隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率分配

1、第 5 章,離散機(jī)率分配,統(tǒng)計(jì)實(shí)例,花旗銀行是花旗集團(tuán)的一員，提供多樣化的金融服務(wù)。花旗銀行在花旗卡片銀行中心內(nèi)設(shè)置了許多最先進(jìn)的自動(dòng)櫃員機(jī)(ATMs)，每週7天，每天24小時(shí)為客戶提供服務(wù)?；ㄆ煦y行的ATM不只是提款機(jī)，有80% 左右的交易都是在ATM完成的。因此，花旗銀行定期進(jìn)行服務(wù)產(chǎn)能調(diào)查，以分析顧客等候時(shí)間以及增設(shè)自動(dòng)櫃員機(jī)的必要性。由花旗銀行蒐集的資料顯示顧客到達(dá)的時(shí)間是一個(gè)卜瓦松分配，利用卜瓦松分配，花旗銀行

2、可以計(jì)算任何時(shí)間到達(dá)卡片銀行中心的顧客人數(shù)的機(jī)率，以決定最適的自動(dòng)櫃員機(jī)數(shù)目。,離散機(jī)率分配,5.1 隨機(jī)變數(shù),5.2 離散機(jī)率分配,5.3 期望值與變異數(shù),5.4 二項(xiàng)機(jī)率分配,5.5 卜瓦松機(jī)率分配,5.6 超幾何機(jī)率分配,,,,,,,隨機(jī)變數(shù)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果的數(shù)值描述。,,,隨機(jī)變數(shù)的可能數(shù)值若是有限個(gè)數(shù)值或一個(gè)無(wú)限的數(shù)列，如0, 1, 2, ...，則稱為離散隨機(jī)變數(shù)(discrete

3、 random variable)。,可指派成一區(qū)間或數(shù)個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值到一隨機(jī)變數(shù)，此隨機(jī)變數(shù)稱為連續(xù)隨機(jī)變數(shù)(continuous random variable)。,,,5.1 隨機(jī)變數(shù),離散隨機(jī)變數(shù)實(shí)例,例如將會(huì)計(jì)師資格考試視為一個(gè)實(shí)驗(yàn)，該考試分為四個(gè)項(xiàng)目。令離散隨機(jī)變數(shù) x＝已通過(guò)的會(huì)計(jì)師資格考試項(xiàng)目的數(shù)目，則此隨機(jī)變數(shù)的可能數(shù)值為0, 1, 2, 3, 4。將汽車到達(dá)收費(fèi)站視為一個(gè)實(shí)驗(yàn)，令隨機(jī)變數(shù)x＝一天內(nèi)

4、到達(dá)收費(fèi)站的車輛數(shù)，則x的可能值為0, 1, 2, ...，因此x為一離散隨機(jī)變數(shù)，它可能是無(wú)窮數(shù)列中的任一個(gè)值。,連續(xù)隨機(jī)變數(shù)實(shí)例,某保險(xiǎn)公司正在觀察保戶的來(lái)電情況，令x＝ 兩通來(lái)電的時(shí)間間隔，則此一隨機(jī)變數(shù)的範(fàn)圍為x > 0。事實(shí)上，x的可能值有無(wú)限多個(gè)，如1.26分、2.751分、4.3333分等。長(zhǎng)達(dá)90哩的某段公路，緊急救護(hù)站位於公路一端，我們定義一隨機(jī)變數(shù)x＝ 公路上發(fā)生意外事件的位置，則 x 為一連續(xù)隨機(jī)變數(shù)，其值

5、的範(fàn)圍為0 < x < 90。,,評(píng)註,決定隨機(jī)變數(shù)為離散或連續(xù)隨機(jī)變數(shù)的一種方法是以一線段代表隨機(jī)變數(shù)的可能範(fàn)圍，將隨機(jī)變數(shù)的可能值視為線段上的點(diǎn)，在線上選擇兩個(gè)表示隨機(jī)變數(shù)值的點(diǎn)，如果兩點(diǎn)間的所有點(diǎn)都是隨機(jī)變數(shù)的可能值，則該隨機(jī)變數(shù)為連續(xù)變數(shù)。,隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率分配(probability distribution)描述不同隨機(jī)變數(shù)值的機(jī)率分配狀況。,離散隨機(jī)變數(shù) x 的機(jī)率分配是由機(jī)率函數(shù)(probability f

