非線性方程的newton解法[文獻(xiàn)綜述]

1、畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述信息與計(jì)算科學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)非線性方程的非線性方程的NewtonNewton解法解法一、前言部分一、前言部分在實(shí)際情況中經(jīng)常會(huì)遇到求解高次代數(shù)方程或含有三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的超越方程問題我們把這些方程統(tǒng)稱為非線性方程[1]。在非線性方程中除了二次、三次、四次代數(shù)方程外求解其他的方程不但沒有一般的公式而且若只依據(jù)方程本身來判別是否有根及根的個(gè)數(shù)是很困難的。因此，研究非線性方程的數(shù)值解法非常

2、必要。非線性方程的求根通常分為兩個(gè)步驟：一是對(duì)根的搜索，分析方程存在多少個(gè)根，找出每個(gè)根所在區(qū)間；二是根的精確化，求得根的足夠精確的近似值?？茖W(xué)研究和工程計(jì)算中常常遇到求解非線性方程（組）的問題。數(shù)值分析中牛頓迭代法是求解非線性方程的基本方法。此外，它還有二分法，簡(jiǎn)單迭代法，割線法、插值法等。在求方程近似根的方法中最直觀、最簡(jiǎn)單的方法是二分法[2]。二分法以連續(xù)函數(shù)的介值定理為基礎(chǔ)?？紤]方程。設(shè)函數(shù)且，則方程??0fx?????fxCa

3、b?????0fafb?在內(nèi)至少存在一個(gè)根。二分法的基本思想是：用對(duì)分區(qū)間的方法根據(jù)分點(diǎn)處函數(shù)??ab的符號(hào)逐步將有根區(qū)間縮小，使在足夠小的區(qū)間內(nèi)，方程有且僅有一根。??fx迭代法[2]是數(shù)值計(jì)算中一類典型方法，不僅用于方程求根，而且用于方程組求解，矩陣求特征值等方面。迭代法的基本思想是一種逐次逼近的方法。首先取一個(gè)粗糙的近似值，然后用同1個(gè)遞推公式，反復(fù)校正這個(gè)初值，直到滿足預(yù)先給出的精度要求為止。割線法[3]的基本思想是任取兩個(gè)互異

4、點(diǎn)，做出通過這兩個(gè)點(diǎn)的割線，用割線的截距x作為函數(shù)零點(diǎn)的新近似并放棄最早的那個(gè)點(diǎn)，此時(shí)我們并不清楚當(dāng)前的這兩個(gè)點(diǎn)是否構(gòu)成有根區(qū)間，因而在迭代過程中，割線法即可以是反線性插值（有根區(qū)間時(shí)），也可以是外推（非有根區(qū)間）。本文綜述非線性方程的Newton格式，包括相應(yīng)的收斂性分析和誤差分析。伴隨著牛頓法理論的發(fā)展與實(shí)際應(yīng)用，如何改進(jìn)牛頓算法，來減少計(jì)算量以提高運(yùn)算效率[4]是目前的爭(zhēng)論焦點(diǎn)。Newton法就是把非線性方程線性化的一種方法。設(shè)是

5、式（221）的一個(gè)近似根，把在處作1階Tayl展開，即kx??fxkx????????kkkfxfxfxxx????于是我們得到如下近似方程（22??????0kkkfxfxxx????3）設(shè)，則方程（223）的解為??0kfx??????kkkfxxxfx???:取作為原方程（221）的新的近似根，即令x:1kx?（22????1kkkkfxxxfx??????012k??4）稱式（224）為Newton迭代格式。用Newton迭代格

6、式（224）求方程（221）根的方法稱為Newton迭代法，簡(jiǎn)稱Newton法。2.3牛頓法的收斂性和誤差分析1、收斂性[610]牛頓法的迭代公式類似于不動(dòng)點(diǎn)迭代法：??????1nnnnnfxxxgxfx?????如果，則迭代法收斂。對(duì)求導(dǎo)數(shù)，我們立即得到使方法收斂的條件是??1gx????gx????????21fxfxgxfx??????????這里要求函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)，都連續(xù)。下面我們證明牛頓法是二階收斂??fx??fx???fx