中小學概率統(tǒng)計教學研究

1、華東師大初中教材概率統(tǒng)計的新安排,華東師范大學數(shù)學系 李俊,,,概率統(tǒng)計在人教版新課程中所占課時數(shù)與百分比,華東師大初中62/414=15%,8年級教過數(shù)據(jù)表示、數(shù)據(jù)分析和概率的學生百分比1999,,,,,,測試題：用統(tǒng)計表表達下列信息,2002年部分地區(qū)錄像制品出版情況如下：北京： VCD種數(shù)為361種，數(shù)量為1476.0萬盒；DVD種數(shù)為32種，數(shù)量為54.4萬盒。上海： VCD種數(shù)為622種，數(shù)量為318.3萬盒；DVD

2、種數(shù)為33種，數(shù)量為20.8萬盒。廣東： VCD種數(shù)為1565種，數(shù)量為3244.7萬盒；DVD種數(shù)為159種，數(shù)量為312.4萬盒。,學生均未專門學過統(tǒng)計表的知識,2002年部分地區(qū)錄像制品出版情況統(tǒng)計表,,圖表的標題；分類并給欄目起名；選擇合適的統(tǒng)計圖表,利用概率知識幫助判案,在瑞典的一次庭審中，管理泊車的警察作證說他記錄了一輛車某一邊的兩個輪胎氣閥的位置。后來等他重新回到該處時，氣閥還在原來的位置。（這個警察的做法是把氣閥的位置記

3、成最接近的“鐘點”位置。例如在下圖中，氣閥是在“10:00”和“3:00”。）在這種情況下他開了一張超時泊車的罰單。但是車主卻聲稱他已經在其間用過車子，只不過?；氐搅嗽瓉淼牟窜囄弧?駕車人被判無罪,2004河南省中考題,在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺階，如下圖所示是其中的甲、乙臺階路的示意圖。請你用所學過的統(tǒng)計知識(平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標準差等)回答下列問題：(1) 兩段臺階路有哪些相同點和不同點?(2) 哪段臺

4、階路走起來更舒服?為什么?(3)為方便游客行走，需要重新整修上山的小路，對于這兩段臺階路臺階數(shù)不變的情況下，請你提出合理的整修建議。,,,三個問題,（1）求20，21，21，22，22，22，22，23，23.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）9位學生的鞋號由小到大是： 20，21，21，22，22，22，22，23，23.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個指標是鞋廠最不感興趣的？哪個指標是鞋廠最感興趣的？（3）某鞋廠在你們

5、全年級中隨機抽取2個班級，調查并記錄每個學生的鞋號，你認為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個指標是鞋廠最不感興趣的？哪個指標是鞋廠最感興趣的？鞋廠據(jù)此調查數(shù)據(jù)組織生產一定與現(xiàn)在你們全年級學生所需各種尺碼鞋子的數(shù)量一致嗎？,全國標準、上海市標準、美國標準,到小學高年級，3份標準的分化開始顯現(xiàn)。開展統(tǒng)計活動，學習統(tǒng)計圖表并用于交流，這是3份課程標準共同的內容。全國課程標準提出了“理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義”，但上海市的標準沒有學習中位

6、數(shù)和眾數(shù)的要求，把它移后到初中階段。上述這些是我們都熟悉的安排，但美國標準令我們感到意外。首先，除了學習各式統(tǒng)計圖表之外，它還要求學生注意觀察數(shù)據(jù)的分布，最小值、最大值分別是什么，數(shù)據(jù)比較集中在哪一段上，對兩組數(shù)據(jù)的分布進行比較。其次，除了要求學生知道中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)各反映了一組數(shù)據(jù)的什么特征并恰當選用外，美國標準在這個階段把重點放在中位數(shù)上，因為它認為理解平均數(shù)意義是比較困難的，需要用較長時間來學習。,,,人民教育出版社教材一例,

7、案例77 探索平均數(shù)的意義,假設我們得到了2個數(shù)據(jù)。令 為平均數(shù)，證明 a是x與y這2個數(shù)據(jù)差的平方和達到最小的實數(shù)，即對任意的實數(shù)b有 ≤ 。[說明] 平均數(shù)使誤差平方和達到最小。,,,,初中階段的統(tǒng)計 差異更加明顯,初中階段的統(tǒng)計，在描述數(shù)據(jù)的工具方面，美國課程標準引入了我國初中標準中沒有的莖葉圖、箱線圖、散點圖，并利用這些新的數(shù)據(jù)

8、表示法繼續(xù)學習兩個總體特征的比較、不同樣本同一特征的比較，對同一樣本內兩個變量之間關系做出猜測，等等。這里有些內容如莖葉圖、散點圖、變量之間關系都是我國高中統(tǒng)計教學的內容。我國的兩份標準在初中階段要求學習加權平均數(shù)、方差等統(tǒng)計量，學習頻數(shù)分布直方圖。國家標準明確有抽樣調查的要求，要求學生體會抽樣的必要性和樣本估計總體的思想，但上海市標準雖多次提到統(tǒng)計的意義和統(tǒng)計與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，卻沒有提抽樣調查，“總體與樣本和隨機抽樣方法”等是安排在高

9、中學習的，所以教學重點似乎還是數(shù)據(jù)整理（如中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差等概念）與統(tǒng)計圖表的制作與信息讀取。,,,修改稿案例79 身高比較,比較自己班級與別的班級同學的身高狀況。[說明]對于兩個班級學生身高狀況比較，通常可以通過平均值來判斷，但有時候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個班同學之間身高差異很大，而另一個班同學之間身高差異很小，即使前一個班的平均高一些，也不能說這個班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時，不僅要看平均值，還需要

