概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)資料-首頁-高中數(shù)學(xué)-鳳凰教育網(wǎng)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo),王曉謙wxqmath@263.net,引言 數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的應(yīng)用不斷深入。與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使以前只有理論而無法計(jì)算的內(nèi)容找到了廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。 概率和統(tǒng)計(jì)具有不同于其他數(shù)學(xué)分支的思維方式。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中既要體會(huì)概率和統(tǒng)計(jì)思想與其他數(shù)學(xué)思想的不同，但也必須注意到它們與其他數(shù)學(xué)分支之間的密切關(guān)系。要培養(yǎng)利用概率、

2、統(tǒng)計(jì)的思想思考、處理問題的能力。,第一部分 概率第一節(jié) 隨機(jī)事件及其概率A. 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件,,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。,研究隨機(jī)現(xiàn)象的第一步：定義事件 在給定條件下，可能發(fā)生這樣的結(jié)果，也可能發(fā)生那樣的結(jié)果，這就是隨機(jī)現(xiàn)象。 特點(diǎn)：一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，我們知道所有可能的結(jié)果有哪些，但是在條件沒有實(shí)現(xiàn)之前，無法判斷會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。隨機(jī)事件：我們把在給定條件實(shí)

3、現(xiàn)之后，可以判斷是否發(fā)生的結(jié)果叫做隨機(jī)事件，用大些英文字母表示。,例如，研究某個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。 在正常條件下，他射出一發(fā)子彈，落點(diǎn)會(huì)是隨機(jī)的，都有哪些隨機(jī)事件呢？無窮多個(gè)隨機(jī)事件：A:十環(huán) B:九環(huán)，……，E:沒有脫靶，F(xiàn):脫靶，……，等等等等，這些都是可能發(fā)生的結(jié)果，都是隨機(jī)事件。 只要實(shí)現(xiàn)一次條件，即在正常條件下，他射出一發(fā)子彈，哪個(gè)事件發(fā)生，哪個(gè)

4、沒有發(fā)生，一目了然。,兩個(gè)特例： 不可能事件：用字母Φ表示。 例如上面例子里，“既沒有脫靶，也沒有上靶”這個(gè)事件就是不可能事件。 必然事件：用字母Ω表示。 例如上面例子里，“脫靶或沒有脫靶”就是一個(gè)必然事件。,,B. 事件的概率 事件的概率就是刻劃該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。設(shè)A是一個(gè)事件，用P(A)表示這個(gè)事件的

5、概率。 概率的第一個(gè)基本性質(zhì)：對(duì)于任意事件A，,,這是一種要求！,例：七個(gè)有變異的豌豆特征（P89） 子的形狀，子的顏色，豆莢的形狀，豆莢外衣的顏色，未成熟豆莢的顏色，花的位置，豆梗的長度 孟德爾把綠色豌豆與黃色豌豆雜交，結(jié)果下一代都是黃色豌豆。 對(duì)其他六個(gè)特征做試驗(yàn)，也有類似的結(jié)果。 我們把這一代叫做雜交第一子代，簡(jiǎn)稱為子一代。問題是，用它們作為種子，

6、下一代會(huì)怎樣呢？這是中學(xué)教師孟德爾的問題，這個(gè)問題的解決讓他名崔青史。（1822～1884）,孟德爾把雜交黃色豌豆作為第一子代F1，培育出第二子代F2。在第二子代中豌豆會(huì)是什么顏色的呢？他提出了一種遺傳學(xué)理論，用這個(gè)理論來預(yù)測(cè)第二子代的顏色。他的預(yù)言是： 75%的黃色豌豆 25%綠色豌豆即兩者比例為3：1。,【用G代表綠色基因，Y代表黃色基因，則第一子代F1可表示為YG。 這

7、樣的豌豆自由雜交，在第二子代F2中會(huì)出現(xiàn)四種情況：YY,YG,GY,GG。每種情況出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等。其中 黃色：YY,YG,GY； 綠色：GG所以黃色豌豆與綠色豌豆數(shù)量的比例應(yīng)該是3：1?！?課本上89頁表7-1-1的數(shù)據(jù)就是試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果。這里用的是頻率估計(jì)概率的思想。,我們不知道當(dāng)初老孟是先有的數(shù)據(jù)還是先做的理論分析。不過大多數(shù)人相信是 1、先做的試驗(yàn)， 2、然后

