二階線性偏微分方程的分類與小結(jié)

1、第六章第六章二階線性偏微分方程的分類與小結(jié)二階線性偏微分方程的分類與小結(jié)一兩個自變量的二階線性方程兩個自變量的二階線性方程1方程變換與特征方程方程變換與特征方程兩個自變量的二階線性偏微分方程總表示成兩個自變量的二階線性偏微分方程總表示成①fcuububuauauayxyyxyxx??????212212112它關(guān)于未知函數(shù)它關(guān)于未知函數(shù)及其一、二階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，其及其一、二階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，其u中都是自變量都是自變量的已知函的已知

2、函fucbbaaa，，，，，，，21221211yx數(shù)，假設(shè)它們的一階偏數(shù)，假設(shè)它們的一階偏導(dǎo)數(shù)在某平面區(qū)域?qū)?shù)在某平面區(qū)域內(nèi)都連續(xù)，而內(nèi)都連續(xù)，而D且不全為不全為0。221211aaa，，設(shè)是內(nèi)給定的一點，考慮在內(nèi)給定的一點，考慮在的領(lǐng)域內(nèi)對的領(lǐng)域內(nèi)對)(000yxMD0M方程進行簡化。取自變量變換方程進行簡化。取自變量變換)(yx???)(yx???其中它們具有二連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且在其中它們具有二連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且在處的雅可比行列處的雅

3、可比行列0M式。式。=???)()(yx??yxyx????xyyx????根據(jù)隱函數(shù)存在定理，在根據(jù)隱函數(shù)存在定理，在領(lǐng)域內(nèi)存在逆變換領(lǐng)域內(nèi)存在逆變換0M)(??xx?)(??yy?因為因為，xxxuuu??????yyyuuu??????，該式稱為雙曲線方，該式稱為雙曲線方??????uu___2_1FuCuBuB?????程的標準形式，其中程的標準形式，其中是自變量是自變量的已的已___2_1FCBB??、知函數(shù)。知函數(shù)。(2)若

4、的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)時，可將方程簡化成時，可將方程簡化成0M02211212??aaa，該式稱為拋物型方程，該式稱為拋物型方程FCuuBuBuA????????2122的標準形式，其中的標準形式，其中是自變量是自變量的已的已FCBBA2122??、知函數(shù)。知函數(shù)。(3)若的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)時，可將方程簡化成時，可將方程簡化成0M02211212??aaa，該式稱為橢圓，該式稱為橢圓FCuuBuBuuA???????????2111)(型方程的

5、標準形式，其中型方程的標準形式，其中是自變量是自變量FCBBA2111的已知函數(shù)。的已知函數(shù)。??、總之，根據(jù)總之，根據(jù)2211212aaa?的正負號能將的正負號能將yyxyxxuauaua2212112??簡化成三種標準形式。簡化成三種標準形式。fcuububyx????21定義定義若在區(qū)域若在區(qū)域中點處滿足點處滿足D)(000yxM(或是或是=0=0，或是，或是0)0)，則稱方程，則稱方程02211212??aaa在該點在該點處是處