定理2.5（極差的分布）

1、第一章 統(tǒng)計推斷準備,0.預(yù)備知識0.1 大數(shù)定律與中心極限定理闡明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱大數(shù)定律，而研究獨立隨機變量的和的極限分布在什么條件下為正態(tài)分布的一類定理叫中心極限定理。0.1.1車貝雪夫不等式設(shè)隨機變量 有期望 和方差 ，則對任意 ，有,,,,0.1.2大數(shù)定律定義：若 隨機變量序列，如果存在常數(shù)列 使得對任意的

2、有 成立，則稱隨機變量序列 服從大數(shù)定律.定理1（貝努里大數(shù)定律）設(shè) 是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1），則對任意的 ，有：,,,,,,定理2（車貝雪夫大數(shù)定律）設(shè) 是一列兩兩不相關(guān)的隨機變量，又設(shè)他們的方差有界，既存在常數(shù)C>0，使有 則對任意的

3、 ，有例1.： 設(shè) 為獨立同分布的隨機變量序列，均服從參數(shù)為 的泊松分布 則定理3（辛欽大數(shù)定律）設(shè) 是一列獨立同分布的隨機變量，且數(shù)學(xué)期望存在，則對任意的 有,,,,0.1.3.中心極限定理定理1（林德貝格-勒維定理）若 是獨立同分布的隨機變量序列，且

4、 則隨機變量 ，其中 的分布函數(shù) 對一切x，有：即隨機變量 漸近地服從標準正態(tài)分布。定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）設(shè) 是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而0<p<1是事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，則 漸近的服從正態(tài)分布 ，其中q=1-p或,,例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)

5、從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3米的概率是多少？ 例3：某車間有200臺車床，獨立工作，開工率為0.6，開工時耗電各為1000瓦，問供電部門至少要供給這個車間多少電力才能使99.9%的概率保證這個車間不會因為供電不足而影響生產(chǎn)。例4：一加法器，同時收到20個噪聲電壓 設(shè)他們是相互獨立的，且在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布的隨機變量，記

6、 ，求,,,,,,,§1基本概念1.1總體與樣本,總體：研究對象的全體，記為X或 ，是指一個隨機變量。個體：組成總體的每個單元。樣本：就是n個相互獨立且與總體有相同概率分布的隨機變量 ，i=1，2，…，n，所組成的n維隨機變量樣本值：每一次具體的抽樣所得的數(shù)據(jù)就是n個隨機變量的值（樣本值）用小寫字母 表示。注：樣本具有雙重性，即它本身是隨機變量，但一經(jīng)抽取便

7、是一組確定的具體值。定義：若隨機變量 相互獨立且每個 ，i=1，2，…，n，與總體 有相同的概率分布，則稱隨機變量 為來自總體 的容量為n的簡單隨機樣本，稱 ，i=1，2，…，n為樣本的第i個分量。若 有分布密度 （或分布函數(shù) ）則 稱 是來自總體 （或

8、 ）的樣本.,,,,,,,,,,,,,,,,,1.2統(tǒng)計量定義：設(shè) 為總體 的一個樣本， 為一個實值函數(shù)，如果T中 不包含任何未知參數(shù)，則稱 為一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。例如：總體 ，a已知， 未知， 為 的一個樣本，則

9、是統(tǒng)計量，但 不是統(tǒng)計量。 1.3順序統(tǒng)計量及經(jīng)驗分布 1.3.1順序統(tǒng)計量 設(shè) 為總體， 的一個樣本，將其諸分量 ，i=1，2，…，n，按由小到大的次序重新排列為 ，即 ，稱 為總體的第k個順序統(tǒng)計量（次序統(tǒng)計量），特別 稱為最小項統(tǒng)計量，

10、為最大項統(tǒng)計量。,,例1.5：設(shè)有一個總體，它以等概率取0，1，2三個值，現(xiàn)從此總體中取容量為2的一個樣本 ， 列出樣本 所有可能取值情況和相應(yīng)的次序統(tǒng)計量 的情況。,,,1.3.2經(jīng)驗分布由給定的樣本 定義一個函數(shù)，此函數(shù)的性質(zhì)：（1）當樣本固定時，作為x的函數(shù)是一個階梯形的分布函數(shù)， 恰為樣本分量不大于x的

11、頻率。（2）當x固定時，它是一個統(tǒng)計量，其分布由總體的分布所確定。 即 （二項分布） 稱 為總體對應(yīng)于樣本 的經(jīng)驗分布函數(shù)。,,1.4常用的一些統(tǒng)計量1.4.1樣本的分位數(shù) 設(shè) ~ 為總體，

12、為樣本， 為順序統(tǒng)計量，定義 稱 為樣本的 分位數(shù)。當 =1/2時，稱 為樣本的中位數(shù)。（也用 表示） 例1.6：若 （1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9）， 則 ？ 1.4.2.樣本的極差

