信息與計算科學畢業(yè)論文形式背景組合運算與概念計算

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　形式背景組合運算與概念計算</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p&g

3、t;<p>　　形式概念分析是數(shù)據(jù)挖掘和信息處理的一種有效數(shù)學工具, 備受廣大科研工作者的關(guān)注, 在眾多實際領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.</p><p>　　本文是在形式概念分析理論框架下, 對形式背景組合運算及其概念計算問題進行研究. 首先回顧了形式概念分析的基本研究狀況, 復(fù)習相關(guān)的基本概念. 論文創(chuàng)造性地給出各種形式背景的組合運算, 對各種形式背景組合運算的性質(zhì)進行了研究. 之后, 組合形式背景中的形

4、式概念的生產(chǎn)問題進行了研究, 給出各種形式背景下概念的計算方法.</p><p>　　關(guān)鍵詞：形式背景; 形式概念; 形式背景組合; 概念計算</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Formal Concept Analysis (FCA) is a king of effective mathematica

5、l tool for data mining and information processing, which have been paid much attention by many researchers, and it has many important applications on many practical domains.</p><p>　　The study of this thesis

6、 is faced on composition operations of formal contexts and corresponding formal concepts computation. First, basic research situation is reviewed, and some related notions for FCA are examined. The thesis proposes some n

7、ew notions of composition formal contexts constructively. Subsequently, the properties of composition formal contexts are discussed in detail. Finally, the computation of the formal concepts of composition formal context

8、s is investigated, and methods for t</p><p>　　Keywords: Formal context; Formal concept; Composition formal context; Concept computation</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　中文摘要…

9、………………………………………………………………………...…..I</p><p>　　英文摘要.……………………………………………………… …………………….II</p><p>　　1 前言…………………………………………………………………………………錯誤!未定義書簽。</p><p>　　2 形式背景與概念格理論.………………………………….……………………

10、…..3</p><p>　　2.1 形式背景.……………………………………………….……………………...3</p><p>　　2.2 概念格.………………….………………………………….…………………..4</p><p>　　3 形式背景的組合運算..………………………..……………….…………………...7</p><p>　　3.

11、1 組合形式背景的構(gòu)造..……..………………………………………………….7</p><p>　　3.2 組合形式背景的性質(zhì)..………..……………………………………………...10</p><p>　　4 組合形式背景中的概念計算..……………………………………………………12</p><p>　　4.1 子形式背景下的概念..………………………………………………

12、……….12</p><p>　　4.2 補背景的概念計算..……………………………………………………….....13</p><p>　　4.3 積形式背景的概念計算..………………………………………………….....14</p><p>　　4.4 和與差形式背景的概念計算..……………………………………………….15</p><p>　

13、　4.5 直和形式背景的概念計算..………………………………………………….15</p><p>　　4.6 對稱差形式背景的概念計算..……………………………………………….16</p><p>　　5 小結(jié)..………………………………………………………………………………17</p><p>　　參考文獻..…………………………………………………………………………

14、…18</p><p>　　致 謝..……………………………………………………………………………..18</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　形式概念分析, 是一種形式化數(shù)據(jù)表示和處理方法. 自從德國的Wille教授在20世紀80年代初提出了以來, 在過去的二十幾年里經(jīng)過不斷地實踐與發(fā)展, 其理論與方法日趨完善

15、和成熟. 發(fā)展成為聚類、數(shù)據(jù)分析、信息挖掘、知識發(fā)現(xiàn)、本體工程等的有力工具, 在超過200多項科學工程中得到應(yīng)用. 到今天已成為一個非?；钴S又富有吸引力的研究領(lǐng)域. 形式概念分析的方法和論題也在迅速擴大, ICFCA(International Conference of Formal Concept Analysis)自2003年開始, 每年舉辦一次, 會上主要反映形式概念分析的理論基礎(chǔ)及其實際應(yīng)用的發(fā)展和拓寬領(lǐng)域的一些成就, 并出版

