畢業(yè)論文（設(shè)計）lorenz混沌系統(tǒng)的自適應同步控制

1、<p>　　2015年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）</p><p>　　Lorenz混沌系統(tǒng)的自適應同步控制</p><p>　　Synchronization of Lorenz system by adaptive control</p><p>　　院 － 系: 數(shù)學學院 數(shù)學與應用數(shù)學系 </p><p&g

2、t;　　專 業(yè): 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　年 級: </p><p>　　學生姓名: </p><p>　　學 號:

3、 </p><p>　　導師及職稱: （ 教 授） </p><p><b>　　2015年5月</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文考慮Lorenz混沌系統(tǒng)的自適應同步問題。通過設(shè)計一個

4、適當?shù)淖赃m應控制器，利用Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性理論并通過嚴格的數(shù)學證明得到自適應同步的充分條件。最后應用數(shù)值仿真，表明所設(shè)計的混沌控制器的可行性。</p><p>　　關(guān)鍵詞: Lorenz混沌系統(tǒng)；Lyapunov函數(shù)；自適應同步</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　This paper deals

5、 with adaptive synchronization of Lorenz chaotic systems. By designing an appropriate adaptive controller and using the Lyapunov stability theorem, sufficient conditions for the adaptive synchronization are derived throu

6、gh rigorous mathematical proof. Finally, numerical simulations are offered to show the feasibility of the obtained results.</p><p>　　Keywords: Lorenz chaotic system; Lyapunov function; Adaptive control</

7、p><p><b>　　目錄 </b></p><p><b>　　符號和注記</b></p><p><b>　　第一章 引言1</b></p><p>　　1.1 混沌系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀</p><p>　　1.1.1 國外混沌學的發(fā)展</p&g

8、t;<p>　　1.1.2 國內(nèi)混沌學的發(fā)展</p><p>　　1.2 混沌的特性4</p><p>　　1.2.1 混沌的產(chǎn)生8</p><p>　　1.2.2 混沌的定義10</p><p>　　1.3 混沌同步的概念4</p><p>　　1.3.1 同步的存在8</p>

9、;<p>　　1.3.2 混沌同步的概念10</p><p>　　1.3.3 混沌同步的方法</p><p>　　1.4 混沌同步的應用</p><p>　　1.5 混沌同步控制</p><p>　　1.6 隨機因素對混沌同步的影響</p><p>　　1.7 魯棒性介紹</p>

10、<p><b>　　第二章 準備工作</b></p><p>　　第三章 主要結(jié)果4</p><p><b>　　第四章 舉例14</b></p><p>　　第五章 總結(jié)與展望20</p><p><b>　　參考文獻21</b></p>

11、<p><b>　　致謝</b></p><p><b>　　符 號 和 注 記</b></p><p><b>　　——實數(shù)域；</b></p><p><b>　　——非負實數(shù)域；</b></p><p><b>　　——矩陣的

12、轉(zhuǎn)置；</b></p><p><b>　　——單位矩陣；</b></p><p>　　——矩陣的最大特征值；</p><p><b>　　——向量的范數(shù)，；</b></p><p><b>　　——向量的范數(shù)，；</b></p><p>&

13、lt;b>　　——函數(shù)對的導數(shù)。</b></p><p><b>　　第一章 引言</b></p><p>　　1.1 混沌系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀</p><p>　　所謂混沌是指確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無規(guī)則、類似隨機的現(xiàn)象，是非線性動力學系統(tǒng)所特有的一種運動形式，是非線性科學的重要成果之一。廣泛存在于自然界，諸如物理、化學、

14、生物學、社會科學等科學領(lǐng)域。數(shù)理混沌理論認為，非線性是混沌系統(tǒng)之所以不穩(wěn)定或出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的根本原因。所以我們把一個存在難以預料因果關(guān)系的非線性系統(tǒng)就稱為混沌系統(tǒng)。</p><p>　　1.1.1 國外混沌學的發(fā)展</p><p>　　混沌同步的理論研究始于上個世紀80年代中期，理論和實驗研究則從上個世紀90年代初開始，進而出現(xiàn)混沌同步的研究熱潮，是近年來非線性科學領(lǐng)域中一個熱點問題。<

15、;/p><p>　　1903 年, 美國數(shù)學家Poincare J . H.在《科學與方法》中提出了Poincare 猜想。該猜想將動力學系統(tǒng)與拓撲學兩大領(lǐng)域結(jié)合, 指出混沌存在的可能性。</p><p>　　1963 年,美國氣象學家LorenzE[1,2,3]用一臺原始的計算機研究氣候的變化時 發(fā)現(xiàn)確定性方程中出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，并在《大氣科學》上發(fā)表了“決定性非周流”一文, 清楚地描述了“對初

16、始條件的敏感性”這一混沌的基本性態(tài),即著名的“蝴蝶效應”，并以無限平板間流體對流運動簡化模型為基礎(chǔ)提出了Lorenz方程[2]。</p><p>　　1970 年美國科學史家Kuhn T. S. 的《科學革命的結(jié)構(gòu)》一書, 對混沌理論的發(fā)展起到推波助瀾的作用。特別是1975 年, 馬里蘭大學的中國學者李天巖和美國數(shù)學家Yorke J . 在《美國數(shù)學》上發(fā)表了“周期三意味著混沌”一文, 深刻地揭示了從有序到混沌的

17、演化過程。隨之, 1976 年美國生物學家May R. 在《自然》雜志上發(fā)表了“具有極復雜的動力學的簡單數(shù)學模型”一文, 它向人們表明了混沌理論的驚人信息, 簡單的確定的數(shù)學模型竟然也可以產(chǎn)生看似隨機的行為。1977年，第一次國際混沌會議在意大利召開，標志著混沌學的誕生[4]。</p><p>　　1978 年美國物理學家Feigenbaum M. J . 在《統(tǒng)計物理雜志》上發(fā)表“一類線性變換的定量普適性” ,

