線性數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教育

1、2024/3/10,高二數(shù)學(xué)新增部分內(nèi)容教學(xué)建議,松江區(qū)教師進修學(xué)院數(shù)學(xué)組陳萍,2024/3/10,新課本高二上的教學(xué)內(nèi)容,分為三個單元:1 數(shù)列和數(shù)學(xué)歸納法(數(shù)列概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、歸納─猜想─論證、數(shù)列極限、無窮等比數(shù)列各項和).2 高中線性數(shù)學(xué)(平面向量的坐標表示、矩陣、行列式).3 算法初步(算法概念、程序框圖、計算語句與計算程序).,2024/3/10,向量教學(xué)的作用地位,作用地位：向量是近代數(shù)學(xué)最重

2、要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)、幾何、三角的橋梁。它與代數(shù)、幾何、三角的聯(lián)系將隨著向量的坐標表示逐步具體化。為了說明這種聯(lián)系，書中給出了向量在推導(dǎo)兩角差的余弦公式、在線性方程組解的存在性討論、在幾何證明中應(yīng)用的例題。這些例題僅是一種啟示，更多具體的聯(lián)系同學(xué)們可以在探索中發(fā)現(xiàn)。向量實質(zhì)上是坐標幾何（高中二年級第二學(xué)期將學(xué)習）的反璞歸真?？梢赃@樣說：向量是繼函數(shù)概念以外，另一個貫穿整個高中數(shù)學(xué)的核心概念。,2024/3/10,向量的教育

3、價值,向量是通過位移、力、速度等概念抽象出來的，通過向量的坐標表示，向量與代數(shù)、幾何、三角建立起廣泛的聯(lián)系。從這里可以看到數(shù)學(xué)的抽象為向量的廣泛應(yīng)用打下了堅實的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的抽象，使數(shù)學(xué)應(yīng)用更加廣泛，這是辨證法。通過向量學(xué)習引導(dǎo)學(xué)生認識科學(xué)抽象的作用。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,史載，古希臘的亞里士多德（前384-前322）已經(jīng)知道兩個力的合成，可以用平行四 邊形的法則得到。但是， 集古希臘數(shù)學(xué)大成的《幾何原本》， 沒有討論向量。

4、 以后的一千多年中，經(jīng)過文藝復(fù)興時期， 牛頓創(chuàng)立微積分之后的17、18世紀， 向量的知識沒有什么變化。伽利略（1564-1642）清楚地敘述 了“平行四邊形法則”，僅此而已。 這點向量知識，形不成多少有意義的問題， 發(fā)展不成一個獨立的學(xué)科， 因而數(shù)學(xué)家沒有把向量當作一回事。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,進入19世紀， 事情開始發(fā)生變化。“復(fù)數(shù)”充當了催化劑。 丹麥的魏塞爾（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）發(fā)現(xiàn)

5、了復(fù)數(shù)的幾何表示，德國高斯（1777-1855）建立了 復(fù)平面的概念，從而使向量與復(fù)數(shù)建立起一一對應(yīng)。這不但為虛數(shù)的現(xiàn)實化提供了可能，也為向量的發(fā)展開辟了道路。向量表示為一對有序的實數(shù)（a, b），是一個重大的進步。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,當時的數(shù)學(xué)家想到， 實數(shù)可看作一維向量， 復(fù)數(shù)可看作二維向量，那么一定還有“三維數(shù)”、“四維數(shù)”， 乃至“N維數(shù)”。令人失望的是， 哈密頓發(fā)現(xiàn)， 要形成有加減乘除四則運算的數(shù)系， 只能是四

6、元數(shù)， 而且不得不放棄乘法的交換律。最后發(fā)現(xiàn)的八元數(shù)， 連結(jié)合律也維持不了。除此而外， 其他維數(shù)的向量， 根本無法定義四則運算，談不上構(gòu)成數(shù)系[1]。[1] 參見羅賢強 ,從四元數(shù)到向量:向量概念演變的歷史分析>2005年04期,2024/3/10,向量的發(fā)展史,德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼1844年引入了n 維向量的概念。令人深思的是， N維向量既然不能成為有四則運算的數(shù)系， 那么它的結(jié)構(gòu)是什么呢？這是19世紀抽象代數(shù)思想的發(fā)展的自