16、會議文集. 國內(nèi)早在1995年就有學者開始關(guān)注概念格的發(fā)展, 相關(guān)文獻主要收錄在中國知網(wǎng)的中國學術(shù)期刊全文數(shù)據(jù)庫、中國優(yōu)秀博碩士學位論文全文數(shù)據(jù)庫、中國重要會議論文全文數(shù)據(jù)庫和計算機類的核心期刊中, 在我國近兩年以來一直保持在較高的發(fā)展水平之上, 呈現(xiàn)出了高速發(fā)展的態(tài)勢.</p><p>　　概念格[1], 作為形式概念分析理論中的一種核心數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu), 其核心思想是采用形式概念分析方法, 將知識的表達結(jié)構(gòu)化. 作為

17、一個年輕并高速發(fā)展的領(lǐng)域, 越來越多的國內(nèi)外學者開始從事或關(guān)注概念格的理論研究及其發(fā)展、應(yīng)用. 從CNKI的1994年到2006年對概念格的學術(shù)關(guān)注度來看其呈逐年上升趨勢, 尤其是近幾年, 上升趨勢格外明顯.</p><p>　　概念格理論的研究主要集中在以下幾個方面:</p><p>　　1. 構(gòu)建概念格[2, 3]. 建格的過程實際上是概念聚類的過程. 概念格的建造算法可分兩類:批處理

18、算法和增量算法. T. B. Ho. (1997)研究了基于概念格的概念聚類算法, 并實現(xiàn)了一些學習系統(tǒng). 安廣偉(2007)等提出基于階形式背景核的概念格同構(gòu)建造出新的概念格, 并給出了階形式背景核的基本算法.</p><p>　　2. 約簡概念格[4, 5, 6, 7, 8]. 約簡概念格是形式概念知識表示中解決復(fù)雜性的重要途徑. 張文修等借助粗糙集約簡理論研究了概念格約簡理論與方法[4].王國俊等人對概念格

19、的屬性約簡做了判定[5].胡春玉(2006)利用相似關(guān)系研究模糊概念個的精確約簡和近似約簡, 又利用變精度概念格研究模糊概念格的約簡. </p><p>　　3. 規(guī)則提取[9]. 概念格上提取的規(guī)則相對于其它分類器具有更好的分類效果. Godin. R(1994)等在其提出的增量式建格算法基礎(chǔ)上給出了由概念格來提取蘊含規(guī)則的算法, Hu. K. Y. (1999)提出了一種在概念格上提取分類和關(guān)聯(lián)規(guī)則的集成算法

20、. 紹明文 (2006)等給出了協(xié)調(diào)決策形式背景與不協(xié)調(diào)決策背景規(guī)則的獲取方法.</p><p>　　4. 與粗糙集的關(guān)系[10, 11, 12, 13,]. 概念格與粗糙集在研究背景與研究目標存在著一定的聯(lián)系. Kent(1996)提出粗糙概念分析, 提出了一種在形式概念分析的框架下, 更具一般性的新方法． Yao. Y. Y. (2004)基于粗糙集理論, 構(gòu)造了三種與形式概念相關(guān)而又不同的概念格, 為深刻理

21、解數(shù)據(jù)分析提供了一種新的途徑[10]. 張文修(2006)等在文中重點分析了概念格與分劃之間的關(guān)系, 并證明兩者是可以互相轉(zhuǎn)換.</p><p>　　5. 應(yīng)用[14, 15]. 概念格理論已被廣泛應(yīng)用于知識工程、數(shù)字圖書館、信息檢索、軟件工程等領(lǐng)域, 并在經(jīng)濟學等領(lǐng)域中開始發(fā)揮作用. 在知識發(fā)現(xiàn)方面, 有不少作者探討過從格上提取規(guī)則的問題. 也有作者直接用格節(jié)點進行實例匹配而進行分類 (Ho, 1997). 在