18、 轟動世界。他的普適性的研究使混沌確定了其固定的地位。</p><p>　　1980 年，美國數(shù)學家Mandelbrot B. 用計算機繪出第一張Mandeibrot 集圖像。這是一張五彩繽紛、絢麗無比的混沌圖像，后來德國的Richter P. 和Peitgen H. 共同研究分形流域的邊界，做出了精美絕倫的混沌圖像，使之成為精致的藝術(shù)品。這拓展了又一重要的應用領(lǐng)域, 從此Mandelbrot 集成了混沌的一種公

19、認標志。雖然20 世紀60 年代人們就開始注意混沌現(xiàn)象，但直到1978 年Feigenbaum從計算機實驗中發(fā)現(xiàn)一些簡單的單變量非線性映象的分岔點結(jié)構(gòu)具有若干普遍規(guī)律,出現(xiàn)一些普適常數(shù)以后，混沌才引起了大家的極大興趣。</p><p>　　1990 年,佩考拉（L. M. Pecora）和卡羅爾（J. L. Carroll）為了闡明在實驗中觀察到的混沌同步現(xiàn)象,利用混沌動力學的特殊屬性，構(gòu)成優(yōu)良的混沌擴頻序列，對

20、響應系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及同步原理進行了分析,導出了混沌同步的驅(qū)動—響應同步原理（即p-c同步[5]原理）。從而拉開了混沌同步方法研究的序幕。</p><p>　　1992 年Oppenheim 等報道了有關(guān)混沌開關(guān)和混沌加密調(diào)制的實際應用,特別地在文中闡明了怎樣把混沌同步的概念應用于信息加密。同時指出混沌同步在一定的條件下具有較強的魯棒性[5]。</p><p>　　1999年，陳觀榮[7]在

21、混沌系統(tǒng)反控制中發(fā)現(xiàn)了一個與Lorenz系統(tǒng)并不拓撲等價的新混沌吸引子Chen系統(tǒng)；2002年呂金虎和Chen[8]又通過混沌反控制思想發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)。2004年,劉崇等又提出一種新的三維自治混沌系統(tǒng)，這個系統(tǒng)亦屬于Lorenz系統(tǒng)。</p><p>　　1.1.2 國內(nèi)混沌學的發(fā)展</p><p>　　1986年中國第一界混沌會議在桂林召開,中國科學家徐京華在全世界第一個提出三種神經(jīng)細胞的復

22、合網(wǎng)絡(luò),并證明它存在混沌,指出人腦可看成是復雜的多層次混沌動力系統(tǒng),腦功能的物理基礎(chǔ)是混沌性質(zhì)的過程。</p><p>　　2006年王杰等在Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和Lu系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了一個新的系統(tǒng)，并證明了該系統(tǒng)的混沌特性。</p><p><b>　　1.2 混沌的特性</b></p><p>　　1.2.1 混沌的產(chǎn)生</

23、p><p>　　所謂混沌是指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的一種貌似無規(guī)則、類似隨機的現(xiàn)象。飄動的旗幟、奔騰的小溪、飄浮的云彩、閃電的路徑、血管的微觀網(wǎng)絡(luò)、飛機的起飛降落、船舶在激流險灘中穿行、石油在管道中的流動、大氣和海洋的異常變化、宇宙中的星團乃至經(jīng)濟的波動和人口的增長等等。這些看似雜亂無章的表面現(xiàn)象下卻有著它驚人的運動規(guī)律，如上升的煙霧會突然卷起漩渦；風朝一個一個方向吹動，旗幟卻有規(guī)律地兩邊擺動；山澗激流而下，在其下的石縫

24、里突然形成轉(zhuǎn)動的漩渦，而且漸漸增大，旋轉(zhuǎn)著順流而下；奔流不息的小溪中大漩渦里有小漩渦，使之加速；而小漩渦里由有小漩渦，以至沾滯等等。</p><p>　　可以說，混沌表示某種混亂的，不清楚的或不規(guī)則的現(xiàn)象，表現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的復雜性，隨機性和無序性。而混沌運動是指在確定性系統(tǒng)中局限于有限相空間的高度不穩(wěn)定的運動，是在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的無規(guī)則性或隨機性（是系統(tǒng)內(nèi)在的隨機性，也稱之為偽隨機性），所謂高度不穩(wěn)定是指相鄰的軌

25、道隨時間的發(fā)展會產(chǎn)生指數(shù)分離?；煦邕\動在相空間的軌跡具有復雜的拉伸、折疊和收縮的結(jié)構(gòu)，但每一根軌跡不自我重復又不自我交替，且局限于有限集合，把此稱之為奇怪吸引因子。</p><p>　　然而產(chǎn)生混沌的機制往往又是簡單的非線性，是絲毫不帶隨機因素的固定規(guī)則。由混沌所表示的無序和不規(guī)則狀態(tài)指出了在確定性系統(tǒng)中的隨機現(xiàn)象，由事物的混沌現(xiàn)象又揭示了在自然界和人類社會中普遍存在著確定性和隨機性的統(tǒng)一、有序和無序的統(tǒng)一，正是

26、這種確定性和隨機性之間的由此及彼的橋梁作用，使得混沌學被譽稱為20世紀科學家發(fā)展的第三個里程碑。著名物理學家 Ford.J曾說：“相對論消除了關(guān)于絕對空間與時間的幻想；量子力學則消除了關(guān)于可控測量過程牛頓式的夢；而混沌則徹底消除了拉普拉斯關(guān)于決定論式可測性的幻想”。</p><p>　　混沌是非線性動力學系統(tǒng)在一定條件下所表現(xiàn)的一種運動形式，是系統(tǒng)處于非平衡過程中所呈現(xiàn)的隨機行為，因此非線性是產(chǎn)生混沌的必要條件，

