矩陣可對角化的判定條件[開題報告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　矩陣可對角化的判定條件 </p><p><b>　　選題的背景、意義</b></p><p>　　矩陣最初是作為研究代數(shù)學(xué)的一種工具提出的，但是經(jīng)過

2、兩個多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支—矩陣論。矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會科學(xué)等許多領(lǐng)域。如在觀測、導(dǎo)航、機(jī)器人的位移、化學(xué)分子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、模糊識別、計算機(jī)層析及 X 射線照相術(shù)等方面都有廣泛的應(yīng)用。隨著現(xiàn)代數(shù)字計算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數(shù)和矩陣

3、計算，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 </p><p>　　矩陣是一個重要的數(shù)學(xué)工具，不僅在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，在其他學(xué)科中也經(jīng)常遇到。它在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展，成為在物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在矩陣比行列式在數(shù)學(xué)中占有更重要的位置。</p><p>　　矩陣對角化是矩陣論的重要組成部分，在矩陣論中占有重要的作用，研究矩陣對角化問題很有

4、實(shí)用價值，關(guān)于矩陣對角化問題的研究，這方面的資料和理論已經(jīng)很多。但是他們研究的角度和方法只是某個方面的研究，沒有進(jìn)行系統(tǒng)的分類歸納和總結(jié)。因此，我就針對這方面進(jìn)行系統(tǒng)的分類歸納和總結(jié)，對一些理論進(jìn)行應(yīng)用和舉例，給出算法。特別給出了解題時方法的選擇。</p><p>　　矩陣的應(yīng)用在現(xiàn)代社會中是十分廣泛的，本文圍繞有限維線性空間上的線性變換對角化問題與矩陣可對角化相互轉(zhuǎn)換進(jìn)行研究．根據(jù)矩陣的多項(xiàng)式對矩陣對角化問題進(jìn)

5、行判斷，這種方法不僅為探討矩陣對角化提供了一個簡便的工具，也把矩陣和有限維空間相結(jié)合．在現(xiàn)代科技中，很多問題都是運(yùn)用此類方式。</p><p>　　矩陣對角化問題只是矩陣?yán)碚撝械囊粋€小問題，但是一個基礎(chǔ)問題，這樣矩陣可對角化作為矩陣?yán)碚摾锏淖罨A(chǔ)的知識，就顯得格外的重要．通過對《高等代數(shù)》，《科學(xué)計算方法》等有關(guān)資料的查閱和分析研究，為我們對判定矩陣的可對角化的條件提供了相關(guān)依據(jù)和理論.</p>&

6、lt;p>　　文獻(xiàn)[1]和[2]介紹了廣義逆矩陣和一類特殊矩陣可對角化的判定條件，利用子空間關(guān)于矩陣的最小多項(xiàng)式研究了矩陣可廣義對角化的充要條件，給出了一種更簡單的判別僅有兩個互異特征根的矩陣與對角陣相似以及求特征向量的方法。</p><p>　　文獻(xiàn)[3]總結(jié)了利用循回陣的性質(zhì)找出一個矩陣可對角化的充要條件。任意階矩陣可以對角化的充要條件是相似于一個階循回陣， 形式最簡單的矩陣是對角陣。矩陣對角化是線性變

7、換和化二次型到主軸上問題中經(jīng)常遇到并需要解決的一個關(guān)鍵問題，但不是任何一個階矩陣都可以對角化。</p><p>　　文獻(xiàn)[4]總結(jié)了對矩陣的計算中用到了對角化的性質(zhì)。該文詳細(xì)地分析了Doolittle LU分解過程,基于分解過程的特點(diǎn),在MPI（Message-Passing interface）并行環(huán)境下,提出了按直角式循環(huán)對進(jìn)程進(jìn)行任務(wù)分配的并行求解方法。實(shí)驗(yàn)證明該方法可以有效地減少進(jìn)程間數(shù)據(jù)通信量,從而加快

8、計算速度。 </p><p>　　文獻(xiàn)[5]—[7] 闡述了矩陣可對角化的條件以及對實(shí)對稱矩陣的可對角化，從冪等陣及可交換陣的性質(zhì)出發(fā)，討論了矩陣可對角化的條件，并給出了矩陣只有兩個特征值的特殊情況下可對角化的一種簡單判別方法。矩陣可對角化在求矩陣的高次冪中有重要應(yīng)用，矩陣的對角化有多種判別方法，定義了分塊矩陣的初等變換與初等分塊矩陣，給出了非滿秩情況下分塊矩陣可以對角化的條件。</p><p

