04 矩陣的對(duì)角化

1、第四講第四講矩陣的對(duì)角化矩陣的對(duì)角化基元素坐標(biāo)向量加法元素加法坐標(biāo)向量的加法數(shù)乘數(shù)與元素“乘”數(shù)與坐標(biāo)向量相乘線性變換及其作用對(duì)應(yīng)關(guān)系矩陣與坐標(biāo)列向量的乘積對(duì)任何線性空間，給定基后，我們對(duì)元素進(jìn)行線性變換或線性運(yùn)算時(shí)，只需用元素的坐標(biāo)向量以及線性變換的矩陣即可，因此，在后面的內(nèi)容中著重研究矩陣和向量。對(duì)角矩陣的形式比較簡(jiǎn)單，處理起來(lái)較方便，比如求解矩陣方程時(shí)，Axb?將矩陣對(duì)角化后很容易得到方程的解。對(duì)角化的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)去耦的過(guò)A程

2、。以前我們學(xué)習(xí)過(guò)相似變化對(duì)角化。那么，一個(gè)方陣是否總可以通過(guò)相似變化將其對(duì)角化呢？或者對(duì)角化需要什么樣的條件呢？如果不能對(duì)角化，我們還可以做哪些處理使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單呢？一、特征征值與特征向量特征征值與特征向量1.定義：對(duì)階方陣，若存在數(shù)，及非零向量（列向量），使得mA?x則稱為的特征值，為的屬于特征值的特征向量。Axx???AxA?特征值不唯一?特征向量非零?有非零解，則，稱?()0IAx???det()0IA???為的多項(xiàng)式。det()

3、IA??A[例1]，求其特征值和特征向量。122212221A???????????[解]122det()2120221IA????????????????2(1)(5)0?????121?????35??屬于特征值的特征向量1???()0IAx???????121122nnnAxxxxxx????????121200nnxxx??????????????????線性無(wú)關(guān)，故為滿秩矩陣，12nxxx???12nPxxx??令，則有??1

4、200n????????????????APP??1PAP???必要性：已知存在可逆方陣，使P12100nPAP????????????????????將寫(xiě)成列向量，為維列向量P??12nPPPP??nPn????121122nnnAPAPAPPPP??????可見(jiàn)，為的特征值，為的特征向量，i?AiPA具有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。?An推論：階方陣有個(gè)互異的特征值，則必可對(duì)角化。（充分條件）nn三、三、內(nèi)積空間內(nèi)積空間1.Euclid空