22、數(shù)字圖書館及文獻檢索方面, Neuss和Kent (1999)使用概念格進行Internet上文檔元信息的自動分類和分析. Kent 和 Bowman (1995)建造了基于概念格的用于數(shù)字圖書館的系統(tǒng) Nebula 及相應(yīng)接口. 在導航能力方面, Eklun 和 Martin (1998)展示了概念層次進行Web文檔索引和導航的能力. 在軟件工程方面, Corbett 和Burrow (1996)提出使用概念格表示建筑早期設(shè)計軟件支持

23、環(huán)境(SEED)中的狀態(tài)圖的表示. Godin 和 Mineau 等人描述了使用概念格方法從現(xiàn)存軟件系統(tǒng)中生成和檢索摘要的方法. 在經(jīng)濟學方面, 汪丁丁提出1998年以來經(jīng)濟學和認知科學交界處的三個基本概念, 它們來自代數(shù)學“格論”, 其中之一為概念格, “概念格”理論, 作為認知科學的最新成</p><p>　　Rudolf Wille等在講述了概念格的性質(zhì). 孫舒楊等講述了背景格的定義及其構(gòu)造方法, 并給出了

24、背景格的若干性質(zhì)以及完備性證明[13]. 張曉東等利用Galois聯(lián)絡(luò)對概念格的基本性質(zhì)進行了深入的研究. 但是, 對于形式背景組合運算與概念計算研究尚未見到有關(guān)報道. 在此基礎(chǔ)之上, 本文討論具有相同屬性集和對象集的形式背景, 通過對它們二元關(guān)系的組合構(gòu)成的新的形式背景及其所對應(yīng)的概念格的性質(zhì)進行研究. 進一步擴充了概念格理論, 對概念格理論研究與應(yīng)用有著一定意義.</p><p>　　2 形式背景與概念格理論

25、</p><p><b>　　2.1 形式背景</b></p><p>　　形式背景是形式概念分析的基礎(chǔ).</p><p>　　定義2.1[1] 稱為一個形式背景, 其中為對象集, 每個稱為一個對象; 為屬性集, 每個稱為一個屬性; 為和之間的二元關(guān)系, . 若, 則說具有屬性, 記為.</p><p>　　本文中, 用

26、√表示, 用*表示, 這樣, 形式背景就可以表示為只有√和*的表格.</p><p>　　例2.1 設(shè)是一個有關(guān)動物的形式背景, 其中對象集｛老虎, 鴿子, 老鷹, 山羊, 鴕鳥｝, 屬性集｛捕食的, 會飛的, 鳥類, 哺乳類｝, 這些由表格簡要說明. 下面的表描述了一些動物, 它們具有以上提到過的屬性. 其中*表示一個動物和對應(yīng)屬性間不存在關(guān)系, √表示一個動物和對應(yīng)屬性存在關(guān)系.</p><

27、;p>　　例如表2.1中第一行中的√、 *、 *、 √表示老虎具有“捕食的, 哺乳類”這兩個屬性, 不具有“會飛的, 鳥類”這兩個屬性.</p><p>　　表2.1 有關(guān)動物的背景</p><p>　　定義2.2 對于形式背景, 在對象集和屬性集上分別定義運算:</p><p><b>　　,</b></p><p&

28、gt;<b>　　.</b></p><p>　　, 記為; , 記為. 若, , , 且, , , 則形式背景是正則的.</p><p>　　定義2.2中表示中所有對象共同具有的屬性的集合; 表示共同具有中所有屬性的對象集合. </p><p><b>　　2.2 概念格</b></p><p>

29、　　定義2.3[1] 設(shè)為一個形式背景. 對于, 如果, 且, 則稱是一個形式概念, 簡稱概念. 其中, 稱為概念的外延, 稱為概念的內(nèi)涵．</p><p>　　形式概念的外延是具有屬性集的最大對象集, 內(nèi)涵是對象集所共有的最大屬性集. 近來, 有工作者對形式概念進行了推廣[6]:</p><p>　　設(shè)是一個形式背景, 記</p><p><b>　　,

