第十二章微分方程-上海中醫(yī)藥大學(xué)

1、微分方程,第六章,— 積分問題,,— 微分方程問題,推廣,6.1 微分方程的基本概念,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,微分方程的基本概念,引例,,,幾何問題,物理問題,引例1.,一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的,解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:,①,(C為任意常數(shù)),由 ② 得 C = 1,,因此所求曲線方程為,,②,由 ① 得,切線斜率為 2x , 求該曲線的方程

2、 .,6.1.1 引出微分方程的兩個(gè)實(shí)例,引例2. 列車在平直路上以,的速度行駛, 制動(dòng)時(shí),獲得加速度,求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,解: 設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米 ,,已知,由前一式兩次積分, 可得,利用后兩式可得,因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,說明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才,能停住 ,,以及制動(dòng)后行駛了多少路程 .,即求 s = s (t) .,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,常微分方程,偏

3、微分方程,含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程,(本章內(nèi)容),( n 階顯式微分方程),6.1.2 微分方程,一般地 , n 階常微分方程的形式是,的階.,,分類,或,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,— 使方程成為恒等式的函數(shù).,通解,— 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程,— 確定通解中任意常數(shù)的條件.,n 階方程的初始條件(或初值條件):,的階數(shù)相同.,特解

4、,,通解:,特解:,微分方程的解,— 不含任意常數(shù)的解,,初始條件,,其圖形稱為積分曲線.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,例1. 驗(yàn)證函數(shù),是微分方程,的解,,的特解 .,解:,這說明,是方程的解 .,是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),,利用初始條件易得:,故所求特解為,故它是方程的通解.,并求滿足初始條件,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求所滿足的微分方程 .,例2. 已知曲線上點(diǎn) P(x,

5、y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q,,解: 如圖所示,,令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo),即,,,,點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為,且線段 PQ 被 y 軸平分,,轉(zhuǎn)化,6.2.1 可分離變量微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6.2 常見微分方程的解法,解分離變量方程,可分離變量方程,,分離變量方程的解法:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,分離變量:,兩邊積分:,

6、例1. 求微分方程,的通解.,解: 分離變量得,兩邊積分,得,,即,( C 為任意常數(shù) ),,,或,,,,,說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,,因此可能增、,減解.,,( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 解初值問題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,,( C 為任意常數(shù) ),故所求特解為,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下

7、頁 返回 結(jié)束,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,則,故有,即,解得,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí):,解: 分離變量,即,( C < 0 ),例4.,子的含量 M 成正比,,求在,衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律.,解: 根據(jù)題意, 有,(初始條件),對(duì)方程分離變量,,即,利用初始條件, 得,故所求鈾的變化規(guī)律為,然后積

8、分:,已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為,已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)?,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例5.,成正比,,求,解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程,初始條件為,對(duì)方程分離變量,,然后積分 :,得,利用初始條件, 得,代入上式后化簡(jiǎn), 得特解,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為0,,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.,t 足夠大時(shí),機(jī)動(dòng)

9、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 有高 1m 的半球形容器, 水從它的底部小孔流出,,開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,,從小孔流出過程中, 容器里水面的高度 h 隨時(shí)間 t 的變,解: 由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為,即,求水,小孔橫截面積,化規(guī)律.,設(shè)在,內(nèi)水面高度由 h 降到,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對(duì)應(yīng)下降體積,,因此得微分方程定解問題:,將方程分離變量:,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

10、 下頁 返回 結(jié)束,兩端積分, 得,利用初始條件, 得,因此容器內(nèi)水面高度 h 與時(shí)間 t 有下列關(guān)系:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,2. 可分離變量方程的求解方法:,說明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 .,例如, 方程,分離變量后積分;,根據(jù)定解條件定常數(shù) .,解;,階;,通解;,特解,y =

11、– x 及 y = C,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如: P263,5(2) ),2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ),3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程 ( 如: 例6 ),(2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.,(3) 求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解.,3. 解微分方程應(yīng)用題

