復(fù)積分的計(jì)算【文獻(xiàn)綜述】

1、畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)復(fù)積分的計(jì)算復(fù)積分的計(jì)算復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。如果當(dāng)函數(shù)的變量取某一定值的時(shí)候，函數(shù)就有一個(gè)唯一確定的值，那么這個(gè)函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項(xiàng)式就是這樣的函數(shù)。復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的

2、單值枝和枝點(diǎn)概念在幾何上有非常直觀的表示和說(shuō)明。對(duì)于某一個(gè)多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深?yuàn)W的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來(lái)。近來(lái)，關(guān)于黎曼曲面的研究還對(duì)另一門(mén)數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來(lái)說(shuō)明、解決問(wèn)題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過(guò)共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說(shuō)明。導(dǎo)數(shù)

3、處處不是零的解析函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、彈性理論、靜電場(chǎng)理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來(lái)解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對(duì)它們的計(jì)算就是通過(guò)復(fù)變函數(shù)來(lái)解決的。比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)

4、和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn)。復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響。從柯西算起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它曾經(jīng)推動(dòng)過(guò)一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專(zhuān)業(yè)的必修課程?，F(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)論中仍然有

5、不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。根據(jù)格林（）定理有，，因此Green0Cudxvdy???0Cvdxudy???()0Cfzdz??1900年，古莎（）在去掉在內(nèi)連續(xù)的條件下證明了柯西積分定理，由于其Goursat()fz?D證明較長(zhǎng)，故略去不證Mera定理即柯西積分定理的逆定理如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對(duì)于D內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C，我們有。那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。他刻畫(huà)了解析函數(shù)的又一種定義.

6、()0Cfzdz??有關(guān)柯西積分公式：有關(guān)柯西積分公式：柯西積分公式：設(shè)區(qū)域D的邊界是周線(xiàn)（復(fù)周線(xiàn)）C，函數(shù)在D內(nèi)解析，在??fz內(nèi)連續(xù)，則。DDC????????12CffzdzDiz????????柯西積分公式是證明一系列解析函數(shù)重要性質(zhì)的工具，首先是證明了圓盤(pán)上的解析函數(shù)一定可展為冪級(jí)數(shù)，從而證明了A.L.柯西與K.魏爾斯特拉斯關(guān)于解析函數(shù)兩個(gè)定義的等價(jià)性，其次證明了解析函數(shù)是無(wú)限次可微的，從而其實(shí)部與虛部也是無(wú)限次可微的調(diào)和函數(shù)

7、?？挛鞣e分定理已推廣到沿同倫曲線(xiàn)或沿同調(diào)鏈積分的形式?？挛鞣e分公式在多復(fù)變函數(shù)中也有許多不同形式.有關(guān)留數(shù)定理：有關(guān)留數(shù)定理：留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算比起線(xiàn)積分計(jì)算方便。計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線(xiàn)的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線(xiàn)內(nèi)部孤立奇點(diǎn)上求留數(shù)的計(jì)算，當(dāng)奇點(diǎn)是極點(diǎn)的時(shí)候，計(jì)算更加簡(jiǎn)潔。在復(fù)分析中，留數(shù)定理是用

8、來(lái)計(jì)算解析函數(shù)沿著閉曲線(xiàn)的路徑積分的一個(gè)有力的工具，也可以用來(lái)計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣?？挛髁魯?shù)定理：在周線(xiàn)（復(fù)周線(xiàn)）C所圍區(qū)域D內(nèi)除a1，a2，……，an外解析，在閉域??fz上除a1，a2，……，an外連續(xù)，則??Cfzdz?=??12Reknzakisfz????DDC??參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社2004[2]崔冬玲.復(fù)積分的計(jì)算方法.淮南師范學(xué)院學(xué)