30、 .</b></p><p>　　表示對象所具有的屬性集, 表示屬性被具有的對象集. 顯然</p><p><b>　　.</b></p><p>　　推廣到的子集, 到的子集到子集, 得:</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　形式背景

31、有以下基本性質(zhì)[1]: , , , , , ,</p><p><b>　　(1) , ;</b></p><p><b>　　(2) , ;</b></p><p><b>　　(3) , ;</b></p><p><b>　　(4) ;</b><

32、;/p><p><b>　　(5) , ;</b></p><p><b>　　(6) , ;</b></p><p>　　(7) 和都是概念.</p><p>　　定義2.4[1] 若, 是某個背景上的兩個概念, 而且(等價于), 則我們稱是的子概念, 是的超概念, 并記作. 關(guān)系稱為是概念的序, 簡

33、稱“序”. 的所有概念用這種序組成的集合用表示, 稱它為背景上的概念格. </p><p>　　例2.2 形式背景同例2.1, 為表述簡潔, 我們將中的“老虎”, “鴿子”, “老鷹”, “山羊”和“鴕鳥”分別用1、2、3、4和5來記, 則. 將的屬性“捕食的”、 “會飛的” “鳥類”和“哺乳類”分別用a、b、c和d來記, 則. 該背景一共有7個概念: , , , , , , . 它們構(gòu)成的概念格的Hasse圖由

34、圖2.1給出.</p><p>　　圖2.1 動物的形式背景的概念格</p><p>　　定理2.2[1] 概念格是一個完備格, 其上確界和下確界分別是</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　

35、其中, 為索引集.</b></p><p>　　定義2.5[5] 設(shè)和是兩個概念格, 如果對于任意, 總存在, 使得, 則稱細于, 記作</p><p><b>　　.</b></p><p>　　如果且, 那么稱兩個概念格同構(gòu), 記作.</p><p>　　定義2.6[1] 一個背景稱為凈化的, 如果任何兩

36、個滿足()都有, 而且對偶地任意兩個滿足()都有.</p><p>　　3形式背景的組合運算</p><p>　　3.1 組合形式背景的構(gòu)造</p><p>　　本小節(jié)給出組合形式背景的定義, 并討論有關(guān)的一些基本概念及其性質(zhì).</p><p>　　定義3.1 設(shè)和是兩個形式背景, 對于任意的, , 令</p><p>

37、;<b>　　.</b></p><p>　　則稱形式背景為形式背景和的和形式背景, 并記其為, 簡稱為和的和背景.</p><p>　　定義3.2 設(shè)和是兩個形式背景, 對于任意的,, 令</p><p><b>　　.</b></p><p>　　則稱形式背景為形式背景和的積形式背景, 并記其為

38、, 簡稱為和的積背景.</p><p>　　例3.1 設(shè)和是兩個形式背景, 其中</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　關(guān)系和分別由表3.1與表3.2給出. 則組合形式背景和分別由表3.3與表3.4給出.</p><p><b>　　表3.1 形式背景</b></p&

39、gt;<p><b>　　表3.2 形式背景</b></p><p>　　表3.3 和形式背景</p><p>　　表3.4 積形式背景</p><p>　　定義3.3 設(shè)為一個形式背景, 定義它的補形式背景為, 簡稱為的補背景. 這里, 對于任意的, , 都有</p><p><b>　　.&l

40、t;/b></p><p>　　定義3.4 設(shè)和是兩個形式背景, 定義形式背景和的差形式背景為, 簡稱為和的差背景.</p><p>　　例3.2 對于例3.1中的形式背景和, 的補背景, 和的差背景分別由表3.5和表3.6給出.</p><p><b>　　表3.5 形式背景</b></p><p><b&