6、unction)來(lái)定義的。,,,5.2 離散機(jī)率分配,機(jī)率函數(shù)記作 f(x)，機(jī)率函數(shù)讓我們知道各隨機(jī)變數(shù)值的出現(xiàn)機(jī)率。,離散機(jī)率函數(shù)的必要條件 :,,,f(x) > 0,?f(x) = 1,離散機(jī)率分配,離散機(jī)率分配實(shí)例,DiCarlo汽車銷售公司根據(jù)過(guò)去300天的銷售狀況得知，有54天沒(méi)有賣出任何汽車，有117天賣出1輛汽車，有72天賣出2輛，有42天賣出3輛，有12天賣出4輛，有3天賣出5輛。表5.3所示該汽車銷售公司

7、每天銷售汽車數(shù)的機(jī)率分配。,離散機(jī)率分配實(shí)例,機(jī)率函數(shù)也可以用圖形的方式來(lái)表達(dá)。圖5.1中隨機(jī)變數(shù)x的值列於橫軸，相對(duì)應(yīng)的機(jī)率值列於縱軸。,,除了表和圖之外，離散隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率函數(shù) f(x)常用公式來(lái)表達(dá)。最簡(jiǎn)單的例子是離散型均勻機(jī)率分配(discrete uniform probability distribution)。,散型均勻機(jī)率分配,,,f(x) = 1/n,其中:n =隨機(jī)變數(shù)的可能值個(gè)數(shù),離散型均勻機(jī)率分配,,離散

8、型均勻機(jī)率分配實(shí)例,以丟擲骰子的實(shí)驗(yàn)為例，定義隨機(jī)變數(shù)x為丟擲一骰子之後出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。因此，n＝6代表可能出現(xiàn)6種隨機(jī)變數(shù)值，x ＝1, 2, 3, 4, 5, 6，可定義此隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率函數(shù)為：f(x)＝1 / 6　　　x＝1, 2, 3, 4, 5, 6以下為隨機(jī)變數(shù)x的可能值及其對(duì)應(yīng)的機(jī)率。,x f (x)1 1/62 1/63

9、 1/64 1/65 1/66 1/6,,,離散型均勻機(jī)率分配實(shí)例,另一個(gè)例子，假設(shè)隨機(jī)變數(shù)x及其離散機(jī)率分配如下表所示。 上表的機(jī)率分配亦可由如下的公式來(lái)定義。,x f (x)1 1/102 2/10

10、3 3/104 4/10,,5.3 期望值與變異數(shù),隨機(jī)變數(shù)的期望值(expected value)或平均數(shù)來(lái)衡量隨機(jī)變數(shù)的中央位置(central location),變異數(shù)(variance)表示一組資料的分散程度,,標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)定義為變異數(shù)的正平方根，記作 ?。,,,期望值與變異數(shù)實(shí)例,以5.2節(jié)DiCarlo汽車銷售公司為例

11、，我們來(lái)看看汽車銷售數(shù)量的期望值是如何計(jì)算出來(lái)的。,期望值與變異數(shù)實(shí)例,表5.5中 xf(x)欄的加總是1.5輛。因此可知，雖然每個(gè)營(yíng)業(yè)日的汽車銷售量可能是0, 1, 2, 3, 4或5輛，但長(zhǎng)期而言，汽車公司可以預(yù)期每天平均銷售1.5輛車。假設(shè)該公司每月營(yíng)業(yè)30天，則可預(yù)期每月平均銷售量為 30 (1.50)＝45輛。表5.6是DiCarlo汽車公司日銷售量之機(jī)率分配的變異數(shù)計(jì)算過(guò)程。由該表可知其變異數(shù)為1.25。,期望值與變異數(shù)實(shí)