9、>　　文獻(xiàn)[8]-[11]在以往關(guān)于矩陣可對角化的判定條件的基礎(chǔ)上，利用矩陣可以對角化的判定，以及求矩陣的線性無關(guān)的特征向量完全可以歸納為矩陣乘法的原理，使得矩陣的特征值與特征向量同步求解，從而得出矩陣可對角化更為直接的簡單判定，通過討論n階方陣可對角化的充要條件來簡化對其的判斷過程，在研究實(shí)矩陣三角化計算方法的基礎(chǔ)上給出了復(fù)系數(shù)矩陣上雙對角化的一種通用計算方法，以及方陣的另一種解釋。</p><p>　　

10、文獻(xiàn)[12]—[15]作者引入了線性變換可亞對角化的定義，并給出了線性變換可亞對角化的充要條件，對多判定條件加以改進(jìn)，得出更為直接的簡單判定對角化的條件。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　本文研究的基本內(nèi)容為:</p><p>　　一、引言，主要包括課題研究的背景、研究意義等。</p><p>　

11、　二、特殊矩陣的可對角化，包括方陣，單位矩陣，廣義逆矩陣，實(shí)對稱矩陣等等的求法。</p><p>　　三、n階矩陣的可對角化，包括求特征值，特征向量，n階矩陣最小多項(xiàng)式的算法。</p><p>　　四、矩陣的分解，包括LU分解，Doolittle分解和Crout分解型，</p><p>　　運(yùn)用矩陣分析的相關(guān)知識，可以很好分析可對角化的思路，有助于提高判定的有利條件

12、和提高解題的速度。具備一定的專業(yè)外語知識和一定的計算方法能力，同時，具備一定的求解能力，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件，例如：Matalab等軟件，對矩陣可對角化進(jìn)行求解分析。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)</p><p>　　一、 先采用文獻(xiàn)研究法，搜集和閱讀大量的相關(guān)文獻(xiàn)，了解國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，吸收新理念，并對資料進(jìn)行分類整理。再通過實(shí)例分析，對實(shí)際矩陣進(jìn)行

13、分析、總結(jié)特殊矩陣的判定方法。</p><p>　　二、 研究的主要難點(diǎn)，如何找到恰當(dāng)?shù)姆椒?，如何選擇最簡單的計算步驟對矩陣進(jìn)行可對角化的判定，并求解。</p><p>　　三、 預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)，通過本課題的研究，學(xué)習(xí)用求特征值和特征向量的基本方法對矩陣進(jìn)行處理，將其矩陣對角化的思想應(yīng)用于實(shí)際，能夠?qū)Υ髷?shù)據(jù)進(jìn)行合理分解與計算，提高對矩陣對角化的分析判斷能力。</p><

14、p>　　四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排</p><p>　　第七學(xué)期第10周至第11周：收集資料，閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，形成系統(tǒng)材料，完成文獻(xiàn)綜述；翻譯相關(guān)問題的外文文獻(xiàn)。</p><p>　　第七學(xué)期第12周至第14周：深入分析問題，建立研究和解決問題的基本方案和技術(shù)路線，撰寫開題報告，修改定稿，簽署意見；上交文獻(xiàn)綜述、開題報告，外文翻譯。</p><p>　　第七學(xué)期

15、第15周至第16周：全面開展課題研究，按照研究方案和路線指導(dǎo)學(xué)生撰寫論文，完成論文初稿。</p><p>　　第八學(xué)期第1周至第8周：在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，對論文進(jìn)行第一次修改。</p><p>　　第八學(xué)期第9周至第12周：對論文進(jìn)行第二次修改，并完善定稿。</p><p>　　第八學(xué)期第13周至第15周：做好畢業(yè)論文答辯準(zhǔn)備事項(xiàng)，進(jìn)行答辯。</p>&l

16、t;p><b>　　五、主要參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 王新哲，蔣艷杰. 矩陣廣義對角化的探討[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2009,(4):140-144.</p><p>　　[2] 張力宏，辛大偉.一類特殊矩陣可對角化的判別及特征向量的求法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2008,（4）:134-136.</p><p>　　[3]

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