信息與計算科學畢業(yè)論文也談矩陣的廣義逆

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　也談矩陣的廣義逆</b></p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 信息與計算科學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要<

3、/b></p><p>　　矩陣的廣義逆與初等變換是十分重要的運算.它們在解矩陣方程組, 求逆矩陣以及矩陣理論的探討中有很重要的作用. 矩陣的廣義逆在實際應用中為著不同的目的可以定義不同意義的廣義逆, 即也可研究滿足泊松方程中的部分方程的矩陣. 本文首先簡要介紹了矩陣和矩陣廣義逆的發(fā)展簡史, 然后介紹矩陣廣義逆的定義及其性質和計算方法, 并列舉出了各種特殊情況和非特殊情況下如何求解矩陣廣義逆, 最后介紹了通

4、過矩陣廣義逆求解矩陣方程的方法, 并給出了具體的實例. </p><p>　　關鍵詞: 矩陣廣義逆；初等變換；矩陣方程；Penrose方程</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Matrix generalized inverses and elementary transformation matrix i

5、s a very important operation. In solving equations, the inverse of matrix and matrix theory, it is playing a very important role. Generalized inverses in practical applications, for different purposes can define the gene

6、ralized inverse different meaning, in other words we can also study the equation that satisfy part of the Penrose matrix equation. </p><p>　　In this paper, we briefly introduces the generalized inverse matri

7、x and the matrix, the definition of generalized inverse matrix and its properties and calculation methods, and give examples of the various special cases and the non-exceptional circumstances how to solve Matrix Inverse.

8、 Then introduced the way to solve the matrix equation, and gives some specific examples.</p><p>　　Keywords: Generalized inverses matrix; Elementary transformation; Matrix equation; Penrose equation</p>

9、<p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1前 言1</b></p><p><b>　　2矩陣的廣義逆2</b></p

10、><p>　　2.1 廣義逆矩陣2</p><p>　　2.2 廣義逆矩陣5</p><p>　　3 廣義逆矩陣的計算9</p><p>　　3.1 求解廣義逆矩陣9</p><p>　　3.2 求解廣義逆矩陣10</p><p>　　4 利用廣義逆矩陣求解矩陣方程12</p&g

11、t;<p><b>　　5小結14</b></p><p><b>　　參考文獻15</b></p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1前 言</b></p><p>　　矩陣的現(xiàn)代概念在19世紀逐漸形成. 1801年高

12、斯把一個線性變換的全部系數(shù)作為一個整體. 1844 年, 愛森斯坦討論了“變換”（矩陣）及其乘積. 1850年, 西爾維斯特首先使用矩陣一詞.1858年, 凱萊發(fā)表《關于矩陣理論的研究報告》. 他首先將矩陣作為一個獨立的數(shù)學對象加以研究, 并在這個主題上首先發(fā)表了一系列文章, 因而被認為是矩陣論的創(chuàng)立者, 他給出了現(xiàn)在通用的一系列定義. 1854年, 埃米爾特使用了“正交矩陣”這一術語, 但他的正式定義到1878年才由費羅貝尼烏斯發(fā)表.

13、 1879年, 費羅貝尼烏斯引入矩陣秩的概念. </p><p>　　矩陣本身所具有的性質依賴于元素的性質, 矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個多世紀的發(fā)展, 現(xiàn)在已經(jīng)成為一門數(shù)學分支——矩陣論. 而矩陣論又可分為矩陣分解論和廣義逆矩陣論矩陣的現(xiàn)代理論. 矩陣的應用是多方面的, 不僅在數(shù)學領域里, 而且在力學, 物理, 科技等方面都有十分廣泛的應用. </p><p>　　矩陣廣義逆的概

14、念最早由I.Fredholm提出, 他給出了矩陣廣義逆的定義, 并稱為偽逆, 1920年, E.H.Moore首先提出了矩陣的廣義逆的概念, 他利用投影矩陣定義了矩陣唯一Moore的廣義逆. 1933年, E.H.Moore的學生Y.Y.Tseng又將Moore廣義逆推廣到Hilbert空間, 提出了Hilbert空間線性算子的廣義逆的概念, 然而, 矩陣的廣義逆真正得到迅速的發(fā)展并在各個領域獲得卓有成效的應用是在1955年R.Penr