12、例,5.4 二項(xiàng)機(jī)率分配,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)(binomial experiment)具有以下四個(gè)特性。,3.成功的機(jī)率為p，失敗的機(jī)率為1－p。每一試驗(yàn)的成功和失敗機(jī)率皆維持不變。,4.每一試驗(yàn)皆獨(dú)立。,2.每一試驗(yàn)有兩種可能的結(jié)果，我們常以成功(success)和失敗(failure) 稱之。,1.由 n 個(gè)相同的試驗(yàn)(trials)?所構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)。,,,,,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)實(shí)例,圖5.2表示一個(gè)包含8個(gè)試驗(yàn)的二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果之一。此圖顯示的

13、是成功5次、失敗3次的情形。,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)實(shí)例,在二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，我們有興趣的是n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)。令x代表成功的次數(shù)，x的可能值為0, 1, 2, 3, ... , n。由於x的可能值為有限個(gè)，因此x為一離散隨機(jī)變數(shù)。此隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率分配稱為二項(xiàng)機(jī)率分配(binomial probability distribution)。,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)實(shí)例,例如擲一枚硬幣5次，觀察總共出現(xiàn)幾次正面此實(shí)驗(yàn)包含5個(gè)相同的試驗(yàn)，每一試驗(yàn)為擲一枚硬幣。每一試驗(yàn)有

14、兩個(gè)可能的結(jié)果：正面或反面。我們可以定義正面表示成功，反面表示失敗。對(duì)每個(gè)試驗(yàn)而言，出現(xiàn)正面的機(jī)率是0.5，出現(xiàn)反面的機(jī)率也是0.5。每一試驗(yàn)皆彼此獨(dú)立，因?yàn)槊恳辉囼?yàn)彼此互不影響。因此，滿足二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的特性。而我們有興趣的隨機(jī)變數(shù)x是5次試驗(yàn)中正面出現(xiàn)的次數(shù)，在本例中x的可能值為0, 1, 2, 3, 4, 5。,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)實(shí)例,有一保險(xiǎn)業(yè)務(wù)員隨機(jī)拜訪10個(gè)家庭，若該家庭購(gòu)買保險(xiǎn)，則視為成功事件，不購(gòu)買保險(xiǎn)則視為失敗。依據(jù)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)顯

15、示，家庭會(huì)購(gòu)買保險(xiǎn)的機(jī)率是0.1，現(xiàn)在看看這是否為二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。我們觀察到：這個(gè)實(shí)驗(yàn)含10個(gè)相同的試驗(yàn)，每拜訪一個(gè)家庭視為一試驗(yàn)。每一試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果：購(gòu)買保險(xiǎn)或不購(gòu)買(購(gòu)買保險(xiǎn)為成功，不購(gòu)買保險(xiǎn)為失敗)。對(duì)每一家庭而言，購(gòu)買的機(jī)率可假設(shè)相同，不購(gòu)買的機(jī)率亦然。購(gòu)買的機(jī)率為0.1，而不購(gòu)買的機(jī)率為0.9。每一試驗(yàn)彼此隨機(jī)獨(dú)立，因?yàn)楸话菰L的家庭是隨機(jī)選取的。,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)實(shí)例,由於符合二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的特性，故此例是二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。隨機(jī)變數(shù)x為10

16、個(gè)受訪家庭中購(gòu)買保險(xiǎn)的家庭數(shù)，所以x的可能值為0, 1, 2, 3, ... , 10。二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的第3個(gè)特性又稱為穩(wěn)定性假設(shè)(stationarity assumption)，很容易與第4個(gè)特性(試驗(yàn)的獨(dú)立性)相混淆。我們特別說(shuō)明如下：以前述的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)員為例，若業(yè)務(wù)員工作了一整天，由於身心相當(dāng)疲憊，因此拜訪最後一個(gè)家庭時(shí)，該家庭購(gòu)買保險(xiǎn)的機(jī)率降為0.05。此時(shí)第3個(gè)特性(穩(wěn)定性)將不成立，因此這不是一個(gè)二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，但此實(shí)驗(yàn)仍符合第4個(gè)特