41、gt;　　表3.6 形式背景</b></p><p>　　定義3.5[10] 設(shè)和是兩個形式背景, 令 , , . 則稱形式背景為形式背景和的直和, 并記其為, 簡稱為和的直和背景, 同時, 記和分別為和.</p><p>　　設(shè)和是兩個形式背景, 對于, , 若, 我們認為屬性和是相等的, 記為.</p><p>　　定義3.6 設(shè)和是兩個形式背景,

42、令稱</p><p><b>　　,</b></p><p>　　記, 則稱為和的對稱差形式背景, 記為.</p><p>　　例3.3 如表3.7和3.8中的形式背景和, 則和的對稱差形式背景如表3.9所示.</p><p><b>　　表3.7 形式背景</b></p><

43、p><b>　　表3.8 形式背景</b></p><p><b>　　表3.9 形式背景</b></p><p>　　3.2 組合形式背景的性質(zhì)</p><p>　　顯然, 定義3.1和定義3.2中的組合形式背景滿足下列性質(zhì):</p><p>　　定理3.1 設(shè)、和是三個形式背景, 則<

44、;/p><p>　　(1) , , , ;</p><p><b>　　(2) , , ;</b></p><p><b>　　(3) , , ;</b></p><p><b>　　(4) , , ;</b></p><p><b>　　(5)

45、, .</b></p><p>　　設(shè)和分別是對象集和屬性集, 令和分別表示形式背景和, 這里, , , 也就是說, 對于任意的, , 都有</p><p><b>　　, .</b></p><p>　　定理3.2 設(shè)、、是形式背景, 則</p><p><b>　　(1) , .</b&g

46、t;</p><p><b>　　(2) , .</b></p><p>　　記對象集為和屬性集為的全體形式背景為.</p><p>　　定義3.5 對于, 若或者等價地, 則稱形式背景小于形式背景, 記作.</p><p>　　性質(zhì)3.3 設(shè)、是形式背景, 則</p><p><b>

47、　　(1) ;</b></p><p>　　(2) , , , .</p><p>　　由前面的性質(zhì)可知, “”是上的一個偏序關(guān)系, 也就是下列性質(zhì)滿足</p><p>　　(i) 自反性: , ; </p><p>　　(ii) 反對稱性: , ; </p><p>　　(iii) 傳遞性: , .<

48、;/p><p>　　其中, 表示的就是因此, 是一個偏序集. 進一步, 有上面的性質(zhì)可知偏序集是一個布爾代數(shù).</p><p>　　4 組合形式背景中的概念計算</p><p>　　下面首先討論各種形式背景組合的模態(tài)邏輯算子的性質(zhì).</p><p>　　定理4.1 設(shè), 和是三個形式背景, 對任意的, , 有</p><p&g

49、t;　　(1) 若, , ;</p><p><b>　　(2) , ;</b></p><p><b>　　(3) , ;</b></p><p><b>　　(4) , ;</b></p><p><b>　　(5) , ;</b></p>

50、<p><b>　　(6) , .</b></p><p>　　其中. , , , .</p><p>　　證明 由對稱性知, 每小題只需證前半即可.</p><p>　　(1) , , , ;</p><p><b>　　(2) ;</b></p><p>

51、<b>　　(3) ;</b></p><p><b>　　(5) ;</b></p><p><b>　　(6) .</b></p><p>　　4.1 子形式背景下的概念</p><p>　　設(shè)為一個形式背景, , 記, 則稱形式背景為的子形式背景.</p>

52、<p>　　例4.1 對于例2.1中形式背景,｛1(老虎), 2(鴿子), 3(老鷹), 4(山羊), 5(鴕鳥)｝, ｛(捕食的), (會飛的), (鳥類), (哺乳類)｝, 若, 則子形式背景如表4.1所示.</p><p>　　表4.1 有關(guān)動物的背景</p><p>　　定理4.2 設(shè)為一個形式背景,,,則</p><p><b>　　,