8、利用觀測(cè)到的現(xiàn)象（概率統(tǒng)計(jì)思想）提 出大膽的理論， 3、利用提出的理論對(duì)觀測(cè)結(jié)果作出解釋， 4、再利用理論作預(yù)測(cè)， 5、然后通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論預(yù)測(cè)的可靠性。這是科學(xué)研究的一種基本方法。,為了估計(jì)事件A發(fā)生的概率，我們?cè)谙嗤瑮l件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)次數(shù)n和事件A發(fā)生的次數(shù)m，然后用事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的估計(jì)值,求概率之基本方法——試驗(yàn)

9、法。有誤差。,,概率的第二個(gè)基本性質(zhì) ：,這不是公式，是一種規(guī)范化要求。,第二節(jié) 古典概型 試驗(yàn)或觀測(cè)只有有限多種可能的基本結(jié)果，這些結(jié)果具有以下特點(diǎn)： （1）、這些可能結(jié)果有限多個(gè)；（2）、每次試驗(yàn)，這些結(jié)果中必有一個(gè)會(huì)發(fā)生，而且 只有一個(gè)會(huì)發(fā)生；（3）、每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的。 滿足前兩條的結(jié)果叫基本事件。假設(shè)共有n個(gè)

10、基本事件。如果還滿足第三條的話，這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的概率計(jì)算模型就叫做古典概型。,古典概型里，每個(gè)基本事件的概率都是,,.,如果事件A的發(fā)生等價(jià)于m個(gè)基本事件之一發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率就是,第三節(jié) 幾何概型 試驗(yàn)或觀測(cè)有無限多種可能的基本結(jié)果，這些結(jié)果具有以下特點(diǎn)：（1）、這些可能結(jié)果有無限多個(gè)；（2）、每次試驗(yàn)，這些結(jié)果中必有一個(gè)會(huì)發(fā)生，而且 只有一個(gè)

11、會(huì)發(fā)生；（3）、每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的。這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的概率計(jì)算模型就叫做幾何概型。,方程有實(shí)根的概率是多少？,例一、方程,,中的系數(shù),分別在,區(qū)間隨機(jī)取值，那么這個(gè),解：我們把,放到一起考慮,，那么任取,中的,兩個(gè)值作為,,矩形區(qū)域 S 中任取一個(gè)點(diǎn)，把橫坐標(biāo)作為,，可以看作是在平面直角坐標(biāo)系中,,，縱坐,。,坐標(biāo)作為,,方程有實(shí)根等價(jià)于,這等價(jià)于要求點(diǎn)必須取在區(qū)域A中。所以,,例二、怎樣求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積？

12、 做正方形S，隨機(jī)向圖中投點(diǎn)，計(jì)算落在A中的點(diǎn)的頻率，A的面積的近似值就是該頻率與S的面積的乘積。,例三 貝特朗奇論 在圓內(nèi)任取一弦，問其長度超過內(nèi)接等邊三角形 邊長的概率是多少？ 貝特朗給出了三中求解方法。,設(shè)該圓半徑為,則內(nèi)接等邊三角形邊長為,記弦的長度為,,（1）、由于弦長只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因而可假定弦垂直于某直徑EF。如圖所示：,當(dāng)且僅當(dāng)弦AB與圓形的距離小于,時(shí)，

13、有,所以所求概率為,(2)、弦長由其中點(diǎn)唯一確定。當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)落到半徑為,的同心圓內(nèi)時(shí)，弦長,所以，如圖所示，,所求概率為,（3）、因?yàn)槿魏蜗叶冀粓A于兩點(diǎn)，并且具有對(duì)稱性，所以不妨固定弦的一端A于圓周上，另一端在圓周上任意取。如圖，考慮等邊三角形ADE，如B落在角A所對(duì)應(yīng)的弧,上，則弦長,所以所求概率為,第四節(jié) 互斥事件與概率兩個(gè)事件互斥 一組事件是互斥的 設(shè)是A,B是兩個(gè)互斥事件，我們用 A+B表