17、性，因?yàn)閷?duì)每一家庭而言，買不買保險(xiǎn)是獨(dú)立的。,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)實(shí)例,在應(yīng)用二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，有一數(shù)學(xué)公式，稱為二項(xiàng)機(jī)率函數(shù)(binomial probability function)。該函數(shù)可用來(lái)計(jì)算n次試驗(yàn)中成功次數(shù)x的機(jī)率，利用第4章的機(jī)率觀念，我們將以一範(fàn)例來(lái)說(shuō)明此公式的意義。,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)實(shí)例,假設(shè)有3位顧客走進(jìn)馬丁服飾店，根據(jù)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，店長(zhǎng)估計(jì)每位顧客購(gòu)買服飾的機(jī)率是0.3。那麼請(qǐng)問(wèn)3人中有2人會(huì)購(gòu)買的機(jī)率是多少？利用樹狀圖(見(jiàn)圖5.3)

18、，此實(shí)驗(yàn)因每一顧客的決策為買與不買，所以實(shí)驗(yàn)結(jié)果有8個(gè)。令S表成功(購(gòu)買)，F(xiàn)表失敗(不購(gòu)買)，而我們有興趣的是3人中有2人購(gòu)買的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。接下來(lái)檢驗(yàn)此實(shí)驗(yàn)是否為二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，看看二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的4個(gè)要求條件是否皆滿足。,,二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)實(shí)例,此實(shí)驗(yàn)有3個(gè)相同的試驗(yàn)，每一試驗(yàn)為顧客進(jìn)入馬丁服飾店。每一試驗(yàn)有2個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：購(gòu)買或不購(gòu)買(成功或失敗)。每一顧客購(gòu)買或不購(gòu)買的機(jī)率(0.3及0.7)假設(shè)皆相同。顧客間買與不買的決策是獨(dú)立的。因此，符合二

19、項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的定義。,二項(xiàng)分配,我們有興趣的是在n次試驗(yàn)中所發(fā)生成功的次數(shù),令 n 次試驗(yàn)中有 x 次成功的實(shí)驗(yàn)結(jié)果次數(shù),,,其中: f(x) = n次試驗(yàn)中x次成功的機(jī)率 n =試驗(yàn)的次數(shù) p =任何一個(gè)試驗(yàn)成功的機(jī)率 1-p =任何一個(gè)試驗(yàn)失敗的機(jī)率,,二項(xiàng)機(jī)率分配,二項(xiàng)機(jī)率函數(shù),,,,,二項(xiàng)機(jī)率函數(shù),,,n次試驗(yàn)中有x次成功的任一實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的機(jī)率,n次試驗(yàn)中恰有x次成功的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)

20、,,,,,二項(xiàng)機(jī)率分配,二項(xiàng)機(jī)率分配實(shí)例,回到馬丁服飾店的問(wèn)題，三位顧客的購(gòu)買決策的例子。式(5.6)可用來(lái)計(jì)算3人中有2人購(gòu)買的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)，也就是n＝3次試驗(yàn)中，出現(xiàn)x＝2次成功的實(shí)驗(yàn)結(jié)果共有幾種。因此根據(jù)式(5.6)可得：式(5.6)表示3人中有2人購(gòu)買的實(shí)驗(yàn)結(jié)果有3個(gè)。從圖5.3中可看出這3個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分別表示成 (S, S, F), (S, F, S) 及 (F, S, S)。,二項(xiàng)機(jī)率分配實(shí)例,利用式(5.6)可以得知