7、然思考。研究表明，N維向量全體，可以定義加法和減法，此外還有單個的“數(shù)”可以和向量相乘。 這就是向量空間（線性空間）的來源。 此外， 兩個向量可以有“內(nèi)積”和“外積”，但是它們都沒有逆運算， 即沒有除法。 這是一個不同于“數(shù)系”的嶄新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。果然， 在向量空間的舞臺上， 產(chǎn)生了具有深遠影響的數(shù)學(xué)成就。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,“線性”， 是20世紀數(shù)學(xué)中使用十分廣泛的詞匯。 但是， 中國的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中卻很少使用。

8、無論是英文還是俄文， 我們常說的“一次方程”和“一次函數(shù)”， 原本都是“線性方程（Linear Equation）”和“線性函數(shù)(Linear Function)”。至于為什么丟棄“線性”的提法，不得而知。 在大學(xué)里， 則大量流行“線性”?！?線性代數(shù)”、“線性變換”、“線性常微分方程”、““線性偏微分方程”、“線性規(guī)劃”、“線性算子 ”、“線性泛函”、 “線性控制系統(tǒng)”、“擬線性”、“準線性”等等， 不一而足。,2024

9、/3/10,向量的發(fā)展史,相對于大學(xué)熱衷于向量空間和線性數(shù)學(xué)， 我國中學(xué)的反映比較遲緩。 1980年代， 中學(xué)里只有與復(fù)數(shù)相關(guān)的平面向量。 那里不談數(shù)量積，只有平行四邊形法則孤零零的一點內(nèi)容， 不成氣候。 至于三維向量進入立體幾何， 則歷盡周折。 直到1990年代， 仍然勢均力敵（據(jù)說在國家教材審定委員會里， 4票對4票）， 遂有立體幾何分兩種版本的折中處理辦法問世。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,上海教材在陳昌平主編的力挺之下，

10、率先在1990年代初全面推行向量方法。進入21世紀以后，立體幾何采用向量方法處理，在全國范圍內(nèi)也終成定局。 實際上， 現(xiàn)今中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，除去“數(shù)和式的運算”以及排列組合、數(shù)據(jù)處理 等少數(shù)內(nèi)容， 可以分成“線性數(shù)學(xué)”和“非線性”數(shù)學(xué)兩大部分。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,那么， 向量究竟有什么威力和魅力， 使得它如此受人重視呢？說來簡單， 無非是向量“能算”。在數(shù)學(xué)上， 點的直角坐標，向量的坐標分解（投影），直角三角

11、形的正弦余弦， 復(fù)數(shù)的實部與虛部， 四位一體。它們的原始概念彼此相通，只有形式上的不同。向量分解可以看作直角坐標的一種推廣。分解就是投影， 投影的量化就是正弦和余弦。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,現(xiàn)今的上海新課程， 在初中就出現(xiàn)了“平面向量”的概念。高中的解析幾何部分， 也注入了“向量幾何”的成分。 例如用向量推導(dǎo)平面直線方程，強調(diào)直線的方向式和法向式、直線的一般式和直線的斜率，卻不要求學(xué)生在“兩點式”、“點斜式”上下功夫。這樣做

12、，可以和將來推導(dǎo)空間直線方程相一致。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,向量幾何在法國已經(jīng)有很長的歷史。以下是一個初中的教學(xué)事例（取自1985年法國國民教育部數(shù)學(xué)教育委員會馬蒂內(nèi)訪華講演）,2024/3/10,向量的發(fā)展史,勾股定理的證明 （事先準備知識：由一個角的兩邊的任何一點向另一邊作投影， 其壓縮的比值相同）。在角A 中，AC = αAB， AD= αAC，故 AD = α^2AB在角B 中，BC = βAB， BD

