第十二章微分方程

1、,主講教師：高彥偉,,總課時(shí)：,124,,第一百一十二講,常微分方程,高等數(shù)學(xué),吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育,微分方程,第六章,— 積分問題,,— 微分方程問題,推廣,第6章,,微分方程的基本概念,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,§1,了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解的基本概念,第6章,引例.,一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的,解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系

2、式:,①,(C為任意常數(shù)),由 ② 得 C = 1,,因此所求曲線方程為,,②,由 ① 得,切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,常微分方程,偏微分方程,含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程,(本章內(nèi)容),( n 階顯式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 階常微分方程的形式是,的階.,,分類,或,機(jī)動(dòng) 目

3、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,— 使方程成為恒等式的函數(shù).,通解,— 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程,— 確定通解中任意常數(shù)的條件.,n 階方程的初始條件(或初值條件):,的階數(shù)相同.,特解,,通解:,特解:,微分方程的解,— 不含任意常數(shù)的解,,定解條件,,其圖形稱為積分曲線.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,第6章,例1. 驗(yàn)證函數(shù),是微分方程,的解,,的特解 .,解:,這說明,是

4、方程的解 .,是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),,利用初始條件易得:,故所求特解為,故它是方程的通解.,并求滿足初始條件,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,,主講教師：高彥偉,,總課時(shí)：,124,,第一百一十三講,常 微 分 方 程,高等數(shù)學(xué),吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育,,可分離變量微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,§2,解變量可分離方程,變量可分離的微分方程,第6章,分離變量方程的解法

5、:,設(shè) y＝? (x) 是方程①的解,,兩邊積分, 得,①,則有恒等式,,,②,當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 時(shí),,說明由②確定的隱函數(shù) y＝?(x) 是①的解.,則有,稱②為方程①的隱式通解, 或通積分.,同樣,當(dāng)F’(x),= f (x)≠0 時(shí),,上述過程可逆,,由②確定的隱函數(shù) x＝?(y) 也是①的解.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,例1. 求微分方程,的通解.,

6、解: 分離變量得,兩邊積分,得,,即,( C 為任意常數(shù) ),,,或,,,,,說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形,,因此可能增、,減解.,,( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,例2. 解初值問題,解: 分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得 C = 1,,( C 為任意常數(shù) ),故所求特解為,,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

7、,第6章,例3:,解法 1 分離變量,即,( C < 0 ),解法 2,故有,積分,( C 為任意常數(shù) ),所求通解:,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,內(nèi)容小結(jié),1. 微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,2. 可分離變量方程的求解方法:,說明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 .,例如, 方程,分離變量后積分;,根據(jù)定解條件定常數(shù) .,解;,階;,

8、通解;,特解,y = – x 及 y = C,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,練 習(xí),1.已知一階微分方程,（1）求通解；,（2）求它過點(diǎn)（1，4）的特解；,（3）求出與直線,相切的解。,解：,（1）方程變形為,將方程兩端積分，有,（2）將點(diǎn)（1，4）代入通解，得,所求特解為,（3）解方程組,由于相切，故根的判別式,所求曲線為,2. 求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分離變量,(2) 方程變形為

9、,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,,主講教師：高彥偉,,總課時(shí)：,124,,第一百一十四講,常微分方程,高等數(shù)學(xué),吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育,,齊次方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,會(huì)識(shí)別齊次方程，會(huì)求其解,第6章,§3,齊次方程的定義,形如,的方程叫做齊次方程 .,令,代入原方程得,兩邊積分, 得,積分后再用,代替 u,,便得原方程的通解.,解法:,分離變量:,機(jī)動(dòng) 目

10、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,例1. 解微分方程,解:,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,得,故原方程的通解為,( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解),( C 為任意常數(shù) ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,例2. 解微分方程,解:,則有,分離變量,積分得,代回原變量得通解,即,說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C

11、為任意常數(shù)),求解過程中丟失了.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,例3. 解微分方程,解:,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,故原方程的通解為,( C 為任意常數(shù) ),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,,主講教師：高彥偉,,總課時(shí)：,124,,第一百一十五講,常微分方程,高等數(shù)學(xué),吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育,,一階線性微分方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一

12、、一階線性微分方程的形式,第6章,二、掌握求通解的計(jì)算公式,§4,一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若 Q(x) ? 0,,稱為非齊次方程 .,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2. 解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,,,即,即,作變換,,,,,兩端積分得,機(jī)動(dòng) 目錄

13、 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,例1. 解方程,解: 先解,即,積分得,即,用常數(shù)變易法求特解. 令,則,代入非齊次方程得,解得,故原方程通解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,,例2. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同號(hào),,由一階線性方程通解公式 , 得,,故方程可,變形為,,,,所求通解為,,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,內(nèi)容小結(jié),一

14、階線性方程,方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.,方法2 用通解公式,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,練 習(xí),1.判別下列方程類型:,提示:,可分離 變量方程,,,齊次方程,,線性方程,,線性方程,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,2. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),使其滿足下列方程:,提示:,,,令,,則有,,利用公式可求出,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

15、 結(jié)束,第6章,2. 設(shè)有微分方程,其中,,試求此方程滿足初始條件,的連續(xù)解.,解: 1) 先解定解問題,,利用通解公式, 得,利用,得,故有,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,2) 再解定解問題,,此齊次線性方程的通解為,利用銜接條件得,,因此有,3) 原問題的解為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,,主講教師：高彥偉,,總課時(shí)：,124,,第一百一十六講,常微分方程,高

16、等數(shù)學(xué),吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育,,一階微分方程的解法練習(xí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、一階微分方程求解,二、解微分方程應(yīng)用問題,第6章,一、一階微分方程求解,關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟,三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型:,可分離變量方程,,齊次方程,,線性方程,.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故為分離變量方程:,通解,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

17、 下頁 返回 結(jié)束,第6章,方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 ,,令 y = u x ,化為分,離變量方程.,,,調(diào)換自變量與因變量的地位 ,,用線性方程通解公式求解 .,化為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,提示：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第6章,例3.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)F(x)＝f (x) g(x), 其中函數(shù) f(