14、示一個(gè)新的事件，即“A,B中至少有一件發(fā)生”這個(gè)事件。,,,,是一組互斥事件，那么,中至少有一個(gè)發(fā)生這個(gè)事件。,表示,概率的第三個(gè)基本性質(zhì)要求,例如，,表示某射擊運(yùn)動(dòng)員打中k環(huán)這個(gè)事件，k=1，2，…，10. 那么它們是10個(gè)互斥事件。如果知道每個(gè)事件的概率，我們就可以算出許多其它事件的概率。例如打到8環(huán)以內(nèi)這樣的事件的概率。,,例如，,對(duì)立事件：如果兩個(gè)事件互斥，而且每次試驗(yàn)或觀測(cè)兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生，那么這

15、兩個(gè)事件就叫做一對(duì)對(duì)立事件。如果用A表示其中的一個(gè)事件，另一個(gè)就用,來表示。顯然,所以,或等價(jià)地,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。解法一、用A表示“500人中至少有一人生日在今天”，用,表示“500人中恰有k人生日在今天”，k=0，1,…,500。,互斥，而且,所以,則不難發(fā)現(xiàn)這501個(gè)事件,由于,所以,解法二、顯然,表示,所以,“500人中沒有一人在今天過生日”，,我們可以求出,比較這兩個(gè)結(jié)果你可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)公式

16、,即,事實(shí)上，,第五節(jié) 獨(dú)立性概念 積事件：設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，稱“事件A與B同時(shí)發(fā)生”這個(gè)事件為事件A與事件B的積事件，記作AB。類似地，用,表示一個(gè)新事件，該事件的發(fā)生等價(jià)于,這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生。,例如：,表示第k次投擲硬幣出現(xiàn)正面，k=1,2,……,,就表示“連續(xù)投擲硬幣n次都出現(xiàn)正面”這個(gè)隨機(jī)事件。,那么,定義：稱事件A,B相互獨(dú)立，如果,一般地，稱一組事件相互獨(dú)立，如果其中任意有限個(gè)同時(shí)發(fā)生的概率等于它們

17、每一個(gè)發(fā)生的概率的乘積。 所以，如果知道事件相互獨(dú)立，那么事件同時(shí)發(fā)生的概率就等于每一個(gè)發(fā)生的概率的積。,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。,表示,不難理解,也是相互獨(dú)立的一組事件，而且,,方法三、用,第k個(gè)人在今天過生日，k=1,2,……,500。,則我們一般認(rèn)為這500個(gè)事件相互獨(dú)立。顯然,所以，,連續(xù)投擲一枚硬幣n次，計(jì)算其中恰好出現(xiàn) k次正面的概率，,這個(gè)問題有如下三點(diǎn)要注意： （1）.每次試驗(yàn)（或觀測(cè)

18、）只有兩種可能的結(jié)果，其 一記為 A,另一個(gè)就是,（2）.每次試驗(yàn)（或觀測(cè)）結(jié)果不受其它試驗(yàn)（或觀 測(cè)）結(jié)果的影響。即各次試驗(yàn)或觀測(cè)相互獨(dú)立。,（3）.每次A發(fā)生的概率都相同，記為,這個(gè)問題的答案就是二項(xiàng)概率公式：,這種隨機(jī)試驗(yàn)或觀測(cè)我們叫做獨(dú)立試驗(yàn)序列。在研究獨(dú)立試驗(yàn)序列時(shí)，一個(gè)基本問題就是，n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率是多少？,,特別地,所以,每個(gè)人是否在今天過生日相互獨(dú)立。所以500人中恰有

19、k人在今天過生日的概率為,方法四、每個(gè)人在今天過生日的概率都是,例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。,某車間有十臺(tái)機(jī)床，彼此獨(dú)立工作。據(jù)統(tǒng)計(jì)每臺(tái)機(jī)床每小時(shí)有12分鐘在工作，工作時(shí)需8千瓦的電力。供電部門供多少電給該車間合適呢？,該車間恰好有k臺(tái)機(jī)床在同時(shí)工作的概率為,解：用A表示一臺(tái)機(jī)床在工作，則,我們把恰好有0，1，2，……，10臺(tái)機(jī)床在同時(shí)工作的概率都計(jì)算出來，列在下表里：,,從表中數(shù)據(jù)可以看出，,所以，供給,千瓦電力就可以