10、參考方差。通過數(shù)據(jù)之間的比較，可以引導學生逐漸深入地進行數(shù)據(jù)分析，從而理解數(shù)據(jù)分析的道理。因為計算量比較大，可以利用計算器或者計算機。如果學生基礎比較好，可以進一步要求學生把身高分段，畫出頻數(shù)直方圖，并引導學生討論：通過直方圖是否能得到更多的信息？,初中生能夠學習散點圖并直觀地判斷變量之間的關系嗎？,下圖是根據(jù)某一小隊學生的身高體重所繪制的統(tǒng)計圖，觀察圖形，回答下列問題：1、這一組中，身高最高的同學體重大致為

11、 公斤；最矮的同學體重大致有 公斤；2、這一組中，身高最高的同學是體重最重的嗎？ ；身高最矮的同學是最輕的嗎？ ；3、觀察上圖，請你描述一下這組同學身高與體重的關系？,,關琪的研究結果,她對上海市區(qū)一所初中的217名沒有學過統(tǒng)計初步的6～8年級學生的調查發(fā)現(xiàn)，學生并沒有因為以前沒學過這一類型的統(tǒng)計圖而感到困難，在一道要求學生讀取一張散點圖的數(shù)據(jù)信息之后再描述一下這組同學身高與體

12、重的關系的測試題中，除6年級普通班的學生讀取信息正確率在52％，6年級重點班學生正確率在71％外，其余7、8年級學生的正確率均在80％以上，但是，這些學生中的絕大多數(shù)都沒有給出 “身高體重成正比例關系” 或類似的回答，據(jù)訪談和學生答卷分析得知，有一部分學生認為要成正比例關系，那么所有的點就應該都在一條直線上，但是因為給出的散點圖不滿足這個要求，所以不能說身高與體重有什么關系。,抽樣調查要不要在初中教,美國：1989年的標準是把抽樣和推斷

13、安排在5－8年級，2000年的標準是安排在6－8年級。全國初中新課程教材實驗情況巴桑卓瑪博士論文中的發(fā)現(xiàn) 她對1847位來自1－8年級共八個年級的中小學生進行了測試問卷調查，獲得有效問卷1256份。她的其中一個研究內容是學過統(tǒng)計（已進入新課程實驗）和沒學過統(tǒng)計（尚未進入新課程實驗）的學生對樣本和抽樣方法的認識情況，具體地，她考察了學生如何直觀地認識樣本大小、他們怎么選擇樣本和他們如何判斷樣本的好壞這三個方面。,她的發(fā)現(xiàn)是,樣本知識

14、需要教，否則學生不理解。學過和沒有學過統(tǒng)計的1～2年級的學生基本不理解樣本，他們認為調查就要問所有人，不理解總體與樣本的關系。學過和沒有學過統(tǒng)計的1～4年級的學生對樣本的理解水平沒有統(tǒng)計意義的差異。學生比較容易認識樣本要具有代表性，但不太容易認識樣本具有隨機性的重要。學過統(tǒng)計的4～8年級的學生認識到樣本隨機性的學生比例明顯高于沒有學過統(tǒng)計的同齡學生，但在此比例最高的學過統(tǒng)計的8年級學生中，也只有16％，在沒有學過統(tǒng)計的學生中各年級均不

15、超過2％。非隨機的分層抽樣思想從3年級起明顯增多，在沒學過統(tǒng)計的初中生中大概占50%左右，在學過統(tǒng)計的初中生中，這個比例大約是 80%。,具有隨機抽樣思想,具有分層抽樣思想（非隨機）,概率教學要求,美國標準,與我國國家課程標準一樣，概率教學持續(xù)的時間是所有學段。在其2000年的那份標準中，它要求學前期至二年級，討論與學生經驗相關的可能與不可能的事件。在三至五年級，對事件可能或不太可能發(fā)生進行描述，并用肯定、等可能和不可能等討論事件發(fā)生

16、的可能程度；預測簡單實驗結果的概率值并驗證預測的結果；理解一個事件發(fā)生的概率可以用0～1來表示。在六至八年級，要求理解并運用適合的術語來描述互補事件（即對立事件）和互斥事件（即不相容事件）；用比例及對概率的基本理解來對試驗和模擬結果做出推測；使用有組織的列表、樹形圖和面積模型計算簡單的復合事件的概率。與我國國家標準要求相比，內容大體一樣，對概率教學的安排呈現(xiàn)以下三個層次：體驗不確定現(xiàn)象、定性描述可能性、定量描述概率，只是互補事件和互斥事

17、件這兩個概念我們安排在高中教。,概率教學有沒有必要這么長,有教師反映：小學低年級、高年級學生在拋硬幣，初中生還在拋硬幣，師生早就沒興趣了 可以在小學高年級到初中這段時間學完，整合 巴桑卓瑪發(fā)現(xiàn)：學過和沒有學過統(tǒng)計的一至八年級的學生對根據(jù)已有的生活經驗區(qū)分確定性和不確定性的認識水平沒有差異，而且所有年級的學生理解的比例達到 95%-100%。 全部集中安排在初中好不好？確定性數(shù)學思維訓練的影響；教育應該促進發(fā)展；需要充裕的教學時間

18、,2003年和2005年分別對數(shù)學課程的實施情況和有關數(shù)學課程改革問題進行問卷調查。 2005年調查： 72.4％的教師認同《數(shù)學標準》，認同程度城鄉(xiāng)沒有差異，而中小學之間存在差異，小學教師要比中學教師的認同程度高 51.4%的教師認為新教材內容偏難。“教材中有的題綜合性太強，還有的問題太多、繁瑣，學生不能達到所要求的能力?！薄坝行﹥热葸^于超前，超過了學生已有的生活經驗。”“數(shù)學教材對知識的要求，難度高于《數(shù)學標準》。” 39.5%