15、ose利用四個矩陣方程（現(xiàn)在稱之為Penrose方程組）給出了廣義矩陣的簡潔實用的新定義, 即矩陣的Moore廣義逆滿足以下四個矩陣方程:</p><p>　?。?）， （2），</p><p>　　（3）， （4）</p><p>　　因此, 通常稱條件（1）～（4）為Moore-Penrose條件. </p>&

16、lt;p>　　近五十年來, 廣義逆矩陣的理論和應用得到了迅速發(fā)展, 并扮演著不可或缺的角色, 例如在微分方程, 數(shù)值代數(shù), 線性統(tǒng)計推斷, 最優(yōu)化, 測量學等方面, 特別是在研究最小二乘問題, 長方及病態(tài)線性方程問題, 非線性問題, 馬爾科夫鏈等統(tǒng)計問題, 線性及非線性規(guī)劃等問題中, 廣義逆是不可缺少的工具. 因此, 至今為止, 矩陣及算子廣義逆仍然是國際上非?；钴S的一個研究領域. 而且廣義逆理論本身以及相關的應用領域蓋有很多有待

17、進一步研究.</p><p><b>　　2矩陣的廣義逆</b></p><p>　　我們熟知, 對于階矩陣, 如果, 則存在逆矩陣, 滿足. 但是當方陣不可逆時, 是否也有類似的概念.</p><p>　　1955年彭羅斯（Penrose）證明了對任給的矩陣, 存在唯一的矩陣, 滿足下列四個方程:</p><p>　　

18、（1）， （2），</p><p>　?。?）， （4）</p><p>　　這四個方程稱為彭羅斯方程, X稱為彭羅斯—穆爾（Moore）逆, 記作. </p><p>　　特別地, 若A是可逆方陣, 則滿足上述四個方程, 即. </p><p>　　在實際應用中, 為著不同的目的可以定義不同意義

19、的廣義逆, 即可研究滿足彭羅斯方程中的部分方程的矩陣. 設矩陣, 用記號表示滿足彭羅斯方程中的第,第, …, 第個方程的那些階矩陣的集合. 用符號表示集合中任何一個矩陣, 稱其為A的一個逆.</p><p><b>　　2.1 廣義逆矩陣</b></p><p>　　定義2. 1 設, 若有滿足Penrose方程, 即</p><p>　　（1

20、）； （2）；</p><p>　?。?） （4）. </p><p>　　則稱為的Moore-Penrose逆, 記為. </p><p>　　定理2.1 設, , 即有</p><p><b>　?。?）,</b></p>

21、<p><b>　　(2) .</b></p><p>　　證明 對于, 記, 則有</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p

22、><b>　　, </b></p><p><b>　　所以, 并且.</b></p><p>　　同理可證另一結論. </p><p>　　定理2. 2 設, 則存在且唯一. </p><p>　　證明 存在性. 當時, ;當時, , 從而有滿秩分解. 記, 則有</p>

23、<p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　由定義可得</b></p>

24、;<p><b>　　, </b></p><p>　　唯一性. 對于, 如果和都滿足Penrose方程, 則有</p><p><b>　　所以唯一. </b></p><p><b>　　廣義逆有如下性質:</b></p><p><b>　　,

25、</b></p><p>　　若A為可逆方陣, 則, </p><p><b>　　, 其中</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b&

26、gt;</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　A為實對稱方陣時, , </p><p><b>　　以下等式成立:</b></p><p><b>　?、? </b>

27、</p><p><b>　?、? </b></p><p>　　計算非零矩陣的廣義逆矩陣, 定理2.2給出了只用矩陣滿秩分解的方法. 下面再來介紹使用矩陣奇異值分解的方法. </p><p>　　定理2.3 設的奇異分解為</p><p><b>　　, </b></p><