27、但并非任何非線性系統(tǒng)都會產(chǎn)生混沌，一般認為當系統(tǒng)具有下列數(shù)值特征時則發(fā)生了混沌：</p><p>　　（1）系統(tǒng)的運動軌跡為奇怪吸引子現(xiàn)象；</p><p>　?。?）系統(tǒng)運動的功率譜具有連續(xù)譜上疊加有尖峰的特點；</p><p>　?。?）系統(tǒng)中至少有一個李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)。</p><p>　　從混沌的類型上，大體可以分為

28、四大類：第一類為時間混沌，第二類為空間混沌，第三類為時空混沌，第四類為功能混沌。目前還注意集中在時間混沌的研究上，其他類型的混沌控制尚待展開。</p><p>　　混沌是一種非常普遍的非線性現(xiàn)象，在大量的動力系統(tǒng)中都發(fā)現(xiàn)存在混沌行為，例如純數(shù)學、時空理論、湍流、淺水波的強迫振動、非線性振蕩電路、量子力學、光學、聲學、等離子體物理、超導理論、位錯理論、非線性振動、相變理論、微波理論、固體物理、統(tǒng)計物理、天文學、廣義

29、相對論、地磁場理論、化學、氣象學、工程模型、協(xié)同學、生態(tài)學、群體動力學、生物學、醫(yī)學、經(jīng)濟學、社會學生物工程、信息過程、信息保密通信 ，以及進行經(jīng)濟預測和工程管理等。</p><p>　　1.2.2 混沌的定義</p><p>　　混沌一詞首先是由美國數(shù)學家李天巖（Li T. Y.）和約克（J. A. Yorke）1975年“周期三意味著混沌”一文中提出的，文中給出了有關(guān)混沌的一種數(shù)學定義

30、 現(xiàn)稱為Li—Yorke定義：</p><p>　　設(shè)連續(xù)映射,是中的一個子區(qū)間。如果存在不可數(shù)集合</p><p><b>　　滿足：</b></p><p>　　(1) S不包含周期點。</p><p><b>　　(2) 任給，</b></p><p><b>

31、;　　有，</b></p><p>　　這里表示t重函數(shù)關(guān)系。</p><p>　　(3) 任給有 </p><p>　　則稱f在S上混沌的。</p><p>　　此定義中，由于前兩個極限說明子集的點，相當分散而又相當集中；第三個極限說明子集不會趨近于任意周期點，所以這個定理本身只預言有非周期軌道存在，既不涉及這些非周期點的集

32、合是否具有非零測度，也不涉及哪個周期是穩(wěn)定的。因此Li-Yorke定義的缺陷在于集合S的勒貝格測度有可能為零，即這時混沌是不可觀測的，而人們感興趣的則是可觀測的情行，即此時S有一個正的測度。</p><p>　　根據(jù)Li-Yorke定義，1983年Day認為一個混沌系統(tǒng)應具有如下三種性質(zhì)：第一，存在所有階的周期軌道；第二，存在一個不可數(shù)集合，該集合只含有混沌軌道，且任意兩個軌道既不趨向遠離也不趨向接近，而是兩種狀

33、態(tài)交替出現(xiàn)，同時任一軌道布趨向于任一周期軌道，即該集合不存在漸近周期軌道；第三，混沌軌道具有高度的不穩(wěn)定性。</p><p>　　1989年Devaney R L給出了混沌的又一種定義：</p><p>　　設(shè)X是一個度量空間。一個連續(xù)映射稱為X上的混沌，如果：</p><p>　　(1) 是拓撲傳遞; </p><p>　　這說明混沌系統(tǒng)不

34、能被細分或不能被分解為兩個在下相互影響的子系統(tǒng)，其軌道具有規(guī)律性的成分。</p><p>　　(2) 是周期點在X中的稠密；</p><p>　　這說明混沌的映射具有不可分解性，也就是混沌行為具有稠密的周期軌道，其運動最終要落在混沌吸引子之中，使其呈現(xiàn)出多種看似混亂無序卻又頗具規(guī)則的自相似圖像?；煦缥又械倪\動能在一定的范圍內(nèi)按其自身的規(guī)律遍歷每一條軌道，既不自我重復又不自我交叉。<

35、;/p><p>　　(3) 具有對初始條件的敏感依賴性。</p><p>　　這說明混沌的預測具有不可預測性，如果初值具有一極微小的變化，在短時間內(nèi)的結(jié)果還可以預測，但通過長時間的演化后，它的狀態(tài)根本無法確定，即差之毫厘、失之千里，這就是著名的“蝴蝶效應”。</p><p>　　除上述對混沌的定義之外，還有諸如Smale馬蹄、橫截同宿點、拓撲混合以及符號動力系統(tǒng)等定義。

36、從事不同領(lǐng)域研究的科學家都是基于各自對混沌的理解進行研究并謀求各自的應用。</p><p>　　不管對混沌的各種定義有何區(qū)別，但混沌系統(tǒng)所具有的本質(zhì)特征是相同的，下面我們介紹幾種常用的性質(zhì)：</p><p>　　(1) 混沌具有內(nèi)在隨機性，是確定系統(tǒng)內(nèi)部隨機性的反映，它不同于外在的隨機性，系統(tǒng)是由完全確定性的的方程描述，無需附加任何隨機因素，但系統(tǒng)仍會表現(xiàn)出類似隨機性的行為。</p&

37、gt;<p>　　(2) 混沌具有分形的性質(zhì)，各種奇怪吸引子都具有分形結(jié)構(gòu)，由分維數(shù)來描述其特征。</p><p>　　(3) 混沌具有標度不變性，它是一種無周期的有序，在由分叉導致混沌的過程中，遵循費根包姆常數(shù)系。這一常數(shù)是倍周期分叉走向混沌的普適性數(shù)值特征。</p><p>　　(4) 對初始條件的敏感依賴性</p><p>　　對初始條件的敏感依

38、賴性或?qū)π_動的極端敏感性又稱為蝴蝶效應，是混沌系統(tǒng)的典型特征。意思是系統(tǒng)的演化對初始條件十分敏感。初值不同，同一系統(tǒng)的軌道毫不相干。</p><p>　　(5) 極為有限的可預測性</p><p>　　混沌現(xiàn)象是確定性系統(tǒng)的一種內(nèi)在隨機性, 它的確定性是因為它內(nèi)在的原因, 而非受外界干擾而產(chǎn)生的; 隨機性是指不規(guī)則的, 不能預測的行為, 稱這種混沌為非平衡混沌,; 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時所呈