21、3人皆購(gòu)買的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)為：從圖5.3可知，只有一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是3個(gè)都成功，以(S, S, S)表示。利用式(5.6)可計(jì)算n次試驗(yàn)中，x次成功的實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)。但是如果我們想瞭解n次試驗(yàn)中x 次成功的機(jī)率時(shí)，則必須知道每一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)率。由於二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中每一個(gè)試驗(yàn)間彼此獨(dú)立，因此每一實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的機(jī)率即為該實(shí)驗(yàn)中各試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)機(jī)率的乘積。,二項(xiàng)機(jī)率分配實(shí)例,以本例而言，前2位顧客購(gòu)買而第3位顧客不購(gòu)買的機(jī)率為pp(1－p

22、)?已知每一試驗(yàn)中購(gòu)買的機(jī)率為0.30，因此前2位購(gòu)買而第3位不購(gòu)買的機(jī)率為(0.30)(0.30)(0.70)＝(0.30)2(0.70)＝0.063其他兩種2個(gè)成功1個(gè)失敗的實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的機(jī)率如下所示。,二項(xiàng)機(jī)率分配實(shí)例,由以上可知有2個(gè)顧客會(huì)購(gòu)買的共有3種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，它們出現(xiàn)的機(jī)率皆相同，皆為0.063。x為其他值時(shí)亦有此一特點(diǎn)。,二項(xiàng)機(jī)率分配實(shí)例,在馬丁服飾店的例子中，我們可以計(jì)算沒(méi)有顧客購(gòu)買、恰有1位購(gòu)買、恰有2位購(gòu)買及

23、3位都購(gòu)買的機(jī)率，計(jì)算結(jié)果彙整於表5.7，此即為購(gòu)買人數(shù)的機(jī)率分配。圖5.4為此機(jī)率分配的圖形表示法。,二項(xiàng)機(jī)率分配實(shí)例,二項(xiàng)機(jī)率分配實(shí)例,二項(xiàng)機(jī)率分配實(shí)例,二項(xiàng)機(jī)率函數(shù)可以應(yīng)用到任何的二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，只要符合二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的特性並且知道n , p及(1－p)的值就可以利用式(5.8)計(jì)算n次試驗(yàn)中成功x次的機(jī)率。如果我們將馬丁服飾店的實(shí)驗(yàn)稍做變化，如10位顧客而非3位顧客，式(5.8)的二項(xiàng)機(jī)率函數(shù)公式仍然適用。假定有一個(gè)n＝10, x＝4

24、且 p＝0.30的二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。10位來(lái)店顧客中恰有4位購(gòu)買的機(jī)率是,,二項(xiàng)機(jī)率分配的期望值與變異數(shù),,,,,期望值,變異數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差,二項(xiàng)機(jī)率分配的期望值與變異數(shù)實(shí)例,以馬丁服飾店為例，我們可以利用式(5.9)計(jì)算顧客購(gòu)買的期望人數(shù)為假設(shè)下個(gè)月馬丁服飾店的來(lái)客數(shù)為1,000人，則會(huì)購(gòu)買的人數(shù)期望值是μ＝np＝(1000)(0.3)＝300。因此，要增加購(gòu)買人數(shù)的期望值，馬丁服飾店必須設(shè)法增加來(lái)客數(shù)或增加來(lái)店顧客購(gòu)買的機(jī)率。,二項(xiàng)機(jī)率分

25、配的期望值與變異數(shù)實(shí)例,再以馬丁服飾店為例，若來(lái)客數(shù)為3人，則購(gòu)買人數(shù)的變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差為：若來(lái)客數(shù)為1,000人時(shí)，則購(gòu)買人數(shù)的變異數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為,評(píng)註,附錄B的二項(xiàng)機(jī)率表中，p值都在0.5以下，當(dāng)p值超過(guò)0.5時(shí)即無(wú)表可查。然而我們可以利用n－x個(gè)失敗取代x個(gè)成功，以失敗的機(jī)率1－p取代p值計(jì)算二項(xiàng)機(jī)率值。某些二項(xiàng)機(jī)率表是以累積機(jī)率的形式表示，使用此種表格時(shí)，必須採(cǎi)減法運(yùn)算以求出所需的機(jī)率，如f(2)＝P(x ≤ 2)－P(

