曲線和方程典型例題

1、112典型例題一例1如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點都在曲線上”不正確，那么以下正確的命題是??0?yxf，C（A）曲線上的點的坐標(biāo)都滿足方程C??0?yxf，（B）坐標(biāo)滿足方程的點有些在上，有些不在上??0?yxf，CC（C）坐標(biāo)滿足方程的點都不在曲線上??0?yxf，C（D）一定有不在曲線上的點，其坐標(biāo)滿足方程C??0?yxf，分析：原命題是錯誤的，即坐標(biāo)滿足方程的點不一定都在曲線上，易知答案為D??0?yxf，C典型例題二例2說明過點且

2、平行于軸的直線和方程所代表的曲線之間的關(guān)系)15(?Pxl1?y分析：“曲線和方程”的定義中所列的兩個條件正好組成兩個集合相等的充要條件，二者缺一不可其中“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”，即純粹性；“以方程的解為坐標(biāo)的點0)(?yxf都是曲線上的點”，即完備性這是我們判斷方程是不是指定曲線的方程，曲線是不是所給方程的曲線的準(zhǔn)則解：如下圖所示，過點且平行于軸的直線的方程為，因而Pxl1??y在直線上的點的坐標(biāo)都滿足，所以直線上的點都在方程

3、表示l1?yl1?y的曲線上但是以這個方程的解為坐標(biāo)的點不會都在直線上，因此1?yl方程不是直線的方程，直線只是方程所表示曲線的一部分1?yll1?y說明：本題中曲線上的每一點都滿足方程，即滿足純粹性，但以方程的解為坐標(biāo)的點不都在曲線上，即不滿足完備性典型例題三例3說明到坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡與方程所表示的直線之間的關(guān)系xy?分析：該題應(yīng)該抓住“純粹性”和“完備性”來進行分析解：方程所表示的曲線上每一個點都滿足到坐標(biāo)軸距離相等但是“到

4、坐標(biāo)軸距離相等xy?的點的軌跡”上的點不都滿足方程，例如點到兩坐標(biāo)軸的距離均為3，但它不滿足方xy?)33(?程因此不能說方程就是所有到坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程，到坐標(biāo)軸距離相等xy?xy?的點的軌跡也不能說是方程所表示的軌跡xy?說明：本題中“以方程的解為坐標(biāo)點都在曲線上”，即滿足完備性，而“軌跡上的點的坐標(biāo)不都滿足方程”，即不滿足純粹性只有兩者全符合，方程才能叫曲線的方程，曲線才能叫方程的曲線典型例題四例4曲線與直線有兩個不同的

5、交點，求的取值范圍有一個交4)1(22???yx4)2(???xkyk點呢？無交點呢？312又∵0?a∴解之得：1?a∴所求實數(shù)的范圍是a)1(??解法二：的曲線是關(guān)于軸對稱且頂點在原點的折線，而xay?y表示斜率為1且過點的直線，由下圖可知，當(dāng)時，折線的axy??)0(a1?a右支與直線不相交所以兩曲線只有一個交點，當(dāng)時，直線與折線的兩支1?a都相交，所以兩條直線有兩個相異的交點說明：這類題較好的解法是解法二，即利用數(shù)形結(jié)合的方法來探

6、求若題設(shè)條件中“”0?a改為呢，請自己探求Ra?典型例題六例6已知，其中，，，則角平分線的方AOB?)06(A)00(O)30(BAOB程是(如下圖)，對嗎？xy?分析：本題主要考查曲線方程概念掌握和理解的程度，關(guān)鍵是理解三角形內(nèi)角平分線是一條線段解：不對，因為內(nèi)角平分線是一條線段，而方程的圖形是一條直線如點AOB?OCxy?坐標(biāo)適合方程，但點不在內(nèi)角的平分線上)88(Pxy?PAOB?AOB綜合上述內(nèi)角平分線為：AOB)20(???x

7、xy說明：判斷曲線的方程或方程的曲線，要緊扣定義，兩個條件缺一不可，關(guān)鍵是要搞清楚曲線的范圍典型例題七例7判斷方程所表示的曲線122????xxy分析：根據(jù)方程的表面形式，很難判斷方程的曲線的形狀，因此必需先將方程進行等價變形解：由原方程可得：122????xxy，即1???xy?????????)1(1)1(1xxxxy∴方程的曲線是兩條射線，如圖所示：122????xxy說明：判斷方程表示的曲線，在化簡變形方程時要注意等價變形如方程