39、現(xiàn)的雜亂無章的混亂狀態(tài), 稱為平衡態(tài)混沌,。無論哪種狀態(tài), 當系統(tǒng)進入混沌過程后, 系統(tǒng)或表現(xiàn)為整體的不可預測性或表現(xiàn)為局部的不可預測性, 最終的結(jié)果都是不確定的、隨機的。</p><p>　　(6) 系統(tǒng)內(nèi)部的有序性</p><p>　　任何混沌系統(tǒng)其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)都是有序的。這種有序性表現(xiàn)為, 第一, 混沌內(nèi)部有結(jié)構(gòu), 而且在不同層次上結(jié)構(gòu)具有相似性, 即所謂的自相似性。第二, 不同系統(tǒng)之

40、間跨尺度的相似值, 即所謂的普適性, 普適性具體表現(xiàn)為復雜形狀尺度變換現(xiàn)象, 即物體在不同尺度觀察時, 它們所持有的不規(guī)則性(即分維) 是完全不變的。</p><p>　　1.3 混沌同步的概念</p><p>　　1.3.1 同步的存在</p><p>　　在人們的日常生活中，同步現(xiàn)象比比皆是，相當普遍。例如，螢火蟲的同步發(fā)光，夏日夜晚的青蛙齊鳴，心肌細胞和大腦神

41、經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步，演出結(jié)束后觀眾節(jié)奏趨于同步等等。如今，同步現(xiàn)象在激光系統(tǒng)，超導材料和通信系統(tǒng)等領(lǐng)域都起著重要的作用[10-12]。 </p><p>　　1.3.2 混沌同步的定義</p><p>　　混沌同步即是有兩個混沌系統(tǒng)，其中一個叫做驅(qū)動系統(tǒng)，也叫做主系統(tǒng)。從驅(qū)動系統(tǒng)發(fā)出的信號被另一個混沌系統(tǒng)接收，接收信號的混沌系統(tǒng)叫做響應系統(tǒng)，也叫做從系統(tǒng)。驅(qū)動系統(tǒng)不受響應系統(tǒng)的影響。響應系統(tǒng)利用

42、接收到的信號來驅(qū)動自己，使自己的狀態(tài)與驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)一致。</p><p>　　1.3.3 混沌同步的方法</p><p>　　混沌同步是現(xiàn)在各學科領(lǐng)域中的一個熱門課題，各種混沌同步方法的提出與實現(xiàn)，使混沌同步在物理、保密通信、生物學、信息科學、化學反應等領(lǐng)域有了廣泛的應用情景?；煦缤降囊粋€重要用途是保密通訊。它的基本原理是這樣的。有兩個混沌系統(tǒng)，其中一個叫做驅(qū)動系統(tǒng)，也叫做主系統(tǒng)。從驅(qū)

43、動系統(tǒng)發(fā)出的信號被另一個混沌系統(tǒng)接收，接收信號的混沌系統(tǒng)叫做響應系統(tǒng)，也叫做從系統(tǒng)。</p><p>　　混沌同步的種類有：完全同步（恒同同步）、部分同步、廣義同步、反同步、滯后同步等等。下面介紹完全同步。</p><p>　　所謂主從同步，就是由兩個混沌方程組成。其中一個叫做驅(qū)動系統(tǒng)，也叫做主系統(tǒng)；另一個叫做響應系統(tǒng)，也叫做從系統(tǒng)。驅(qū)動系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號被響應系統(tǒng)接收。而響應系統(tǒng)利用接收

44、到的信號來驅(qū)動，使自己的狀態(tài)與驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)趨于一致，達到同步狀態(tài)。</p><p>　　混沌同步問題的研究日益受到人們的重視,混沌同步的方法不斷涌現(xiàn)，提出了若干有效的設(shè)計方法,如OGY 方法 、自適應控制方法[13-19]、反饋控制方法、驅(qū)動———響應同步原理（即p-c同步原理）[20]、狀態(tài)反饋控制方法、基于逆系統(tǒng)方法、脈沖同步、滑膜同步控制、模糊同步[21]、參數(shù)調(diào)節(jié)法、相互耦合同步法、變結(jié)構(gòu)控制法、線性和

45、非線性反饋控制方法[22]、主動-被動分拆同步法（APD方法）、反饋控制方法、延遲反饋控制方法等。</p><p>　　(1) 變量反饋微擾同步方法。變量反饋微擾同步法的基本思想是在與驅(qū)動系統(tǒng)具有相同形式的復制系統(tǒng)中增加一反饋項作為響應系統(tǒng),通過選擇合適的反饋項使驅(qū)動和響應系統(tǒng)同步。反饋控制項可以是線性或非線性的,并且可以用不同的方法來確定。一種方法就是用經(jīng)典的控制方法來確定反饋控制量[23]。還有一種方法是稱為

46、反向單步設(shè)計的方法[24],是通過構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)和控制量的設(shè)計交替進行的一種遞歸方法。隨著近幾年對變結(jié)構(gòu)控制的熱門研究,也可以用變結(jié)構(gòu)控制的方法來進行控制量的設(shè)計[25]。變結(jié)構(gòu)控制策略的設(shè)計涉及滑動面和控制的選取。為了實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步,首先要找到一個合適的滑動面,然后設(shè)計有效非線性控制驅(qū)使誤差狀態(tài)到達該滑動面上,并使誤差在滑動面上到達平衡點。</p><p>　　(2) 自適應同步方法。在實際系統(tǒng)中

