§9－1rlc串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

1、第九章 二階電路分析,由二階微分方程描述的電路稱為二階電路。分析二階電路的方法仍然是建立二階微分方程，并利用初始條件求解得到電路的響應(yīng)。本章主要討論含兩個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線性二階電路，重點(diǎn)是討論電路的零輸入響應(yīng)。最后介紹如何利用計(jì)算機(jī)程序分析高階動(dòng)態(tài)電路。,§9－1 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng),一、RLC串聯(lián)電路的微分方程,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,為了得到圖9－1所示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程,根據(jù)前述

2、方程得到以下微分方程,這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。,其特征方程為,其特征根為,零輸入響應(yīng)方程為,電路微分方程的特征根，稱為電路的固有頻率。當(dāng)R，L，C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況,1. 時(shí)， 為不相等的實(shí)根。過(guò)阻尼情況。,2. 時(shí)， 為兩個(gè)相等的實(shí)根。臨界阻尼情況。,3.

3、 時(shí)， 為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼情況。,二、過(guò)阻尼情況,當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)，齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uc(0) 確定。,對(duì)式(9－5)求導(dǎo)，再令t=0得到,求解以上兩個(gè)方程，可以得到,由此得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。,例9-1 電路如圖9-1所示，

4、已知R=3?,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求電容電壓和電感電流的零輸 入響應(yīng)。,解：將R，L，C的量值代入式（9－4）計(jì)算出固有頻率,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,將固有頻率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到,利用電容電壓的初始值uC(0)=2V和電感電流的初始值iL(0)=1A得到以下兩個(gè)方程：,K1=6K2=-4,,最后得到電容

5、電壓的零輸入響應(yīng)為,利用KCL和電容的VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng),從圖示電容電壓和電感電流的波形曲線，可以看出電路各元件的能量交換過(guò)程。,電容電壓的零輸入響應(yīng)波形,DNAP程序可以畫(huà)出響應(yīng)的波形。,電感電流的零輸入響應(yīng)波形,三、臨界情況,當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1, s2為兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)s1=s2=s 。齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中的兩個(gè)常數(shù)K1，K2由初始條件iL(0)和uC(0) 確定

6、。令式(9-5)中的t=0得到,聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，可以得到,將 K1, K2的計(jì)算結(jié)果，代入式（9－8）得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。,對(duì)式(9－5)求導(dǎo)，再令得到,例9-2 電路如圖9-1所示。已知已知R=1 ?，L=0.25 H， C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求電容電壓和電感電 流的零輸入響應(yīng)。,解：將R

7、，L，C的量值代入式(9-4)計(jì)算出固有頻率的數(shù)值,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,利用電容電壓的初始值uC(0)=-1V和電感電流的初始值iL(0)=0得到以下兩個(gè)方程,將兩個(gè)相等的固有頻率s1=s2=-2 代入式（9－8）得到,得到電感電流的零輸入響應(yīng),求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng),根據(jù)以上兩個(gè)表達(dá)式用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的波形曲線，如圖9－3所示。,(a) 電容電壓的波形

8、 (b) 電感電流的波形圖9－3 臨界阻尼情況,電容電壓的零輸入響應(yīng)波形,電感電流的零輸入響應(yīng)波形,四、欠阻尼情況,當(dāng) 時(shí)，電路的固有頻率s1，s2為為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，它們可以表示為,其中,齊次微分方程的解答具有下面的形式,式中,由初始條件iL(0)和uC(0)確定常數(shù)K1，K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。,例9-3 電路如圖9-1所示

9、。已知R=6?, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的 零輸入響應(yīng)。,解：將R，L，C的量值代入式(9-4)計(jì)算出固有頻率的數(shù)值,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A得到以下兩個(gè)方程,求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng):

10、,將兩個(gè)不相等的固有頻率 s1=-3+j4 和 s2=-3-j4 代入式（9－11）得到,用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的波形曲線，如圖9－4(a)和(b)所示,(a) 衰減系數(shù)為3的電容電壓的波形 (b) 衰減系數(shù)為3的電感電流的波形(c) 衰減系數(shù)為0.5的電容電壓的波形 (d) 衰減系數(shù)為0.5的電感電流的波形 圖9－4 欠阻尼情況,從式(9-11)和圖9-4波形曲線可以看出，欠阻尼情況的特

11、點(diǎn)是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時(shí)間消耗能量越少，曲線衰減越慢。 當(dāng)例9－3中電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時(shí)，用計(jì)算機(jī)程序DNAP得到的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖9－4(c)和(d)所示，由此可以看出曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時(shí)，電容電壓和電感電流將形成無(wú)衰減的等幅振蕩。,電容電壓的零輸入響應(yīng)波形,u3 (t) =ε( t)*[( 5.00

12、 )* exp ( -3.00 t)]cos( 4.00 t -53.13 ),i2 (t) =ε( t)*[( 1.00 )* exp ( -3.00 t)]cos( 4.00 t +73.74 ),電感電流的零輸入響應(yīng)波形,u3 (t) =ε(t)*[( 3.45 )* exp ( -.500 t)]cos( 4.97 t -29.66 ),電容電壓的零輸入響應(yīng)波形,i2

13、(t) =ε( t)*[( .690 )* exp ( -.500 t)]cos( 4.97 t +66.08 ),電感電流的零輸入響應(yīng)波形,例9-4 電路如圖9-1所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零 輸入響應(yīng)。,解：將R，L，C的量值代入式（9－4）計(jì)算出固有頻率的

14、 數(shù)值,圖9－1 RLC串聯(lián)二階電路,將兩個(gè)不相等的固有頻率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）得到,利用電容電壓的初始值uC(0)=3V和電感電流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下兩個(gè)方程,求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=3和K2=1.4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng):,用計(jì)算機(jī)程序DNAP畫(huà)出的電容電壓和電感電流的波形曲線，如圖9－5所示。,圖9－5 無(wú)阻尼情況,u3 (t) =ε(t)*[( 3.31

15、 )* exp ( .000 t)]cos( 5.00 t -25.02 ),電阻為零，響應(yīng)不再衰減，形成等幅振蕩。,i2 (t) =ε(t)*[( .662 )* exp ( .000 t)]cos( 5.00 t +64.98 ),電阻為零，響應(yīng)不再衰減，形成等幅振蕩。,從電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形曲線可見(jiàn)，由于電路中沒(méi)有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會(huì)減少，形成等振幅振蕩。電

16、容電壓和電感電流的相位差為90?，當(dāng)電容電壓為零，電場(chǎng)儲(chǔ)能為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于磁場(chǎng)中；而當(dāng)電感電流為零，磁場(chǎng)儲(chǔ)能為零時(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于電場(chǎng)中。 從以上分析計(jì)算的結(jié)果可以看出，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)的形式與其固有頻率密切相關(guān)，我們將響應(yīng)的幾種情況畫(huà)在圖9－6上。,圖9-6,由圖9－6可見(jiàn)： 1. 在過(guò)阻尼情況，s1和s2是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上

17、負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 2.在臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。 3.在欠阻尼情況，s1和s2是共軛復(fù)數(shù)，固有頻率出現(xiàn)在s平面上的左半平面上，響應(yīng)是振幅隨時(shí)間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù) ? 越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率?d 越大，振蕩周期越小，振蕩越快。,圖中按Ke-?t畫(huà)出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化