13、 = βBC，故 BD = β^2 AB。由于 AB= AD+ BD=α^2 AB +β^2 AB = （α^2 +β^2 ）AB，因此（α^2 +β^2） =1。AB^2=AC^2+BC^2.于是 。 證畢,2024/3/10,向量的發(fā)展史,這里， 將線段的投影，三角的余弦， 以及未來的向量分解和數(shù)量積等知識都擰在一起，并用來證明勾股定理， 在數(shù)學(xué)思想上更簡約、更緊密了。,2024/3/10,矩陣行列式的作用地位,陳省身先生說

14、‘數(shù)學(xué)的對象不外“數(shù)”與“形”，雖然近代的概念，已與原始的意義，相差甚遠’。這里的形和數(shù)都用了引號。這就是說“形”不僅是三維空間中見到的圖形；“數(shù)”也不僅是有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)，也包括如矩形數(shù)表（矩陣）所表示的“數(shù)”。矩陣的引入使“數(shù)”的內(nèi)涵擴充了。,2024/3/10,矩陣行列式的作用地位,同時可以看到矩陣有解線性方程組作為其背景，矩陣還可以表示點的坐標的變換。矩陣在今天計算機計算中有著十分重要的地位。行列式和矩陣的引入，使向量的應(yīng)用

15、和表示更加簡練和方便。總而言之矩陣行列式引入高中數(shù)學(xué)有三個理由：1. 矩陣是“數(shù)”概念的擴充；2. 矩陣行列式是討論解線性方程組的有效工具；3. 矩陣可以表示圖形的變換(坐標變換)。,2024/3/10,矩陣內(nèi)容的教育作用,行列式是1683─1693年間引入的，矩陣是1858年引入的。在此期間，數(shù)學(xué)有著長足進步，其中數(shù)學(xué)符號的進步是數(shù)學(xué)進步的一個方面。數(shù)學(xué)符號的規(guī)范化和正確使用是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方面；是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力的重要方面

16、。同時，數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡潔表示也顯示了數(shù)學(xué)的美。圖形的矩陣變換反映了一種運動變化。,2024/3/10,為什么要學(xué)矩陣行列式,2024/3/10,行列式與幾何的聯(lián)系,2024/3/10,行列式與幾何的聯(lián)系,平面上三點共線的充分必要條件是,2024/3/10,行列式與幾何的聯(lián)系,空間三個向量共面的條件是,2024/3/10,行列式與幾何的聯(lián)系,平面上三直線共點的條件:,2024/3/10,高二線性數(shù)學(xué)的教學(xué)要求,一. 在向量方面的教學(xué)要求:

17、1. 理解基向量的作用;理解平面向量的分解定理;2. 掌握向量運算的坐標表示;掌握向量平行垂直的坐標表示;掌握求兩向量夾角的公式.3.通過例子了解向量與幾何、三角、代數(shù)的關(guān)系.,2024/3/10,高二線性數(shù)學(xué)的教學(xué)要求,二. 在矩陣行列式初步方面的教學(xué)要求:1.理解矩陣及其有關(guān)的概念(元素、行、列、零矩陣、單位矩陣等).2. 掌握兩矩陣可以進行加、減運算的條件;兩矩陣可以相乘的條件.理解矩陣乘法不滿足交換律.3. 理解為什么

18、引進矩陣.,2024/3/10,高二線性數(shù)學(xué)的教學(xué)要求,4. 掌握二階、三階行列式展開的對角線法則,三階行列式按照某一行(列)展開的方法.5.掌握二元、三元線性方程組解的行列式方法;利用行列式討論線性方程組解的存在性和唯一性.6.會用計算機(器)求行列式的值.,2024/3/10,高二線性數(shù)學(xué)的教學(xué)要求,矩陣和行列式是目前計算機常用的計算對象.著名的計算機軟件Matlab、Scilab都是以矩陣運算為基本運算的.密碼學(xué)正從軍事應(yīng)用

19、走向商業(yè)和民間,密碼使用時利用矩陣進行文件的加密,當對方收到密碼文件后要利用逆矩陣來解密,才能是對方得到清晰的文本.現(xiàn)在矩陣論已成為一門獨立的學(xué)科.,2024/3/10,矩陣行列式課時安排,矩陣和行列式初步共9學(xué)時，其中,,,,,2024/3/10,矩陣行列式教學(xué)設(shè)計建議,1．學(xué)生學(xué)習矩陣、行列式的最大障礙是不知道為什么要學(xué)習這些概念。教師應(yīng)通過引入、例題等各種途徑使學(xué)生了解學(xué)習意義。通過二元線性方程組求解的討論，引入矩陣、行列式概念