47、,系統(tǒng)參數(shù)總存在一定的攝動,另外,系統(tǒng)不可避免地會受到外界干擾的影響,考慮到混沌系統(tǒng)對參量極端敏感,參量的微小變化就會導致系統(tǒng)動態(tài)行為的巨大變化. 因此如何對存在參量攝動或外界擾動的混沌系統(tǒng)進行有效的同步,對混沌同步走向應用至關(guān)重要。近幾年,提出了一些參數(shù)不確定混沌系統(tǒng)的自適應同步控制方法[26,27]。</p><p>　　1.4 混沌同步的應用</p><p>　　混沌同步是現(xiàn)在各學科

48、領(lǐng)域中的一個熱門課題，各種混沌同步方法的提出與實現(xiàn)，使混沌同步在物理、保密通信、生物學、信息科學、化學反應等領(lǐng)域有了廣泛的應用情景。其中混沌同步的一個重要用途是保密通訊。利用混沌同步實現(xiàn)秘密通訊成為近年來競爭最激烈的應用研究領(lǐng)域。Car-roll和Pecoea所在的研究組正在加緊研究中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一種混沌系統(tǒng)就象一個鎖相環(huán)路一樣，能與其它裝置一起改變調(diào)頻機，跟蹤發(fā)射信號的變化。</p><p>　　混沌通信具有許多

49、優(yōu)點: (1) 保密性強。因為具有寬帶特性,特別是可利用時空混沌增強抗破譯、抗干擾(魯棒性) 能力; (2) 具有高容量的動態(tài)存儲能力; (3) 具有低功率和低觀察性; (4) 設(shè)備成本低等。因此,混沌通信在21世紀大有發(fā)展前景的高新科技領(lǐng)域。混沌同步應用于通信主要為3大保密技術(shù):混沌遮掩、混沌調(diào)制和混沌開關(guān)技術(shù)。</p><p>　　(1) 混沌遮掩?；煦缯谘谟址Q混沌掩蓋或混沌隱藏。基本思想是利用具有逼近與高斯

50、白噪聲統(tǒng)計特性的混沌信號作為一種載體來隱藏信號或遮掩所要傳送的信息,在收端則利用同步后的混沌信號進行去掩蓋,從而恢復出有用信息。遮掩方式主要有相乘、相加或加乘結(jié)合這幾種方式。以相加為例,設(shè)為發(fā)送機的輸出信號(傳輸信號) , 要傳送的信息信號,則混沌掩蓋后, 為新的傳輸號,接收端與同步的輸出為,即可恢復信息信號(去掩蓋) 。最早提出的驅(qū)動—響應同步法與變型及隨后的主動- 被動法都屬于混沌遮掩方案,其他的有串聯(lián)法混沌掩蓋方案及改進方案和單向

51、耦合法混沌掩蓋方案等。近幾年研究得較多的是基于狀態(tài)觀測器的混沌同步及混沌掩蓋[28]。</p><p>　　(2) 混沌調(diào)制?；煦缯{(diào)制的基本思想是將一個信息信號加密后注入到發(fā)送機,由此改變了原混沌系統(tǒng)的動態(tài)特性,因而信息信號被調(diào)制。在接收端用相應的解調(diào)和解密方法恢復信息信號。該方法有幾個優(yōu)點:首先它把混沌信號譜的整個范圍都用來隱藏信息;其次,它增加了對參數(shù)變化的敏感性,從而增強了保密性。</p>&

52、lt;p>　　隨著混沌調(diào)制技術(shù)研究的進一步深入,學者們把信息信號與混沌信號相乘的直接混沌頻譜擴展技術(shù)也作為混沌調(diào)制技術(shù),所以,混沌調(diào)制又叫寬譜發(fā)射。從理論上講,混沌序列是非周期序列,具有逼近于高斯白噪聲的統(tǒng)計特性,并且混沌序列數(shù)目眾多,更適合于作擴頻通信的擴頻碼。近幾年,人們對混沌調(diào)制也作了不少研究,提出了一些新的方法[29]。</p><p>　　(3) 混沌開關(guān)技術(shù)?；煦玳_關(guān)技術(shù)又稱混沌鍵控或混沌參數(shù)調(diào)

53、制。它是把混沌系統(tǒng)用于密碼發(fā)射的最簡單技術(shù)。其基本思想是根據(jù)在不同的系統(tǒng)參數(shù)下具有不同的吸引子來編制二進制信息代碼 ,如用“1”表示參數(shù)下所對應的一個吸引子,用“0”表示下所對應的另一個混沌吸引子 ,混沌系統(tǒng)的行為在與之間轉(zhuǎn)換,應用歐氏空間距離來檢測重構(gòu)的混沌吸引子和接收到的混沌吸引子的差別,由參數(shù)變化來調(diào)制系統(tǒng)的響應時間?，F(xiàn)已提出的混沌開關(guān)數(shù)字通信制式主要包括:CSK(Chaos Shift Keying) ,COOK(Chaotic

54、 On - Off - Keying) ,DCSK(Differential Chaos Shift Keying) 和FM - DCSK(Frequency Modulation Differential Chaos Shift Keying) 。各種開關(guān)技術(shù)的區(qū)別表現(xiàn)在所選擇的混沌系統(tǒng),是同步開關(guān)還是非同步開關(guān),是相關(guān)檢測還是非相關(guān)檢測。這幾年,已提出了一些混沌同步開關(guān)方法[30]。</p><p>　　1.