20、保證有0.9936的,概率不會(huì)誤事。完全沒有必要供給80千瓦的電力。,第五節(jié) 隨機(jī)變量簡(jiǎn)介 隨機(jī)變量是這樣的一種“函數(shù)”，它把隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)基本結(jié)果對(duì)應(yīng)成一個(gè)實(shí)數(shù)。 例如，擲一枚硬幣有兩個(gè)基本結(jié)果，正面和反面。我們?nèi)是這樣的一種對(duì)應(yīng)法則： 如果擲出正面，取X=1，如果擲出反面，取X=-1.則X就是一個(gè)隨機(jī)變量，取-1和1兩個(gè)值，到底取哪個(gè)在實(shí)驗(yàn)沒有結(jié)束之前不能確定，即取值是隨機(jī)的。,所有可能取值的概率

21、總和必為1。,,我們關(guān)心的是隨機(jī)變量的取某個(gè)值或取值落在某個(gè)范圍里的概率。怎樣計(jì)算，依不同情況而定。 隨機(jī)變量有兩種類型，一種是它的所有可能的取值可以一一列舉出來。例如上面提到的。這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。對(duì)于這樣的隨機(jī)變量，我們要搞清楚它可能取的每一個(gè)值，而且要求出取每一個(gè)值的概率。 例如，投擲一個(gè)硬幣100次，用X表示其中出現(xiàn)的正面次數(shù)，則所有可能的取值是0，1，2，……，100，且,所有可能取值的概率總和

22、必為1。,,對(duì)于隨機(jī)變量，我們常常會(huì)求它的取值的平均值，還要考慮它的取值的分散程度。,那么這個(gè)運(yùn)動(dòng)員的水平該怎樣評(píng)價(jià)呢？我們計(jì)算一下他打一槍平均來說可能的環(huán)數(shù)：,這個(gè)數(shù)叫隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。,例如，X表示一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)，則它是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)我們已經(jīng)知道X取每一個(gè)值的概率，如下表所示：,相對(duì)于數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的取值有時(shí)偏大，有時(shí)偏小，那么平均偏差該怎樣計(jì)算呢？先把這些偏差做平方，然后再平均。考慮到每一個(gè)偏差出現(xiàn)的可能性實(shí)

23、際上就是原先的取值對(duì)應(yīng)的概率，所以也要用求數(shù)學(xué)期望那樣的方法來求偏差平方的平均值。例如，上面的X，,由上表可見，偏差平方的平均值為,這個(gè)數(shù)叫隨機(jī)變量X的方差。,,,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了它取值的平均大小，是一個(gè)平均值； 隨機(jī)變量的方差反映了它相對(duì)于平均值而言的分散程度。方差越小，取值的分散程度越小。如果方差為0，那這個(gè)隨機(jī)變量就幾乎是一個(gè)常數(shù)。,例： 據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)下月有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0

24、.01。設(shè)工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案： 1、運(yùn)走設(shè)備，需花費(fèi)3800元； 2、建一保護(hù)墻，需花費(fèi)2000元。但無法抵御大洪水，大洪水來臨的話，設(shè)備受損，損失60000元； 3、不采取任何措施，祈禱不發(fā)生洪水。大洪水來臨損失60000元，小洪水來臨損失10000元。試比較哪種方案好。,解：分別用X,Y,Z表示三種方案下可能帶來的費(fèi)用，則都是隨機(jī)變量。我們把各個(gè)隨機(jī)變量的分布列在

25、下表里：,則E(X)=3800E(Y)=2600E(Z)=3100平均來說，方案二比較好。,第二部分 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)在我們國家有兩種意義：社會(huì)統(tǒng)計(jì) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)我們要討論的是數(shù)理統(tǒng)計(jì)。,引言 你要研究什么？研究對(duì)象——總體 由全體成員構(gòu)成。例如 1、某地區(qū)高中學(xué)生的身高發(fā)育情況 2、袁隆平新水稻品種的畝產(chǎn)量 3、某班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成