28、p>　　其中和及的意義同式, 則</p><p><b>　　. </b></p><p>　　廣義逆矩陣的一個重要應用是研究線性方程組的最小二乘法問題, 即尋找, 使得達到極小. </p><p>　　引理2.1 設, 則有</p><p><b>　?。?）, 并且;</b></

29、p><p>　　（2）, 并且. </p><p>　　定理2.4 如果方程組有解, 則它的極小范數(shù)解唯一, 并且. </p><p>　　定理2.5 如果方程組有解, 則它的極小范數(shù)最小二乘法解唯一, 并且. </p><p><b>　　2.2 廣義逆矩陣</b></p><p>　　

30、定義2.2 設, 若有滿足, 則稱為的一個逆, 記為或, 其全體記為. 易見. </p><p>　　下面介紹用初等變換求一個（或幾個）的方法. </p><p>　　設, 由“擬Hermite標準型”可得:存在可逆矩陣, 使得. 再由</p><p><b>　　,</b></p><p>　　又得: 存在置換矩

31、陣, 使得, 于是有, 或者. </p><p>　　設, 數(shù)是A的某一個｛1｝逆, 則有如下性質:</p><p><b>　　, </b></p><p>　　若A可逆, 則, 此時唯一, </p><p><b>　　, 其中</b></p><p><b>

32、;　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　設矩陣P, Q可逆, 則, </p><p><b>　　, </b></p><p>　　和都是冪等矩陣. （若則稱B為冪等矩陣）. </p><p>　　證明 （1）因為,

33、所以. </p><p>　　, 即對任何, 都有, 所以集合A｛1｝只有唯一的一個元素.</p><p>　　若, 由定義知零矩陣就是零矩陣的一個｛1｝逆. 若, 則, 于是, 故.</p><p>　　由, 根據(jù)兩個矩陣之積的秩小于等于兩個矩陣中任何一個矩陣的秩, 可推出</p><p><b>　　. </b>&

34、lt;/p><p><b>　　由可推出</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　因此 </p><p><b>　　.</b></p><p>　　因為, 故只能取等式時才成立,

35、即</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　同理可證. </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　因此和都是冪等矩陣. </p><p>　　定理2.6 任意給定, 則</p>

36、;<p>　　是矩陣的一個逆. </p><p><b>　　證明 </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　因此. </b></p><p>　　應用矩陣的逆, 可以研究矩陣方程</p><p&g

37、t;<b>　?。?.1）</b></p><p>　　的可解性及其求解方法. </p><p>　　定理2.7 矩陣方程（2.1）有解的充要條件是</p><p>　　, （2.2）</p><p>　　并且在有解時, 其通解為</p>

38、<p>　　, （2.3）</p><p><b>　　其中任意. </b></p><p>　　證明 條件（2.2）成立時, 是方程（2.1）的解;方程（2.1）有解時, 直接導出</p><p><b>　　, </b></p><p>　　即

39、條件（2.2）成立. </p><p>　　方程（2.1）有解時, 由于</p><p><b>　　, </b></p><p>　　所以式（2.3）是方程（2.1）的解. 又設是方程（2.1）的任一解, 則有</p><p><b>　　, </b></p><p>　

40、　即方程（2.1）的解可以表示為式（2.2）的形式, 故式（2.2）是方程（2.1）的通解. </p><p>　　式（2.3）表明是方程（2.1）的一個解, 而是對應的齊次方程的通解. </p><p><b>　　推論1 設, 則</b></p><p><b>　　, </b></p><p

41、>　　證明 因為, 所以有解, 其通解為</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　令, 即, 則有</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　推論2 設, 則線性方程組有解的充要條件是</p>

42、<p>　　, （2.4）</p><p>　　并且在有解時, 其通解為</p><p>　　, （2.5）</p><p><b>　　其中任意. </b></p><p>　　3 廣義逆矩

43、陣的計算</p><p>　　3.1 求解廣義逆矩陣</p><p>　　例3.1 求的廣義逆矩陣. </p><p>　　解 （1）滿秩分解方法:</p><p><b>　　設, 則</b></p><p><b>　　, </b></p><p&g

44、t;<b>　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　?。?）奇異值分解方法:</p><p>　　由題意得的奇異值分解為</p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　. <

45、;/b></p><p>　　需要指出, 可逆矩陣的逆矩陣具有的性質, 對于一般矩陣的廣義逆矩陣不一定具有. 例如</p><p>　　（1）:取, , 則</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p>　?。?