20、，使學(xué)生了解矩陣、行列式產(chǎn)生的背景。通過例子了解學(xué)習矩陣的好處。,2024/3/10,矩陣行列式教學(xué)設(shè)計建議,2．矩陣概念的引入使“數(shù)”的內(nèi)涵更加豐富了。在小學(xué)里，整數(shù)、小數(shù)是“數(shù)”；在初中里，有理數(shù)、實數(shù)是“數(shù)”，引進矩陣后平面向量的坐標（有序數(shù)對）是“數(shù)”，矩形數(shù)表也是“數(shù)”。為了使學(xué)生明了矩陣是“數(shù)”概念的擴張應(yīng)該通過例題，讓學(xué)生知道用矩陣計算的好處。,2024/3/10,矩陣行列式教學(xué)設(shè)計建議,3．通過例子，讓學(xué)生理解向量向量的

21、矩陣變換的含義。了解關(guān)于直線對稱的變換、關(guān)于軸對稱、關(guān)于軸對稱的變換。4．把行列式計算與兩向量平行、平面上三點共線的簡潔表示聯(lián)系起來，進一步理解數(shù)學(xué)符號的意義。,2024/3/10,矩陣行列式教學(xué)設(shè)計建議,5．通過例題討論，使學(xué)生掌握用行列式討論和表示二元、三元線性方程組解的方法，掌握行列式的對角線展開法。6．引導(dǎo)學(xué)生用計算機（器）進行矩陣、行列式計算。學(xué)習本章的探究與實踐，對于培養(yǎng)學(xué)生用計算機進行矩陣計算和理解矩陣變換與圖形變換關(guān)

22、系是十分有益的。,2024/3/10,算法初步教學(xué)的作用地位,作用地位：古希臘數(shù)學(xué)家發(fā)明了公理化─演繹方法，對數(shù)學(xué)發(fā)展，甚至于對科學(xué)的發(fā)展是一個偉大的貢獻。與古希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強烈的算法精神。中國古代數(shù)學(xué)以算法見長。算法是數(shù)學(xué)的組成部分。算法數(shù)學(xué)與論證數(shù)學(xué)的結(jié)合產(chǎn)生了現(xiàn)代數(shù)學(xué)。算法體現(xiàn)與演繹思想不同思想方法，它用符合邏輯程序的計算步驟來解決數(shù)學(xué)問題。在計算機已進入生活各個領(lǐng)域的今天，算法知識已成為公民必備的修養(yǎng)。,2

23、024/3/10,算法初步教學(xué)的作用地位,一位專家在的序言中寫道:與時俱進,數(shù)學(xué)也不例外.這不,一個全新的數(shù)學(xué)內(nèi)容─算法.在21世紀初,就大踏步地進入中學(xué)數(shù)學(xué),成為高中生必修課程的一部分.與中學(xué)里的微積分幾進幾出相比.算法進中學(xué)要順利得多.原因何在? 信息時代的要求使然.,2024/3/10,算法初步的教育價值,算法對于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和用圖表示計算機程序關(guān)系的能力。對培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代社會生活起到重要作用。通過算法學(xué)習可以使學(xué)生進

24、一步了解中國古代的數(shù)學(xué)成就，樹立民族自豪感。,2024/3/10,算法初步的教學(xué)要求,1.通過對于解決具體問題的分析,理解什么是算法以及算法解題的過程.2. 理解和掌握解題的程序框圖.根據(jù)計算步驟能畫出程序框圖;反過來,根據(jù)框圖能寫出其解題過程.3. 對于計算機語言和程序編寫暫時不作為學(xué)生必學(xué)內(nèi)容.4. 希望各區(qū)在統(tǒng)考中增加算法的考題.,2024/3/10,算法初步的參考書,1.袁震東、何紅春主編:,華東師范大學(xué)出版社, 2007