26、績 4、某個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績 5、姚明的技術(shù)水平（投籃，三分球，命中 率， 籃板等） 6、學(xué)習(xí)成績與性別的關(guān)系 7、紅樓夢(mèng)前80回與后40回的用字、用詞的 差異,為什么要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)？1、當(dāng)我們要對(duì)總體進(jìn)行研究時(shí)，由于種種原因，不

27、 可把每個(gè)個(gè)體的特征都記錄研究；2、不可能收集到所有數(shù)據(jù)；3、可能收集到所有數(shù)據(jù)，但是要花費(fèi)大量的財(cái)力物 力；4、即使收集到了所有的數(shù)據(jù)資料，面對(duì)大量的雜亂 無章的數(shù)據(jù)，不用科學(xué)的方法處理，我們也無法 得到想要得到的信息。,統(tǒng)計(jì)正是處理上面遇到的窘境的理想手段：1、怎樣收集數(shù)據(jù)資料；2、怎樣對(duì)收集到的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行科學(xué)的分析處理；3、合理解釋處理結(jié)果。,樣本

28、 從總體中抽取一部分個(gè)體出來，測(cè)量其相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)和特征并記錄。這一部分個(gè)體放到一起就叫做一個(gè)樣本。 一般來說，我們總是把測(cè)得的數(shù)據(jù)全體叫做樣本。 樣本中所考慮的個(gè)體的數(shù)目叫樣本容量。,例如：1、隨機(jī)抽查某地區(qū)100名高中二年級(jí)學(xué)生測(cè)量身高得到的200個(gè)數(shù)據(jù)； 2、將水稻新品種種植在其他條件相同的10塊試驗(yàn)田里，收割后測(cè)得的10個(gè)畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)；,第一節(jié) 抽樣方法 A、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

29、 從有N個(gè)個(gè)體的總體中不重復(fù)地取出n個(gè)個(gè)體，n<N，每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被抽到。抽簽法： 編號(hào)、制簽、攪勻、隨機(jī)抽簽k次隨機(jī)數(shù)表：省掉制簽、攪勻、隨機(jī)抽簽過程,隨機(jī)數(shù)表是一個(gè)重要工具。 它是一張由數(shù)字0到9構(gòu)成的數(shù)表，可能三個(gè)三個(gè)地由三位數(shù)構(gòu)成。也可能由四位數(shù)構(gòu)成 。 我們可以用某種編程語言產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)表。 用Excel就可以方便地產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)表：,1、在單

30、元格C1里輸入 =RAND() 產(chǎn)生一個(gè)0到1之間的隨機(jī)數(shù)，拖拽C1的填充柄就可以產(chǎn)生不同的隨機(jī)數(shù)。65536行，可產(chǎn)生大量隨機(jī)數(shù)。（0，1之間隨機(jī)數(shù)） 2、輸入 =INT(100*RAND())產(chǎn)生0到99之間的整隨機(jī)數(shù)。 （兩位隨機(jī)數(shù)）3、隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 選擇 工具——數(shù)據(jù)分析——隨機(jī)數(shù)發(fā)生器（隨機(jī)數(shù)） 4、 計(jì)算器可能會(huì)有不同的方法，要參考有關(guān)說明書。,B、系統(tǒng)抽樣 分成相同的n組，每

31、組隨機(jī)抽取一個(gè)。C、分層抽樣 總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成，各部分稱為層。根據(jù)比例在各層進(jìn)行抽樣。,第二節(jié) 總體分布的估計(jì)統(tǒng)計(jì)的任務(wù)： 在統(tǒng)計(jì)里我們感興趣的是：如果從總體中任取一個(gè)個(gè)體，這個(gè)個(gè)體的某個(gè)或幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)會(huì)有什么特征？我們不知道其指標(biāo)會(huì)是多少。統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是希望搞清楚，任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)會(huì)遵循什么規(guī)律。 當(dāng)然不會(huì)是一個(gè)確定性的規(guī)律，而是一個(gè)“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”