26、x ≤ 1)。在本書中我們直接列出f(2)的機(jī)率值，因此，如果要計(jì)算累積機(jī)率值時(shí)，必須採(cǎi)加法方式加以處理，如P(x ≤ 2)＝f(0)＋f(1)＋f(2)。,卜瓦松機(jī)率分配常用來(lái)估計(jì)某特定區(qū)間或特定空間中，發(fā)生某特定事件的次數(shù)。,x 為一離散隨機(jī)變數(shù)，其可能值為無(wú)限數(shù)列(?x＝0, 1, 2, ...?)。,,,,5.5 卜瓦松機(jī)率分配,符合卜瓦松機(jī)率分配的隨機(jī)變數(shù),洗車場(chǎng)每小時(shí)車輛到達(dá)的次數(shù),高速公路每10哩需要維修的數(shù)目；每1

27、00哩管線破損的數(shù)目。,,,,,,卜瓦松機(jī)率分配,卜瓦松實(shí)驗(yàn)的特性,各區(qū)間發(fā)生或不發(fā)生某特定事件是彼此獨(dú)立的。,任意兩個(gè)等長(zhǎng)的區(qū)間發(fā)生特定事件的機(jī)率皆相同。,,,卜瓦松機(jī)率分配,卜瓦松機(jī)率分配,卜瓦松機(jī)率函數(shù),,其中:f(x) = 一區(qū)間中發(fā)生x次的機(jī)率 ? = 一區(qū)間中發(fā)生次數(shù)的期望值或平均數(shù) e = 2.71828.,,卜瓦松機(jī)率分配實(shí)例,假設(shè)我們有興趣的是銀行在正常上班時(shí)間中，每15分鐘駛?cè)肫嚈檰T窗口的車輛

28、數(shù)。假設(shè)在任何相同的時(shí)間區(qū)間中，車輛到達(dá)的機(jī)率皆相同且車輛到達(dá)與否為獨(dú)立事件。在這種情況下便可以應(yīng)用卜瓦松機(jī)率分配。若根據(jù)歷史資料發(fā)現(xiàn)，15分鐘內(nèi)車輛的平均到達(dá)數(shù)為10輛，則可應(yīng)用下列機(jī)率函數(shù)。隨機(jī)變數(shù)x是15分鐘內(nèi)的來(lái)車數(shù)。,,卜瓦松機(jī)率分配實(shí)例,若管理者想要瞭解15分鐘內(nèi)恰有5輛車到達(dá)的機(jī)率，則此時(shí)x＝5可得：上述機(jī)率值是將μ ＝10, x＝5代入式(5.11)中計(jì)算而得。,卜瓦松機(jī)率分配實(shí)例,計(jì)算每3分鐘1輛來(lái)車

29、的機(jī)率由於15分鐘內(nèi)平均來(lái)車數(shù)為10輛，因此每分鐘平均來(lái)車數(shù)為 10/15 ＝ 2/3 輛，而每3分鐘平均來(lái)車為μ＝(2/3)(3分鐘)＝2輛。因此，3分鐘內(nèi)來(lái)車x輛的機(jī)率為欲求3分鐘內(nèi)1輛來(lái)車的機(jī)率，可利用上述公式,,,一個(gè)包含長(zhǎng)度或距離區(qū)間的例子,假如我們有興趣的是某一段高速公路路段，經(jīng)重新舖設(shè)路面一個(gè)月後，發(fā)現(xiàn)重要瑕疵的數(shù)量。假設(shè)在此路段的任何兩個(gè)區(qū)間中，發(fā)現(xiàn)一個(gè)瑕疵的機(jī)率皆相同，且各區(qū)間發(fā)現(xiàn)瑕疵與否為獨(dú)立事件。因此可以應(yīng)