46、）:不是方陣時, 這是明顯的;是方陣時, 取同例3. 1, 則</p><p><b>　　. </b></p><p>　　3.2 求解廣義逆矩陣 </p><p>　　例3.2 設, 且A可寫成如下分塊矩陣：</p><p><b>　　, </b></p><p>

47、　　其中是r階單位方陣, 求. </p><p>　　解 設, 則X是矩陣, 將X適當分塊, </p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　其中于是</b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　由知

48、, 即A｛1｝中的任一個矩陣可寫成</p><p>　　其中為任意矩陣. </p><p><b>　　求的一個逆. </b></p><p><b>　　解 , </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b&

49、gt;　　, </b></p><p>　　其中和是任意常數(shù). </p><p>　　4 利用廣義逆矩陣求解矩陣方程</p><p>　　定理4.1 設, 向量為已知, 向量為未知, 則</p><p>　　線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是, </p><p>　　方程組有解時, 為它的一個特解

50、, 方程組的通解為</p><p>　　其中, 為任意列向量. </p><p>　　例4.1 已知線性方程組Ax=b中</p><p>　　求該方程組的最小二乘解和通解. </p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　, </b></p&g

51、t;<p>　　故的特征值為. 它們對應的單位特征向量分別是</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　所以</b></p&g

52、t;<p><b>　　, </b></p><p><b>　　故最小二乘解為</b></p><p><b>　　通解為</b></p><p>　　其中為任意實向量. </p><p><b>　　5小結</b></p>

53、<p>　　矩陣是數(shù)學中的一個重要的基本概念, 是代數(shù)學中的主要研究對象, 也是數(shù)學研究和應用的一個重要的工具. 它是從許多實際問題的計算中抽象出來的一個極其重要的數(shù)學概念, 它被廣泛的應用于管理科學, 自然科學, 工程技術等各個領域. 本文通過對矩陣概念中的一項——矩陣的廣義逆發(fā)展和歷史背景的介紹, 對矩陣的廣義逆有了初步的認識. 接著介紹了矩陣廣義逆的定義和一系列相關定理, 然后講述了矩陣廣義逆的計算, 這樣逐步加深對矩陣

54、廣義逆的了解.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 陳公寧. 矩陣理論與應用[M]. 科學出版社, 2007: 192~210.</p><p>　　[2] 同濟大學應用數(shù)學系. 矩陣分析[M]. 同濟大學出版社. 2005:153~173.</p><p>　　[3] 吳有為. 求

55、廣義逆矩陣的初等變換法[J]. 數(shù)學通報, 1992:26~27.</p><p>　　[4] 徐德余. 矩陣初等變換的推廣及其應用[J]. 綿陽師范學院學報, 2005: 7~9.</p><p>　　[5] 張凱院, 徐仲. 數(shù)值代數(shù)[M]. 科學出版社, 2006:20~27.</p><p>　　[6] 王松桂, 楊振海. 廣義逆矩陣及其應用[M]. 北京工

56、業(yè)大學出版社, 2006:82~123.</p><p>　　[7] 陳永林. 廣義逆矩陣的理論與方法[M]. 南京師范大學出版社, 2005:20~54.</p><p>　　[8] 鄭兵. 矩陣廣義逆理論. 計算及其應用的若干問題[M]. 上海大學出版社, 2003:32~71.</p><p>　　[9] Zhong-peng Yang, Chong-Guan

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