55、5 混沌同步與控制[31-35]</p><p>　　混沌的控制與同步可能在今后高新科技領(lǐng)域中有重要的應用前景，并將在國際上出現(xiàn)競爭的發(fā)展趨勢。例如，利用簡單非線性系統(tǒng)的時間混沌，特別是時空混沌，可以作為大量的信息源，從而可以研制超高容量的動態(tài)信息存儲器，用于信息識別、記憶及處理等目的。據(jù)悉，日本已經(jīng)利用混沌特性研制了新的功能元件，它可作為大容量動態(tài)信息存儲器及高速數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)。利用混沌編碼及解碼技術(shù)，可能大大地

56、擴展通訊量及加強保密性等，因此該技術(shù)早就列入美國國防的研究計劃，正在加緊秘密研究之中。從當前發(fā)展的趨勢，我們可以預言，混沌控制與同步人信息科學中的非線性技術(shù)在未來信息科技領(lǐng)域?qū)l(fā)揮難以預料的重要作用，從而加速國際上現(xiàn)代社會信息化的進程。</p><p>　　(1) 改善和提高激光器的性能</p><p>　　應用混沌控制來改善和提高激光器的性能，特別是提高功率等，是當前一個熱點。例如，美國

57、海軍研究實驗室的一個研究小組利用跟蹤控制法，在激光裝置上不僅在很寬的功率范圍維持激光穩(wěn)定運行，而且驚人地把激光輸出功率提高到15倍。這是因為原來不加控制時由于混沌的緣故只能在有限的功率范圍內(nèi)維持穩(wěn)定，跟蹤控制加上去后，可以自動補償系統(tǒng)時間演化而產(chǎn)生的參數(shù)變化或其它因素所導致的參數(shù)慢變，進而消除了激光混沌，實現(xiàn)了對高周期的穩(wěn)定控制。</p><p>　　(2) 在其它高新科技領(lǐng)域中的可能應用</p>

58、<p>　　混沌的控制與同步可能在今后高新科技領(lǐng)域中有重要的應用前景，并將在國際上出現(xiàn)競爭的發(fā)展趨勢。例如，利用簡單非線性系統(tǒng)的時間混沌，特別是時空混沌，可以作為大量的信息源，從而可以研制超高容量的動態(tài)信息存儲器，用于信息識別、記憶及處理等目的。據(jù)悉，日本已經(jīng)利用混沌特性研制了新的功能元件，它可作為大容量動態(tài)信息存儲器及高速數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)。利用混沌編碼及解碼技術(shù)，可能大大地擴展通訊量及加強保密性等，因此該技術(shù)早就列入美國國防的研

59、究計劃，正在加緊秘密研究之中。從當前發(fā)展的趨勢，我們可以預言，混沌控制與同步人信息科學中的非線性技術(shù)在未來信息科技領(lǐng)域?qū)l(fā)揮難以預料的重要作用，從而加速國際上現(xiàn)代社會信息化的進程。</p><p>　　未來能源的希望所在—受控熱核聚變中的等離子體的混沌、湍流等控制約束間題，是涉及難度最大的現(xiàn)代科技問題，實際上它們的中心問題是如何有效控制等離子體中復雜運動的時間混沌及湍流問題。雖然，目前已發(fā)展的諸多混沌控制方法，對

60、解決這一大難題尚未見端倪。但是，我們認為這是朝著解決問題的一種研究方向，或換句話說，時空混沌的控制與同步的研究應當把這一難題包括在自己的研究目標范疇內(nèi)。事實上，正因為這個挑戰(zhàn)性課題的極端重要性和深遠意</p><p>　　義，國際上有卓識遠見的科學家正朝著這個方向和路線努力，該課題引起了國內(nèi)外的關(guān)注。美國已經(jīng)把混沌信號控制處理技術(shù)應用于反應堆中的熱傳遞系統(tǒng)的時間序列的數(shù)據(jù)分析，以及拓廣于許多領(lǐng)域中的無損探測。有人

61、預計，應用時間混沌為開發(fā)混沌計算機提供了一種可能性，很可能是繼研究模糊計算機之后，為開創(chuàng)新型計算機提供一種發(fā)展途徑。</p><p>　　混沌控制與同步領(lǐng)域與生命科學的研究諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、腦科學、心臟等領(lǐng)域的研究密切相關(guān)[36]。首例應用可以追溯到第一屆國際實驗混沌會議，在那里導致了在生物系統(tǒng)中實現(xiàn)混沌控制的首項技術(shù)的誕生。洛杉磯加州大學醫(yī)學院的一個研究小組研究了一只兔子的心臟上的一個隔離區(qū)，通過向冠狀動脈注射一種

62、稱為鳥本昔的藥物能在心臟上引起不規(guī)則的快速收縮。一旦這種心律不齊的癥狀開始出現(xiàn)，他們就用一種電信號去刺激心臟。這種信號就是按照前述的OGY控制方法設(shè)計的一種方案來產(chǎn)生的。實驗結(jié)果顯示:這些看上去隨機的信號足以使心臟進行有規(guī)則的跳動，有時還能把心跳降低到正常水平。另一方面，隨機信號或周期信號并不能中止心律不齊，而且常常惡化，他們已經(jīng)開始測試用不同形式的OGY混沌控制方案能否達到控制人類心律不齊問題，預計這種混沌控制技術(shù)有可能用于治療心室纖

63、維顫動?，F(xiàn)在利用混沌控制技術(shù)正在加緊研究一種心臟整律器及去纖維堆顫動器。</p><p>　　1.6 隨機因素對混沌同步的影響</p><p>　　在現(xiàn)實世界中，不確定性因素是普遍存在的，這些不確定的、隨機的因素往往對系統(tǒng)產(chǎn)生一些不利的干擾。這些隨機因素有布朗運動的特征。事實上,信號傳輸?shù)倪^程中，噪聲的影響會影響信號的質(zhì)量，進而影響主-從系統(tǒng)的同步。這樣，隱含在混沌系統(tǒng)里面的信息信號就不能

64、還原出來，也就不能達到保密通信的目的。所以，在本文中，我們還考慮了噪聲對混沌同步的影響，這樣就更符合實際應用。</p><p><b>　　1.7 魯棒性介紹</b></p><p>　　魯棒性[6]就是系統(tǒng)的健壯性。它是在異常和危險情況下系統(tǒng)生存的關(guān)鍵。比如說，計算機軟件在輸入錯誤、磁盤故障、網(wǎng)絡(luò)過載或有意攻擊情況下，能否不死機、不崩潰，就是該軟件的魯棒性。所謂“魯