30、用卜瓦松機(jī)率分配。假設(shè)每哩在重新舖設(shè)路面一個(gè)月後，發(fā)現(xiàn)重大瑕疵的平均數(shù)目為2個(gè)，則在3哩內(nèi)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)重大瑕疵的機(jī)率為何？因?yàn)槲覀冇信d趣的長(zhǎng)度區(qū)間為3哩，因此3哩的平均瑕疵數(shù)為μ＝(2個(gè) / 哩)(3哩)＝6個(gè)，利用式(5.11)，f(0)＝6e/0!＝0.0025，可得3哩內(nèi)沒(méi)有重大瑕疵數(shù)的機(jī)率為0.0025，表示在3哩內(nèi)沒(méi)有重大瑕疵的可能性非常小。事實(shí)上，在3哩長(zhǎng)的路段裡至少有1個(gè)重大瑕疵的機(jī)率為1－0.0025＝0.9975。,5.

31、6 超幾何機(jī)率分配,,超幾何機(jī)率分配(hypergeometric probability distribution)與二項(xiàng)機(jī)率分配關(guān)係相當(dāng)密切。,兩者主要的差別有二，,超幾何分配的各試驗(yàn)並不獨(dú)立,超幾何分配成功的機(jī)率隨試驗(yàn)而有不同。,,,,,,超幾何機(jī)率分配,超幾何機(jī)率函數(shù),,for 0 < x < r,其中: f(x) = n次試驗(yàn)中x次成功的機(jī)率 n = 試驗(yàn)的次數(shù) N = 母體大小

32、 r = 母體中成功的個(gè)數(shù),,超幾何機(jī)率函數(shù),超幾何機(jī)率分配,for 0 < x < r,,表示從母體總失敗個(gè)數(shù)N－r中，選出n－x個(gè)失敗個(gè)數(shù)的可能組合,,,,,,,,,,,表示從母體總成功個(gè)數(shù) r 中，選出 x 個(gè)成功個(gè)數(shù)的可能組合,,表示從母體大小為N中，選出n個(gè)樣本的可能組合,超幾何機(jī)率分配實(shí)例,品管的例子某家公司生產(chǎn)燈絲，12個(gè)燈絲包裝成一盒。品管檢驗(yàn)員隨機(jī)從一盒產(chǎn)品中抽出3個(gè)檢驗(yàn)。假定該盒恰有5

33、個(gè)瑕疵品，檢驗(yàn)員抽出的3個(gè)燈絲中恰有一個(gè)是瑕疵品的機(jī)率為何？在此例中，n＝3且N＝12，每盒裡有r＝5個(gè)瑕疪品，要計(jì)算抽出的瑕疵品個(gè)數(shù)x＝1的機(jī)率，計(jì)算公式為：,,超幾何機(jī)率分配實(shí)例,假定我們想知道至少有一個(gè)瑕疵品的機(jī)率。最簡(jiǎn)單的方式是先算出沒(méi)有瑕疵品的機(jī)率，x＝0的機(jī)率是已知沒(méi)有瑕疵品的機(jī)率 f(0)＝0.1591，可以求出至少有一個(gè)瑕疵品的機(jī)率是1－0.1591＝0.8409。因此，至少發(fā)現(xiàn)一個(gè)瑕疵品的機(jī)率很高。,,,,,

34、,,平均數(shù),變異數(shù),超幾何分配,超幾何分配實(shí)例,燈絲的例子中n＝3, r＝5且N＝12，所以瑕疵品的平均數(shù)及變異數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差是?σ＝,,,以 n 個(gè)試驗(yàn)的超幾何分配而言，令p＝(r / N)表示第一次試驗(yàn)的成功機(jī)率。,,,,,如果母體很大，式(5.14)中的(N－n)/(N－1)會(huì)接近1,期望值與變異數(shù)可以寫成 E(x) = np, Var(x) = np(1 – p).,這也是二項(xiàng)分配的期望值與變異數(shù)公式,continu