32、，就是一個(gè)具有概率意義的規(guī)律。例如某地某段時(shí)間里高溫出現(xiàn)概率；某校高一年級(jí)男生的身高在某個(gè)范圍里的概率。,從總體中任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)不知道會(huì)是多少，就把它作為一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)待。 對(duì)總體的研究，就是要達(dá)到搞清楚這個(gè)隨機(jī)變量的分布的目的。這就是統(tǒng)計(jì)的基本目的。 在概率論里，我們研究各種分布。在統(tǒng)計(jì)里，我們要利用樣本數(shù)據(jù)確定表示總體指標(biāo)的那個(gè)隨機(jī)變量到底應(yīng)該是什么分布。如果分布完全是已知的，那統(tǒng)計(jì)就沒有任何意義了。,

33、參數(shù)問題：對(duì)總體指標(biāo)的數(shù)字特征，比如數(shù)學(xué)期望，方差，中為數(shù)等的估算、刻畫。 非參數(shù)問題多個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系問題,所以，要知道我們會(huì)遇到的問題：刻劃總體分布刻劃總體數(shù)字特征刻劃各種關(guān)系 在所有的問題中，歸根結(jié)底是估計(jì)概率的問題，而估計(jì)概率最基本的方法，就是利用頻率。要計(jì)算頻率，就要抽樣——做實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)。,由于我們是從樣本出發(fā)做出的結(jié)論，結(jié)論勢(shì)必會(huì)有出錯(cuò)的可能。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的結(jié)論不同于

34、其他的結(jié)論，其精華就在于：在給出結(jié)論的同時(shí)，還會(huì)告訴你，這個(gè)結(jié)論出錯(cuò)的概率有多大。,總體分布的估計(jì)方法頻率分布表全距 組距 頻數(shù) 頻率 頻率/組距 頻率分布直方圖與折線圖 頻率直方圖,第三節(jié) 總體特征數(shù)的估計(jì) 總體分布的特征數(shù)有各種各樣，我們?cè)诟怕收摾锝兴鼈冏鲾?shù)字特征。例如數(shù)學(xué)期望，方差，中位數(shù)，眾數(shù)，等等。 在統(tǒng)計(jì)里這些往往都是不知道的。統(tǒng)計(jì)的任務(wù)之一就是利用樣本數(shù)

35、據(jù)來估計(jì)這些數(shù)字特征。在這里就是要向?qū)W生介紹其中最基本的幾種估計(jì)量。,A、平均數(shù)的估計(jì) 平均數(shù)指總體X平均數(shù)，即數(shù)學(xué)期望E(X)，一般用希臘字母μ表示。怎樣用樣本值來估計(jì)這個(gè)數(shù)呢？ 設(shè)我們得到的樣本為,,那么我們就用,來做為μ的估計(jì)值，有時(shí)記為,這個(gè)公式叫做樣本均值或樣本平均數(shù)。,在統(tǒng)計(jì)研究中我們正是要討論這種公式的意義和價(jià)值，而不會(huì)對(duì)具體的計(jì)算結(jié)果說它的優(yōu)劣。 為什么？因?yàn)樵俸玫墓揭矔?huì)有計(jì)算出

36、糟糕結(jié)果的時(shí)候。例如抽樣的時(shí)候碰巧樣本取的不好，這是有可能的。,樣本均值的最大優(yōu)點(diǎn)有兩個(gè)，無偏性和最小方差性：,總體X的方差是,描述了總體取值相對(duì)于其平均值μ的離散程度。我們要估計(jì)方差，就要先算出μ的估計(jì)來，然后看看樣本值相對(duì)于這個(gè)估計(jì)值的離散程度有多大。所以就用,,作為總體方差的估計(jì)值。這就是樣本方差。對(duì)其開方，就得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差。,例如，要對(duì)一種新的水稻品種和一種老的品種做比較，看看新品種到底好不好，怎樣比？我們需要進(jìn)行抽樣，得到

