10.2.1)的兩條特征線是,一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族．于是,是一對(duì)共軛的復(fù)變量．進(jìn)一步引進(jìn)兩個(gè)新的實(shí)變量,于是,所以,方程(10.2.11)又可以進(jìn)一步化為,這種類型的方程稱為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都屬于這種類型．,綜上所述，要判斷二階線性偏微分方程屬于何種

8、類型，只需討論判別式,即可.,10.3 二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化,對(duì)于二階線性偏微分方程,(10.3.1),若判別式為,，則二階,線性偏微分方程分為三類：,,時(shí)，方程稱為雙曲型;,時(shí)，方程稱為拋物型;,時(shí)，方程稱為橢圓型;,1.雙曲型偏微分方程,因?yàn)殡p曲型方程對(duì)應(yīng)的判別式,所以特征曲線是兩族不同的實(shí)函數(shù)曲線，,設(shè)特征方程的解為,令,(10.3.2),進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)橄铝行问?(10.3.3),上式稱為雙曲型偏微分方程

9、的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式，再作變量代換，令,或,則偏微分方程又變?yōu)?(10.3.4),上式稱為雙曲型偏微分方程的第二種形式．,注：上式中的“*”號(hào)不代表共軛，僅說明是另外的函數(shù)。如,,,與,是兩個(gè)不同的函數(shù)。,2．拋物型偏微分方程,因?yàn)閽佄镄推⒎址匠痰呐袆e式,線是一族實(shí)函數(shù)曲線．,，所以特征曲,其特征方程的解為,(10.3.5),因此令,進(jìn)行自變量變換，則原偏微分方程變?yōu)?(10.3.6),上式稱為拋物型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．,3.橢圓型偏

10、微分方程,橢圓型偏微分方程的判別式,，所以特征曲線是,一組共軛復(fù)變函數(shù)族．其特征方程的解為,(10.3.7),若令,(10.3.8),作自變量變換，則偏微分方程變?yōu)?(10.3.9),上式稱為橢圓型偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．,10.4 二階線性常系數(shù)偏微分方程的進(jìn)一步化簡(jiǎn),如果二階偏微分方程的系數(shù)是常數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)形式的方程還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)．下面按三種類型分別介紹化簡(jiǎn)的方法,1.雙曲型,對(duì)于下列含常系數(shù)的第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型標(biāo)準(zhǔn)方程還可進(jìn)

11、一步化簡(jiǎn),注：上式中用小寫字母,代表常系數(shù)，以便與,我們不妨令,大寫字母代表某函數(shù)區(qū)別開來, 例如,．為了化簡(jiǎn)，,從而有,(10.4.2),其中,由第二種標(biāo)準(zhǔn)形式的雙曲型偏微分方程（含常系數(shù)）可以進(jìn)一步化簡(jiǎn),(10.4.3),式中,均為常系數(shù)．若令,則有,(10.4.4),(10.4.5),其中,對(duì)于含常系數(shù)的拋物型偏微分標(biāo)準(zhǔn)方程（含常系數(shù)）,（10.4.6）,還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)．上式中小寫字母,均為常系數(shù)．,為了化簡(jiǎn)，不妨令,從而有,

12、(10.4.7),2.拋物型,3.橢圓型,對(duì)于下列第一種標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓型標(biāo)準(zhǔn)方程(含常系數(shù)),(10.4.8),還可以進(jìn)一步進(jìn)行化簡(jiǎn)．上式中小寫字母的,為常系數(shù)．,為了化簡(jiǎn)，不妨令,從而有,(10.4.9),其中,含有兩個(gè)自變量的線性偏微分方程的一般形式也可以寫成下面的形式：,其中 L 是二階線性偏微分算符，G是x,y的函數(shù)．,線性偏微分算符有以下兩個(gè)基本特征：,10.5 線性偏微分方程解的特征,其中,均為常數(shù)．進(jìn)一步有如下結(jié)論：,1

13、.齊次的線性偏微分方程的解有以下特性：,為方程的解時(shí)，則,也為方程的解；,(1).當(dāng),為方程的解，則,也是方程的解；,(2)若,2.非齊次的線性偏微分方程的解具有如下特性：,為非齊次方程的特解，,為齊次方程的通解，則,為非齊次方程的通解；,(1)若,(2),若,則,3．線性偏微分方程的疊加原理,需要指出:線性偏微分方程具有一個(gè)非常重要的特性，稱為疊,加原理，即若,是方程,（其中 L 是二階線性偏微分算符）的解.如果級(jí)數(shù),收斂，且二階偏導(dǎo)