13、 稱為樣本的極差,,1.4.3樣本分量的秩若 ，則稱 的秩為j，記作 ，它表示樣本第 個分量 ，處于順序統(tǒng)計量中的位次。 1.4.4.樣本矩設(shè) 為總體 取出的容量為n的樣本，統(tǒng)計量 叫樣本均值；統(tǒng)計量

14、 叫樣本方差（而稱 叫修正的樣本方差）；統(tǒng)計量 ，（r =1，2，…）叫樣本的r階原點矩；統(tǒng)計量 ，（r =1，2，…）叫作樣本的r階中心矩。,,1.4.5二元總體的樣本矩設(shè) 為二元隨機變量， ， ，…，

15、 為其樣本，稱 為 的邊際樣本方差； 為 的邊際樣本方差； 為樣本的協(xié)方差；

16、 為樣本的相關(guān)系數(shù)。,,§2.常用統(tǒng)計量的抽樣分布2.1順序統(tǒng)計量的分布（次序統(tǒng)計量）2.1.1定義 設(shè)（ ）是來自總體 的一個樣本，（ ）是該樣本的一組觀察值，將它按由小到大的次序排列成 ，如果規(guī)定 的取值為 ， k=1，2，…，n，則稱 為（

17、 ）的一組次序統(tǒng)計量，而稱 為第k個次序統(tǒng)計量。（見 1.3.1） 2.1.2連續(xù)型總體次序統(tǒng)計量的分布（僅給出結(jié)論）定理2.1設(shè)總體 ， ， 為 的一個樣本，則第k個次序統(tǒng)計量 的概率密度函數(shù)為： 分布函數(shù)為：,,,特別： 當k=1時，得樣本極小值 的分布密度與分布函數(shù)為：

18、 當k=n時，得樣本極大值 的分布密度與分布函數(shù)為：,,,定理2.2 設(shè)總體X的分布函數(shù)為 ，概率密度函數(shù)為 ， 為X的一個樣本，則第k個次序統(tǒng)計量與 第r個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為（k<r）定理2.3設(shè)總體X的分布函數(shù)為 ，概率密度函數(shù)為 ， 為X的

19、一個樣本，則S個次序統(tǒng)計量 的聯(lián)合概率密度為,,,,定理2.4（定理2.3的特殊情形）設(shè)總體X的分布函數(shù)為 ， 概率密度函數(shù)為 ， 為X的一個樣本， 則前r個次序統(tǒng)計量 的聯(lián)合概率密度函數(shù) 為（ ） 特別

20、：當r=n時，得n個次序統(tǒng)計量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 注：n個次序統(tǒng)計量不是相互獨立的， 即次序化破壞了簡單隨機樣本的獨立性。,,定理2.5（極差的分布）令 ，則 的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：,,例2.1：設(shè)總體 有分布密度為 ， 為從

21、 取出的容量為4的樣本的順序統(tǒng)計量，求 的分布函數(shù) ， 例2.2：設(shè)總體X服從區(qū)間（0，1）上的均勻分布，其分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分別為： 為X的一個樣本，求第k個次序統(tǒng)計量的概率密度函數(shù) 。,,,例2.3：設(shè)總體X服從參數(shù) 為的指數(shù)分布，其分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分別為： 為X的一個樣本，求

22、 的密度函數(shù)， 的密度函數(shù)， 極差 = - 的密度函數(shù)， 的聯(lián)合密度 函數(shù) 。 例2.4：設(shè)總體X服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為 是容量為n的樣本 的前r個次序統(tǒng)計量，則

23、 都服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，且 相互獨立 。 例2.5：在上述條件下，則,,,,,,,,,§3 n個重要統(tǒng)計量的分布 3.1正交矩陣與正態(tài)分布定理3.1設(shè) 相互獨立，且都服從 ，而A= 是n階正交矩陣， ，則

24、 必相互獨立，且都服從 定理3.2設(shè) 相互獨立，且 ，A= 是n階正交矩陣， ，則 必相互獨立，且,,,3.2 三個重要分布 3.2.1

25、 分布定義：稱隨機變量 有 分布，自由度為n，如果他有密度定理3.3設(shè) 相互獨立，且都服從 ，則 定義： 的上側(cè) 分位數(shù) ，即,,的性質(zhì)： (1) (2)若 ， 且X與Y獨立， 則X+Y~注：1

26、.如果 相互獨立且 ，則 的上側(cè) 分位數(shù) ，即設(shè)X~ ，則對 有即：當n很大時， ，或X,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4.當n>45時，本書附表 中查不到，但可以利用注3求其近似值，即 由于 ~

27、 , 則： 例如：求 ， ， 所以,,3.2.2 t-分布定義：稱隨機變量 有t-分布，自由度為n，如果它有密度函數(shù)定理3.4 設(shè)X~ ，Y~ ，且X與Y相互獨立， 則T= .定義： 的上側(cè) 分