37、樣本： 對(duì)每個(gè)品種種植試驗(yàn)，例如，新品種種m塊試驗(yàn)田，得到m個(gè)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)，老品種種n塊試驗(yàn)田，得到n個(gè)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)。我們就有了兩個(gè)樣本。 分別計(jì)算相應(yīng)的樣本均值和樣本方差。樣本均值越大越好，樣本方差則越小越好。,MODE鍵 +3鍵：進(jìn)入統(tǒng)計(jì)模式SHIFT鍵+KAC鍵：開始輸入數(shù)據(jù)每輸入一個(gè)數(shù)據(jù)按一次 DATA鍵輸完后，KOUT鍵+n鍵，顯示數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)SHIFT+1鍵：顯示樣本均值SHIFT+2鍵：顯示

38、樣本標(biāo)準(zhǔn)差，再按平方鍵可得樣本方差。 KOUT+2鍵可計(jì)算樣本值的總和,叫回歸方程。,,第四節(jié) 線性回歸方程 有兩個(gè)量 x 和 y，x 的變化會(huì)導(dǎo)致 y 發(fā)生變化。但是，并不是每一個(gè)x值唯一地對(duì)應(yīng)一個(gè)y值，即使已知x的取值，也無法完全確定y的取值，它有隨機(jī)性。y與x之間不是我們以前學(xué)過的函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系我們叫相關(guān)關(guān)系。對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的 y 和 x ，我們?cè)鯓永脭?shù)學(xué)知識(shí)比較準(zhǔn)確地刻畫它們之間的關(guān)系呢？

39、我們希望能夠搞清楚，如果不考慮隨機(jī)因素，y與x之間的確定性關(guān)系是什么？,.,叫回歸方程。,這就是傳說中的回歸模型。相應(yīng)的函數(shù)叫回歸函數(shù)，而把,設(shè)這個(gè)確定性關(guān)系可以用函數(shù)f(x)表示。那么y與x之間的相關(guān)關(guān)系應(yīng)該用下式來刻畫：,回歸分析的基本理論任務(wù)有三個(gè)：1、確定到底有沒有這種回歸關(guān)系？2、如果有，回歸函數(shù)是什么樣子的？3、誤差項(xiàng)作為隨機(jī)變量服從什么分布？至少應(yīng)該估 計(jì)出它的數(shù)學(xué)期望和方差。至于它的

40、應(yīng)用，非常廣泛。,為了解決以上問題，必須有樣本！作n次觀測(cè)，每次觀測(cè)一個(gè)x值和它相應(yīng)的y值，依次記為,這就是樣本。在這一章我們假設(shè)已經(jīng)得到了樣本，下面解決相應(yīng)的問題。樣本一般用一張表列出。,,的形式。這樣的回歸分析叫線性回歸分析，相應(yīng)的關(guān)系叫線性回歸關(guān)系。,我們要先考慮選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后看看這個(gè)函數(shù)是不是合適。在中學(xué)課本里，我們選擇線性函數(shù)，就是取,如果y與x之間完全沒有任何線性依賴關(guān)系，那么給定x對(duì)計(jì)算y沒有任何意義。這時(shí)b自然

41、應(yīng)該是0。所以在線性回歸里如果b幾乎是0，那么線性回歸就沒有什么意義了。,我們也正是通過數(shù)據(jù)計(jì)算這兩個(gè)系數(shù)的，而且也是通過判斷 b與 0的接近程度來判斷 y 與 x 之間有沒有線性回歸關(guān)系的。,散點(diǎn)圖,回歸系數(shù)的計(jì)算選用怎樣的直線最好呢？假如我們選定了一條直線是,那么如果不考慮隨機(jī)因素，把x帶入這個(gè)方程計(jì)算出來的,應(yīng)該與觀測(cè)到的y值越接近越好。如果把樣本里的所有x的取值依次帶入，就可以計(jì)算得到相應(yīng)的,好的直線應(yīng)該使得這里計(jì)算出來的值

