立體幾何中的翻折問題

1、立體幾何中的翻折問題,隨著自主命題的深入，浙江省數(shù)學(xué)高考立體幾何試題對翻折問題似乎情有獨鐘，且常考常新． 這類試題背景簡單，立意深遠(yuǎn)，對考生的空間想象能力要求很高，能較好地改善學(xué)生對立體幾何的思維定勢．,研究翻折問題應(yīng)注意折前折后各元素相對位置的變化． 要理清哪些位置關(guān)系和度量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒有改變． 解決翻折問題的關(guān)鍵可以歸納如下:,( 1) 找準(zhǔn)“基準(zhǔn)圖”折疊;( 2) 畫好“2 個圖”———折疊前的平面圖和折疊后的立體圖;

2、( 3) 尋找“2 個量”———哪些量( 或關(guān)系) 發(fā)生了變化，哪些量( 或關(guān)系) 沒有發(fā)生變化．,1.對比分析, 尋找不變量和不變關(guān)系,例1 如圖，在正△ABC 中，D，E，F(xiàn) 分別為對應(yīng)邊的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE 的中點，將△ABC 沿DE，EF，DF 折成三棱錐以后，GH 與IJ 所成角的度數(shù)為( )A． 90° B． 60°C． 45° D． 0°,分析

3、:將△ABC 沿DE，EF，DF折成的三棱錐如圖3 所示，GH 和IJ 為一對異面直線． 由已知可得DF∥GH， IJ∥AD，∠ADF 即為所求的角，即GH 與IJ所成角的度數(shù)為60°．,評注:本題解題的關(guān)鍵是抓住其中一些量的不變性，即IJ∥BD，GH∥DF 在翻折前后不變，∠ADF 在翻折前后都為60°等．,①②④,,,F,1.對比分析, 尋找不變量和不變關(guān)系,1.對比分析, 尋找不變量和不變關(guān)系,2.展成平面,

4、逆向探究求最小值,分析:聯(lián)結(jié)A1B，沿BC，將△CBC1展開與△A1BC1在同一個平面內(nèi)，如圖 所示，聯(lián)結(jié)A1C，則A1C 的長度就是所求的最小值．通過計算可得∠A1C1B = 90° 且∠BC1C =45°，于是∠A1C1C = 135°，由余弦定理可求得A1C ．,評注:立體幾何問題平面化，是解決立體幾何最值問題的重要思想，也是計算某些線段長度的重要方法，平面化過程要注意變化前后的變與不變性．,2.展