立體幾何垂直

1、新希望教育培訓學校資料新希望教育培訓學校資料心在哪兒心在哪兒新的希望就在哪兒新的希望就在哪兒空間中的垂直關系空間中的垂直關系一、重難點：一、重難點：1直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定不光是確立垂直關系的重要依據(jù)，也以后計算角和距離重要環(huán)節(jié)。因此，垂直關系及其相互轉(zhuǎn)化是整個立體幾何部分的重點和關鍵。2在幾何體中考查線線、線面、面面的平行與垂直關系是重點，而有關線線角、線面角、二面角的求解是重中之重。難點是二面角的求法。熟

2、練應用定義法、轉(zhuǎn)化法求異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的大小，求各種距離，特別是求點到平面距離。二、基礎知識二、基礎知識(一)、直線與平面垂直1、線面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直奎屯王新敞新疆其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。交點叫做垂足。直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：a⊥α。2、直線與平面垂直的判定方法：①利用定義。②判定定理：如果

3、一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。③其它方法：（Ⅰ）、如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。（Ⅱ）、如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，那么也垂直于另一個面。（Ⅲ）、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們交線的直線垂直于另一個平面。（Ⅳ）、如果兩個相交平面都和第三個平面垂直，那么相交平面的交線也垂直于第三個方面。3、直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線

4、同垂直于一個平面那么這兩條直線平行。4、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。說明：（1）定理的實質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關系；（2）推理模式：POOPAAaPAaaOA?????????????????5、三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。推理模式：POOPAAaAOaaAP?????????

5、????????注意：⑴三垂線指PA，PO，AO都垂直α內(nèi)的直線a奎屯王新敞新疆其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理奎屯王新敞新疆⑵要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。Ⅱ、平面與平面垂直1、兩個平面垂直的定義：兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。2、兩平面垂直的判定方法：①利用定義。②判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。推理模式：，。a?a

6、??????aP?OA新希望教育培訓學校資料新希望教育培訓學校資料心在哪兒心在哪兒新的希望就在哪兒新的希望就在哪兒∵PDABCD?底面，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AECPDB?平面。（Ⅱ）設AC∩BD=O，連接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，∴O，E分別為DB、PB的中點，∴OEPD，12OEPD?，又∵PDABCD?底面，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，122

7、2OEPDABAO???，∴45AOE???，即AE與平面PDB所成的角的大小為45?。練習、已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC。證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC。而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC。又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE。∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC。[反思歸納]證明直線與平面垂

8、直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”。例題2、在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C。證明：取A1B1的中點D1，連結(jié)C1D1?！連1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1。連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1。取AB的中點D，連結(jié)CD、B1D，則B

9、1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影。∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C。[反思歸納]證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理。練習、在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點。（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD1。分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標系來解，

10、不僅容易找到解題方向，而且坐標也簡單，此時“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問題，當然也可用其它的證法。證明：建立空間直角坐標系如圖，并設AB=2，則A(000)D(020)A1(002)D1(022)，E(201)F(120)(1)(020)AD?????1(102)DF???????=01210(2)=0AD⊥D1F。?1ADDF???????????（2）=（2，0，1）=（1，0，2），|，|AE????1DF?????|