高斯型求積公式

1、第七章 微積分的數(shù)值計算方法,Numerical Analysis,7.3 高斯型求積公式,問題: 是否有比等距節(jié)點的Newton-Cotes型求積公式 更高代數(shù)精度的求積公式? 最高能達到多大?,度,,5,為具有一般性，研究帶權積分,求積公式為,,為不依賴于 的求積系數(shù).,(1),為求積節(jié)點，,可適當選取,使（1）具有 次代數(shù)精度.,問題,如果求積公式(1)

2、 具有 次代數(shù)精度，,則稱其節(jié)點 為高斯點，相應公式(1)稱為高斯求積公式.,定義,如何構造高斯求積公式？,根據(jù)定義要使(1) 具有 次代數(shù)精度，只要對,令(1)精確成立，,,可以由上式求出,試構造下列積分的高斯求積公式：,例,,令公式(1)對于 準確成立，,,由于非線性方程

3、組，通常 就很難求解.,而從分析高斯點的特性來構造高斯求積公式.,高斯點的基本特性,盡管高斯點的確定原則上可以化為代數(shù)問題，但是由于所歸結的方程組是非線性的，而它的求解存在實質(zhì)性的困難，所以我們要從研究高斯點的基本特性著手解決高斯公式的構造問題。,高斯點與正交多項式的零點,（2）,11,,因,即有,故(2)成立.,充分性.,用 除 ，,記商為,余式為,即

4、 ,,其中 .,對于,由(2)可得,證明,必要性.,設,則,（3）,12,由于求積公式(1)是插值型的，它對于 是精確的，,即,再注意到,知,從而由(3)有,,13,可見求積公式(1)對一切次數(shù)不超過 的多項式均精確成立. 因此， 為高斯點.,定理表明在

5、上帶權 的 次正交多項式的零點就是求積公式(1)的高斯點.,有了求積節(jié)點 ，再利用,對 成立，,解此方程則得,,14,Gauss型求積公式的構造方法,(1)求出區(qū)間[a,b]上權函數(shù)為 正交多項式pn+1(x) .,(2)求出pn+1(x)的n個零點x0 , x1 , … xn 即為Gauss點.,(3)計算積分系數(shù) 。,,,常見

6、的正交多項式及高斯求積公式,勒讓德多項式(Legendre)切比雪夫多項式(Chebyshev)拉蓋爾多項式(Laguerre)埃爾米特多項式 (Hermite ),高斯-勒讓德求積公式,2. Legendre多項式的性質(zhì):,19,令它對 準確成立，即可定出,這樣構造出的一點高斯-勒讓德求積公式,是中矩形公式.,若取 的零點 作為節(jié)點構造求積公式,再取 的兩個零點

7、 構造求積公式,20,令它對 都準確成立，有,由此解出,三點高斯-勒讓德公式的形式是,列出了高斯-勒讓德求積公式的節(jié)點和系數(shù).,從而得到兩點高斯-勒讓德求積公式,高斯-切比雪夫求積公式,2. Chebyshev多項式的性質(zhì):,一般積分區(qū)間[a,b]的處理,高斯積分公式的數(shù)值穩(wěn)定性,27,Gauss求積公式的余項：,/* 設P為f 的過x0 … xn的插值多項式 */,插值多項式的余項,Q：什么樣的插值多項式在