65、棒性”，是指控制系統(tǒng)在一定（結(jié)構(gòu)，大小）的參數(shù)攝動下，維持某些性能的特性。根據(jù)對性能的不同定義，可分為穩(wěn)定魯棒性和性能魯棒性。以閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性作為目標設(shè)計得到的固定控制器稱為魯棒控制器。</p><p>　　魯棒性原是統(tǒng)計學中的一個專門術(shù)語，20世紀70年代初開始在控制理論的研究中流行起來，用以表征控制系統(tǒng)對特性或參數(shù)攝動的不敏感性。在實際問題中，系統(tǒng)特性或參數(shù)的攝動常常是不可避免的。產(chǎn)生攝動的原因主要有兩個方

66、面，一個是由于量測的不精確使特性或參數(shù)的實際值會偏離它的設(shè)計值（標稱值），另一個是系統(tǒng)運行過程中受環(huán)境因素的影響而引起特性或參數(shù)的緩慢漂移。因此，魯棒性已成為控制理論中的一個重要的研究課題，也是一切類型的控制系統(tǒng)的設(shè)計中所必須考慮的一個基本問題。對魯棒性的研究主要限于線性定?？刂葡到y(tǒng)，所涉及的領(lǐng)域包括穩(wěn)定性、無靜差性、適應控制等。魯棒性問題與控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（頻率域內(nèi)表征控制系統(tǒng)穩(wěn)定性裕量的一種性能指標）和不變性原理（自動控制理論中

67、研究扼制和消除擾動對控制系統(tǒng)影響的理論）有著密切的聯(lián)系，內(nèi)膜原理（把外部作用信號的動力學模型植入控制器來構(gòu)成高精度反饋控制系統(tǒng)的一種設(shè)計原理）的建立則對魯棒性問題的研究起了重要的推動作用。當系統(tǒng)中存在模型攝動或隨機干擾等不確定性因素時能保持其滿意功能品質(zhì)的控制理論和方法稱為魯棒控制器。早期的魯棒控制主要研究單回路系統(tǒng)頻率特性的某些特征，或基于小攝動分析</p><p>　　控制系統(tǒng)的一個魯棒性是指控制系統(tǒng)在某種類

68、型的擾動作用下，包括自身模型的擾動下，系統(tǒng)某個性能指標保持不變的能力。對于實際工程系統(tǒng)，人們最關(guān)心的問題是一個控制系統(tǒng)當其模型參數(shù)發(fā)生大幅度變化或其結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時能否仍保持漸近穩(wěn)定，這叫穩(wěn)定魯棒性。進而還要求在模型擾動下系統(tǒng)的品質(zhì)指標仍然保持在某個許可范圍內(nèi)，這稱為品質(zhì)魯棒性。魯棒性理論目前正致力于研究多變量系統(tǒng)具有穩(wěn)定魯棒性和品質(zhì)魯棒性的各種條件。它的進一步發(fā)展和應用，將是控制系統(tǒng)最終能否成功應用于實踐的關(guān)鍵。</p>

69、<p>　　一直以來，Lorenz混沌系統(tǒng)的完全同步問題一直是研究熱潮，并用許多混沌同步方法得到了驅(qū)動-響應同步的充分條件。由于自適應控制中的反饋增益是一個動力系統(tǒng)，它可以根據(jù)系統(tǒng)的需要自動調(diào)節(jié)到適當?shù)姆答佋鲆妫哂泻芎玫聂敯粜院蛯嵱眯缘忍攸c，而且容易操作。所以，在本文中我們考慮利用自適應同步方法研究并實現(xiàn)Lorenz混沌系統(tǒng)同步，利用控制理論和穩(wěn)定性理論，設(shè)計自適應控制器，實現(xiàn)用包含多個控制器實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步的方案，并給出

70、了數(shù)值仿真，說明方法的有效性及可行性。</p><p><b>　　準備工作</b></p><p><b>　　設(shè)一個非線性系統(tǒng)：</b></p><p>　　， （2-1）</p><p>　　其中, 為狀態(tài)向量, 是一個光滑的非線性映

71、射。</p><p>　　我們以（2-1）為驅(qū)動系統(tǒng)，并以結(jié)構(gòu)相同的另一個系統(tǒng)為響應系統(tǒng)：</p><p>　　。 （2-2） </p><p>　　其中, 為響應系統(tǒng)的狀態(tài)向量, 為響應系統(tǒng)的控制向量。（2-1）和（2-2）的初值可以不同。即，但是?？刂频哪康木褪鞘梗?-2）式的狀態(tài)與（2-1）式的狀態(tài)漸近一致，

72、即：，而與它們的初值無關(guān)。</p><p>　　定義1 若兩個非線性系統(tǒng)（2-1）和（2-2）對于任何處置都滿足</p><p>　　則稱系統(tǒng)（2-1）與（2-2）是全局漸近同步的。</p><p>　　本文考慮Lorenz混沌系統(tǒng)的同步問題，其微分方程為</p><p><b>　　（2-3） </b></p

73、><p>　　即 ，</p><p>　　其中，，為驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)變量，為實數(shù)。當，時，Lorenz系統(tǒng)具有典型的混沌狀態(tài)。</p><p>　　將（2-3）式作為驅(qū)動系統(tǒng)，作如下響應系統(tǒng) </p><p><b>　?。?-4）</b><

74、;/p><p><b>　　或者寫成矩陣形式：</b></p><p>　　其中，，為響應系統(tǒng)的狀態(tài)變量， 是定義在一個全概率空間中的維布朗運動。在本文中，我們假設(shè)當時，和是彼此獨立的過程，為待設(shè)計的同步控制器.</p><p>　　為了研究（2-3）和（2-4）的同步問題，定義同步誤差為</p><p><b>

75、　　。</b></p><p>　　由（2-3）和（2-4）得如下誤差系統(tǒng)：</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p><b>　　或者寫成矩陣形式：</b></p><p>　　= （2-6）</p><p>　　定義2 （