42、與相應(yīng)的觀測(cè)值,相差不大。,把所有的誤差的平方累積起來就是,我們要取這樣的,，使得,達(dá)到最小。,最小二乘思想,,,,其中,不難看出，為使,達(dá)到最小，只要取,就可以了。而且這時(shí),達(dá)到最小值,。,我們得到的回歸直線為,,帶入到此方程，即可得到一個(gè)相應(yīng)的,此值可以看作是,的計(jì)算值。,把樣本中的,,,我們把,叫做殘差平方和。回歸直線就是使殘差平方和達(dá)到最小的那條直線。,越小，說明直線回歸越好。這就部分地解決了我們判斷線性回歸好不好的問題。,,這

43、里還得到一個(gè)副產(chǎn)品：,從而,,,所以,相關(guān)系數(shù),,,可見,|r|越接近于1，直線回歸越好。,如果|r|接近于1，F(xiàn)值就會(huì)比較大。但是如果沒有線性相關(guān)關(guān)系，F(xiàn)值較大的可能性很小。所以據(jù)此判斷有線性相關(guān)關(guān)系。,事實(shí)上，如果沒有線性相關(guān)關(guān)系，那么,例：教材73頁例一的數(shù)據(jù)。用 Excel計(jì)算：1、輸入數(shù)據(jù)2、作散點(diǎn)圖：插入—圖表—散點(diǎn)圖3、作回歸方程：激活散點(diǎn)圖—點(diǎn)一個(gè)散點(diǎn)—右鍵—添加趨勢(shì)線—線性—選項(xiàng)卡—顯示公式，R平方值回歸,也可

44、以用計(jì)算器：MODE+2 進(jìn)入回歸狀態(tài)1、輸入數(shù)據(jù)：SHIFT+KAC(即開關(guān)鍵)開始輸入數(shù)據(jù)：95+(xD,yD)(四排一鍵)+6.2+DATA鍵(最后一鍵)這樣就完成一對(duì)數(shù)的輸入。重復(fù)地輸入所有數(shù)據(jù)；2、SHIFT+A (即7鍵) 給出 a，SHIFT+B (即8鍵)給出b；3、SHIFT+r(即9鍵)給出相關(guān)系數(shù)；4、輸入一個(gè)x值+y^鍵(四排二鍵)給出對(duì)應(yīng)的y的預(yù)測(cè)值；5、輸入一個(gè)y值+SHIFT+x^鍵(四排二鍵

45、)給出對(duì)應(yīng)的x的控制值。,第五節(jié) 獨(dú)立性檢驗(yàn),美國在殺人犯的死刑判決中存在種族差異?一位叫Radelet的研究人員對(duì)此進(jìn)行了研究。 怎樣研究？ 總體：美國殺人犯 問題：A表示殺人犯是白人， B表示被判處死刑。A,B這兩個(gè)隨機(jī)事件是否獨(dú)立?,A,B如果獨(dú)立，則,這些式子用一句話說就是： 殺人犯是白人還是黑人和判不判死刑沒有關(guān)系我們?cè)鯓觼砼袛噙@個(gè)言論的對(duì)錯(cuò)呢？,用統(tǒng)計(jì)

46、的方法，估計(jì)上面涉及到的每一個(gè)概率，看看估計(jì)的結(jié)果和上面的等式之間會(huì)不會(huì)發(fā)生沖突。 所以，首先要抽樣。,在殺人犯中任取326人，其中白人160名，黑人166名。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：160名白人中有19人被判死刑，141人未判死刑； 166名黑人中有17人被判死刑，149人未判死刑。 為了便于說明，我們把這些數(shù)據(jù)總結(jié)在如下的表格中：,我們先列出上面提到的所有概率的估

47、計(jì)值：,,,,,,,,,如果A,B相互獨(dú)立，那么下面各數(shù)都不應(yīng)該太大：,,,,如果A,B相互獨(dú)立，則當(dāng)n比較大時(shí)，有,,,,,，,，,都是小概率事件,所以，如果我們把表里的數(shù)據(jù)代到公式里求出的,大于其中的某個(gè)數(shù)，我們就有理由做出,A,B不相互獨(dú)立,的結(jié)論。,在死刑問題里,小概率事件沒有發(fā)生。所以我們沒有理由否定 A,B相互獨(dú)立的結(jié)論，認(rèn)為數(shù)據(jù)不能充分說明在死刑判決中存在種族