12、的方法和步驟,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分離變量,(2) 方程變形為,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6.2.2 齊次方程,形如,的方程叫做齊次方程 .,令,代入原方程得,兩邊積分, 得,積分后再用,代替 u,,便得原方程的通解.,解法:,分離變量:,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,得,故原方程的通

13、解為,( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解),( C 為任意常數(shù) ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 解微分方程,解:,則有,分離變量,積分得,代回原變量得通解,即,說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 為任意常數(shù)),求解過程中丟失了.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6.2.3 一階線性微分方程,一階線性微分方

14、程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若 Q(x) ? 0,,稱為非齊次方程 .,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2. 解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,,,即,即,作變換,,,,,兩端積分得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 解方程,解: 先解,即,積分得,即,用常數(shù)變易

15、法求特解. 令,則,代入非齊次方程得,解得,故原方程通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6.2.4 伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,令,,求出此方程通解后,,除方程兩邊 , 得,換回原變量即得伯努利方程的通解.,解法:,(線性方程),,例2. 求方程,的通解.,解: 令,則方程變形為,其通解為,將,代入, 得原方程通解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

16、束,內(nèi)容小結(jié),1. 一階線性方程,方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.,方法2 用通解公式,化為線性方程求解.,2. 伯努利方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),判別下列方程類型:,提示:,可分離 變量方程,,,齊次方程,,線性方程,,線性方程,,伯努利方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,( 雅各布第一 · 伯努利 ),書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有

17、用,,伯努利(1654 – 1705),瑞士數(shù)學(xué)家,,位數(shù)學(xué)家.,標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,,1695年,版了他的巨著《猜度術(shù)》,,上的一件大事,,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,,,他家祖孫三代出過十多,1694年他首次給出了直角坐,1713年出,這是組合數(shù)學(xué)與概率論史,此外, 他對(duì),雙紐線, 懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究 .,6.2.6 二階常系數(shù)線性微分方程,二階線性微分方程的一般形式,二

18、階線性齊次微分方程,證畢,1、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次方程,的兩個(gè)解,,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊, 得,(疊加原理),,定理1.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,不一定是所給二階方程的通解.,例如,,是某二階齊次方程的解,,也是齊次方程的解,并不是通解,但是,則,為解決通解的判別問題,,,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與,線性無關(guān)概念.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

19、 結(jié)束,定義:,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個(gè)函數(shù),,使得,則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān),,否則稱為線性無關(guān).,例如，,在(?? , ?? )上都有,故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都線性相關(guān);,若存在不全為 0 的常數(shù),兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:,線性相關(guān),存在不全為 0 的,使,線性無關(guān),,常數(shù),思考:,中有一個(gè)恒為 0, 則,必線性,,相關(guān),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理 2.

20、,是二階線性齊次方程,的兩個(gè)線性無關(guān)特解, 則,數(shù)) 是該方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,,常數(shù),,故方程的通解為,是二階非齊次方程,的一個(gè)特解,,Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,,定理 3.,則,是非齊次方程的通解 .,證: 將,代入方程①左端, 得,,,,②,①,復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,是非齊次方程的解,,又Y 中含有,兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),,例如, 方程,有特解,對(duì)應(yīng)齊次方程,有通解,因此

21、該方程的通解為,證畢,因而 ② 也是通解 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:,①,特征方程:,實(shí)根,,,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解為,例2. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問題的解為,,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6.2.7 二階常系數(shù)非齊次

22、 線性微分方程,一、,二、,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,,的待定形式,,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) .,①,— 待定系數(shù)法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、,? 為實(shí)數(shù) ,,設(shè)特解為,其中 為待定多項(xiàng)式 ,,代入原方程 , 得,,(1) 若 ? 不是特征方程的根,,則取,從而得到特解

23、,形式為,,,,,,為 m 次多項(xiàng)式 .,,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式,(2) 若? 是特征方程的單根 ,,為m 次多項(xiàng)式,,故特解形式為,(3) 若 ? 是特征方程的重根 ,,是 m 次多項(xiàng)式,,故特解形式為,,,即,即,,例1.,的一個(gè)特解.,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根 .,設(shè)所求特解為,代入方程 :,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,的通解