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1、2.2常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程第一節(jié)第一節(jié)圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程一橢圓的參數(shù)方程一橢圓的參數(shù)方程1、中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,標(biāo)準(zhǔn)方程是的橢圓的參數(shù)方x22221(0)xyabab????程為為參數(shù))cos(sinxayb????????同樣,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,標(biāo)準(zhǔn)方程是的橢圓的參y22221(0)yxabab????數(shù)方程為為參數(shù))cos(sinxbya????????2、橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)如圖,
2、以原點(diǎn)為圓心,為半徑分別作兩個(gè)同心圓,設(shè)A為大圓上的O()ababo??任一點(diǎn),連接,與小圓交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)分別作軸,軸的垂線,兩垂線交于點(diǎn)OAABxy。M設(shè)以為始邊,為終邊的角為,點(diǎn)的坐標(biāo)是。那么OxOA?M()xy點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。由于點(diǎn)都在角的終AxByAB?邊上,由三角函數(shù)的定義有3coscossinsinxOAayOBb????????當(dāng)半徑繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周時(shí),就得到了點(diǎn)的軌跡,它的參數(shù)方程是為OAOMcos(sinxay
3、b????????參數(shù))這是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的參數(shù)方程。Ox3、橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義?圓的參數(shù)方程為參數(shù))中的參數(shù)是動(dòng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角,但在橢圓cos(sinxryr?????????()Mxy的參數(shù)方程為參數(shù))中的參數(shù)不是動(dòng)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角,它是動(dòng)點(diǎn)cos(sinxayb?????????()Mxy所對(duì)應(yīng)的圓的半徑(或)的旋轉(zhuǎn)角,稱(chēng)為點(diǎn)的離心角,不是的旋()MxyOAOBMOM轉(zhuǎn)角,通常規(guī)定??02???設(shè)為始邊,為始邊的角為,
4、點(diǎn),那么點(diǎn)OxOA?()Mxy(0)()AxBby因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上,由圓的參數(shù)方程的點(diǎn)A的坐標(biāo)為。1C(cossin)aa??所以,,因?yàn)椋?cossin)OAaa???????(cossin)AAxaa?????????OAAA?????????,從而,解得,記0OAAA??????????2cos(cos)(sin)0axaa??????cosax??1seccos???則。secxa??因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上,由三角函數(shù)的定義有,即
5、B?tanyb??tanyb???所以點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù))sec(tanxayb????????這是中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的參數(shù)方程。x3、雙曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的意義?參數(shù)是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA的旋轉(zhuǎn)角,成為點(diǎn)M的離心角,而不是OM的旋轉(zhuǎn)?角,通常規(guī)定通常規(guī)定,且,且??02???223??????4、雙曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的意義?因?yàn)?,即,可以利用此關(guān)系將普通方程和參數(shù)方程2221sin1coscos????
6、?22sectan1????互化①由雙曲線的參數(shù)方程為參數(shù)),易得,可以利用平sec(tanxayb????????sectanxyab????方關(guān)系將參數(shù)方程中的參數(shù)化去,得到普通方程?22221(00)xyabab????②在雙曲線的普通方程中,令,從而將普22221(00)xyabab????sectanxyab????通方程化為參數(shù)方程為參數(shù))sec(tanxaya????????三、拋物線的參數(shù)方程三、拋物線的參數(shù)方程1、以坐
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