28、位數(shù) ，即 注：當自由度 時， 的極限分布為標準正態(tài)分布 當n>45時，,,,3.2.3 F-分布定義：稱隨機變量 有F-分布，自由度為 ，如果它有密度定理3.5 設(shè)X~ ，Y~ 且X與Y相互獨立，則注：若X~ ，則1/X~定義： 的上側(cè) 分位

29、數(shù) ，即 ，注： =1/,,,3.2.4 查表1.標準正態(tài)分布表：2. 分布表：3. 分布表：4. 分布表：,,,3.3抽樣分布定理定理4.6（Fisher定理）設(shè)總體 服從 ，為其子樣，子樣的平均值與方差，修正的樣本方差分別記為

30、 與 及 ，則（1） ~ ， （2） （3） 與 （或 ）獨立推論：設(shè)總體 服從

31、 ， 為其子樣，則,,定理3.7 設(shè) 與 分別為取自 ， 的兩個樣本，且這兩個樣本獨立，則1. 2. 若 ，則其中，,,定理3.8 （柯赫倫cochran定理）（ 變量分解定理）設(shè)總體

32、 ~ ， 為其子樣， 且 為秩為 的關(guān)于 的二次型， 則 ，l=1，…，k相互獨立，且 ~ ，l=1，2，…，k例3.1：設(shè)總體 ~ ， 為其

33、子樣，試證： 與 相互獨立,且分別服從 ，,,§4.總體分布的近似描述 4.1格列汶科定理 對任意實數(shù)x，當 時，

34、 格里汶科定理表明：在幾乎處處的意義下，當n 充分大時，對x一致地有 F（x）非常接近。由此可見當n較大時，用經(jīng)驗分布函數(shù)估計總體分布函數(shù)是合理有效的。,,4.2 直方圖 對于連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)或密度函數(shù)能完整地描述它的取值規(guī)律性，給出分布函數(shù)或密度函數(shù)是等價的。 直方圖能反映總體密度曲線的大致形狀。,,設(shè)X的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別用F(X),f(x)表示：當

35、 很小時，有 表明：密度函數(shù)在x處的值f(x)近似等于隨機變量X落入含有x的小區(qū)間的概率除以小區(qū)間的長度。 概率可以用頻率近似。,,設(shè)來自X的樣本觀測值為 ， 考察其中每個值是否屬于 看作一次試驗，則 即f(x)與單位長度的頻率近似相等，稱單位長度的頻率為頻率密度。,,編制頻數(shù)分布表的一般步驟：1.計算極差：2.計算組距：組距

36、=組上限-組下限3.確定組限：選a（略小于或等于 ，,,例4.1 某廠生產(chǎn)一種25瓦的白熾燈泡，其光通量（單位：流明）用X表示，從這批燈泡中抽取容量為60的樣本，進行觀察得光通量數(shù)據(jù)如下： 216 203 197 208 206 209 206 208 202 221 206 213 218 207 203 202 194 203 202 193 203 213 211 198 213 208 204 206

37、204 206 208 209 213 203 206 207 196 201 208 207 213 208 210 208 211 214 220 211 203 216 224 211 209 218 214 219 211 221 211 218試編制頻數(shù)分布表，并繪制頻率密度直方圖。,,解. 1.極差：R=224-193=31 2.計算組距：d=31/7=4.43 3.確定組范圍：

38、 [190，195), [195，200), [200，205), [205，210), [210，215), [215，220), [220，225].,按光通量分組頻數(shù)分布表,,頻率密度直方圖 (P.18) 圖1.6頻率密度分布曲線圖 (P.19) 圖1.7,,§5.雜例例5.1：在總體 中隨機抽一容量為36的樣本，求樣本均值 落在50.8到53.8

39、之間的概率。 例5.2：在總體 中取容量為5的樣本 ，（1）求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1 的概率（2）求（3）求例5.3：求總體 的容量分別為10，15的兩個獨立樣本均值差的絕對值大于0.3的概率。,,例5.4：設(shè) 為 的一個樣本，求例5.5：設(shè)是來自的樣本

40、，求 例5.6：已知 ，則 例5.7：設(shè)為總體X的一個樣本，求，例5.8：設(shè)在總體中抽取一容量為n的樣本， 未知，（1）求， ； （2）當n=16時，求,,例5.9：設(shè)為總體X的一個樣本，， ， 為第n+1次的觀察結(jié)果，試證： （1）例5.10：設(shè)是來自正態(tài)總體X的簡

41、單隨機樣本，則例5.11：設(shè)是取自正態(tài)總體X~ 的一個樣本，求,,例5.12.：設(shè)X服從，為來自總體X的簡單隨機樣本， 試求常數(shù)C，使CY~ 分布 例5.13：設(shè)總體X在（）（ ）上服從均勻分布，為其子樣，求及極差的數(shù)學(xué)期望 。 例 5.14：設(shè)總體服從 和 分別為樣本均值和樣本方差，又設(shè) 且與