53、 .</b></p><p>　　例4.2 對于例4.1中形式背景, 它的概念格如圖4.1所示, 從圖2.1和圖4.1可以看出, .</p><p><b>　　圖4.1概念格</b></p><p>　　4.2 補背景的概念計算</p><p>　　設(shè)是一個形式背景, 它的補背景是. 形式背景作為一個一般化

54、經(jīng)典近似空間, 在粗糙集理論中定義了如下兩個近似算子:</p><p><b>　　對于任意的, ,</b></p><p><b>　　, ;</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　定理4.3 , ; </p><p>

55、;<b>　　, .</b></p><p>　　證明 由對稱性可知, 只需證明前兩個等式.</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　定理4.4 .</b></p><

56、p>　　定理4.4 給出了在原形式背景中計算其補形式背景的形式概念的方法. </p><p>　　4.3 積形式背景的概念計算</p><p>　　設(shè)和是兩個具有相同對象集和屬性集的形式背景. 它們對應(yīng)的概念格和與它們的積形式背景的概念格之間有如下的關(guān)系:</p><p>　　定理4.5 對任意的, 都存在</p><p><b&

57、gt;　　, </b></p><p><b>　　使得</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　證明 由于, , , 則和. 而且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由,, 所以.

58、對于任意的, 由得, 由得. 所以</p><p><b>　　,</b></p><p>　　即. 因此, . 于是得到. </p><p>　　定理4.5說明, 積形式背景對應(yīng)的概念格可以由原形式背景和對應(yīng)的概念格和計算得來.</p><p>　　4.4 和與差形式背景的概念計算</p><p&g

59、t;　　和形式背景和差形式背景的概念格中的每個概念不一定是原形式背景, 的概念格中相對應(yīng)的概念, 的和與差.</p><p>　　對于形式背景和, 由形式背景的組合性質(zhì)可知, </p><p><b>　　, .</b></p><p>　　因此, 和形式背景和差形式背景的概念格的計算問題可以轉(zhuǎn)化為某些形式背景的補背景, 積形式背景的概念格的計

60、算.</p><p>　　定理4.6 對任意的, 都存在和 , 使得, .</p><p>　　4.5 直和形式背景的概念計算</p><p>　　定理4.7 設(shè)和是兩個形式背景, 是它們的直和形式背景, 則</p><p>　　(1) 對于任意, 存在, , 使得;</p><p>　　(2) 對于任意, , 有&l

61、t;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 (1) 對于任意, , , , 令, , , . 則. 這時, .</p><p>　　(2) 對于任意, , 則</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以, .<

62、/b></p><p>　　定理4.8 設(shè)和是兩個形式背景, 是它們的直和形式背景, 對于任意, 如果存在滿足, 則.</p><p>　　證明 有定理4.7(2)可知, . 反過來, . 因此, .</p><p>　　4.6 對稱差形式背景的概念計算</p><p>　　設(shè)和是兩個形式背景, 它們的對稱差是的子形式背景與的子形式背景

63、的直和. 因此, 可以轉(zhuǎn)化成子形式背景中概念的計算和直和形式背景中概念的計算. </p><p><b>　　5 小結(jié)</b></p><p>　　概念格理論是一種數(shù)據(jù)處理和知識處理的工具, 已被成功應(yīng)用于許多領(lǐng)域. 本文提出了形式背景組合運算與概念格計算這一全新概念, 即具有相同屬性和對象的形式背景通過二元關(guān)系的組合運算后所得的形式背景. 形式背景組合進一步擴充了概

64、念格理論, 對概念格理論的研究和應(yīng)用有著一定的意義. 本文給出了組合形式背景性定義, 其中包括子形式背景、補形式背景、積形式背景、和形式背景、直和形式背景、對稱差形式背景. 對組合形式背景的運算性質(zhì)進行了仔細研究. 并著重研究了各種組合形式背景下的概念的計算方法. 并用算例加以說明.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　B. Ganter

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