76、均方意義下穩(wěn)定）：隨機誤差系統(tǒng)(5)稱為是均方穩(wěn)定的,如果對任何初始狀態(tài),都有</p><p>　　。 （2-7）</p><p>　　定義3 對于系統(tǒng)（2-3）和（2-4），如果對任意的初值都有 </p><p>　　則稱系統(tǒng)（2-3）和（2-4）在均方意義下漸近同步的。</p><p>　

77、　顯然，要實現(xiàn)（2-3）和（2-4）在均方意義下漸近同步，我們只要證明系統(tǒng)（2-5）或（2-6）的平凡解在均方意義下是穩(wěn)定的。要實現(xiàn)此目的，在本文中，我們將設(shè)計自適應控制器。在給出本文主要結(jié)果之前，我們首先給出與本文相關(guān)的幾個引理。</p><p>　　穩(wěn)定性是考查一個系統(tǒng)的重要指標之一,通過解來判定穩(wěn)定性一般是行不通的,目前主要方法是通過構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)來判定系統(tǒng)穩(wěn)定性, 構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)沒有通用的方法,只

78、能通過試驗的方法來驗證所構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的合理性。</p><p>　　連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng),自治狀態(tài)方程為</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　其中為維狀態(tài),對所有</p><p>　　引理1 （Lyapunov函數(shù)穩(wěn)定性定理）：對連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)（2-8）, 若構(gòu)造對具

79、有連續(xù)導數(shù)的標量函數(shù),且對狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)點 滿足以下條件:</p><p>　　(1) 為正定且當時,有</p><p>　　(2) ， （2-9）</p><p>　　則稱系統(tǒng)的原點為全局穩(wěn)定的。若（2-9）只有在時等號成立，則稱系統(tǒng)（2-8）的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。<

80、;/p><p>　　本文的目的是設(shè)計自適應控制器, 使響應系統(tǒng)（2-4）漸近同步于驅(qū)動系統(tǒng)（2-3）。由前面的討論得，我們只有證明（2-6）在均方意義下是漸近穩(wěn)定的。</p><p><b>　　在本問中我們假設(shè)</b></p><p>　　下面關(guān)于向量形式的Brownian 運動的性質(zhì)將要在本文中用到：</p><p>&

81、lt;b>　　(a) </b></p><p>　　(b) 假設(shè)是一個標量函數(shù)，其中得到的微分形式為</p><p>　　在上述方程中，運用到下面的代數(shù)運算且和</p><p>　　是獨立的過程，因此對于和任意的。</p><p>　　第三章 主要結(jié)果</p><p>　　在本章中，我們將設(shè)計適當

82、的控制器使得誤差系統(tǒng)（2-5）的平凡解在均方意義下是漸近穩(wěn)定的。我們有如下定理：</p><p>　　定理1 若假設(shè)條件 成立，則在控制器</p><p>　　，i=1,2,3 （3-1）</p><p><b>　　以及更新律</b></p><p>　　下，誤差系統(tǒng)（2-5）

83、的平凡解在均方意義下是漸近穩(wěn)定的。</p><p><b>　　證明：記。</b></p><p>　　選取如下的Lyapunov函數(shù)</p><p>　　， （3-2）</p><p><b>　　其中是待定常數(shù)。</b></p><p>　　將（

84、3-2）沿著系統(tǒng)（2-6）關(guān)于時間求導得</p><p>　　由混沌系統(tǒng)的有界性，滿足,記為 的最大特征值，則 </p><p>　　由假設(shè) 得，</p><p>　　取 </p><p>　　則 （3-3） 對上式(3-3)兩邊取期望的</p>

85、<p>　　在上式中，若時，一定有＜0。所以上式中，當且僅當時等號成立。</p><p>　　由LyaPunov穩(wěn)定性定理知</p><p>　　則根據(jù)Lyapunov函數(shù)漸進穩(wěn)定性理論，誤差系統(tǒng)（2-5）的平凡解是漸進穩(wěn)定的，從而在控制器（3-1）的作用下，系統(tǒng)（2-4）和（2-3）是全局漸近同步的。</p><p><b>　　第四章 舉例

86、</b></p><p>　　在本章中，我們將用具體的數(shù)值仿真來驗證本文的理論結(jié)果。</p><p>　　利用MATLAB軟件，選取初值系統(tǒng)（2-3）的混沌軌道見圖1。其他初始值</p><p>　　;步長為0.005，得到圖2-圖9。其中圖3-圖5分別描述的是以及的軌道圖形?？梢钥闯?，驅(qū)動和響應系統(tǒng)的狀態(tài)很快達到同步；圖6-圖8分別描述的是誤差系統(tǒng)（2

87、-6）的狀態(tài)以及的軌道圖形，圖中表示以及隨時間很快趨于零，進一步驗證圖3-圖5的結(jié)果。在圖9中，我們可以看到，當驅(qū)動和響應系統(tǒng)達到同步以后，控制參數(shù)達到某常數(shù)狀態(tài)。 </p><p>　　圖1 驅(qū)動系統(tǒng)的Lorenz混沌軌道 圖2 響應系統(tǒng)的Lorenz混沌軌道</p><p>　　圖3 隨時間的軌跡圖

88、 圖4 隨時間的軌跡</p><p>　　圖5 隨時間的軌跡圖 圖6 同步誤差隨時間的軌跡圖</p><p>　　圖7 同步誤差隨時間的軌跡圖 圖8 同步誤差隨時間的軌跡圖</p><p>　　圖9 參數(shù)隨時間的軌跡圖</p><p><b>　　總結(jié)與展望&

89、lt;/b></p><p>　　在生活中的許多實際例子中，噪聲是不可避免的，所以本文用自適應控制方法研究在噪聲干擾下的Lorenz混沌系統(tǒng)的自適應同步問題。通過設(shè)計一個適當?shù)淖赃m應控制器，利用Lyapunov函數(shù)的穩(wěn)定性理論并通過嚴格的數(shù)學證明得到自適應同步的充分條件。并且用MATLAB仿真驗證了其方法的有效性。 </p><p><b>　　參考文獻<

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