信息與計算科學(xué)畢業(yè)論文數(shù)學(xué)與哲學(xué)之我見

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與哲學(xué)之我見</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 信息與計算科學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要<

3、/b></p><p>　　數(shù)學(xué)和哲學(xué)有著極為悠久的歷史, 早在很久的時候, 就有人認(rèn)識到: 假如我們的生活失去了哲學(xué), 那么我們就不能認(rèn)識到數(shù)學(xué)的深度; 假如我們的生活失去了數(shù)學(xué), 那么我們就不能認(rèn)識到哲學(xué)的深度. 數(shù)學(xué)與哲學(xué)就是這樣, 彼此都不能分離. 對于哲學(xué)的認(rèn)識, 我們知道, 它是關(guān)于人類社會常識、自然科學(xué)以及思維常識的認(rèn)識與研究, 作為一門科學(xué), 我們用它來考察這個世界的根本特質(zhì)及客觀規(guī)律; 然

4、而, 作為哲學(xué)不可分割的一部分, 數(shù)學(xué)扮演著研究數(shù)量存在的關(guān)系和目前現(xiàn)實的世界空間形式的角色. 數(shù)學(xué)與哲學(xué)彼此相依, 作為方法論, 哲學(xué)向數(shù)學(xué)提供了指導(dǎo)作用, 與此同時數(shù)學(xué)也時刻地影響著我們所認(rèn)可的一些觀點, 包括我們的人生觀、世界觀. </p><p>　　當(dāng)數(shù)學(xué)對那些所進(jìn)行考察的對象做出了量的規(guī)定時, 眾多非常深刻的哲學(xué)意義同時也蘊涵在數(shù)學(xué)中的一些非常基本的概念之中. 數(shù)學(xué)與哲學(xué)向來都是不可分的, 互相聯(lián)系

5、, 互相發(fā)展的, 通過歷史的見證, 我們得知數(shù)學(xué)的發(fā)展時刻經(jīng)深受哲學(xué)的影響, 與此同時數(shù)學(xué)又更為深刻地, 不斷的影響著哲學(xué)的深入發(fā)展. 本文就分別從數(shù)學(xué)的發(fā)展在哲學(xué)中的滲透及哲學(xué)的發(fā)展對數(shù)學(xué)的影響探討了它們兩者的關(guān)系.</p><p>　　關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué); 哲學(xué); 發(fā)展</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　

6、The relationship between mathematics and philosophy has a long history. A philosopher said, without mathematics, we cannot understand the philosophy deeply. Philosophy is about social, natural and thinking knowledge’s ge

7、neralization and summary. It is the science which reseachs the essence and regulation of the whole world; Mathematics is the specific science which researchs quantitative relation and the real world space form. Philosoph

8、y provides the methodology basis to mathematics, while mathe</p><p>　　When math make the unitage to the researching object, many profound philosophical significance also contain some concepts in mathematics.

9、 Mathematics and philosophy are always inseparable, the development of math is influenced by the philosophy all the time. Meanwhile, mathematics deeply influence the development of philosophy. This paper discusses the re

10、lationship between development of mathematics and philosophy according to the interaction to philosophy and mathematics.</p><p>　　Key words: Mathematics, Philosophy, Development</p><p><b>

11、　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractIII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 數(shù)學(xué)對哲學(xué)的滲透2</p><p>　　2.1數(shù)學(xué)的前進(jìn)過程, 深化了對哲

12、學(xué)基礎(chǔ)概念的理解2</p><p>　　2.2數(shù)學(xué)的發(fā)展—合情推理, 發(fā)現(xiàn)邏輯的存在模式4</p><p>　　2.3數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展改革了科學(xué)的思想觀念7</p><p>　　2.4 數(shù)學(xué)發(fā)展促進(jìn)了哲學(xué)思想的發(fā)展8</p><p>　　3 哲學(xué)對數(shù)學(xué)的影響11</p><p>　　3.1在世界觀中, 哲學(xué)為數(shù)

13、學(xué)指引前進(jìn)方向11</p><p>　　3.2哲學(xué)作為一種方法論, 為數(shù)學(xué)提供了杰出的探索工具和認(rèn)識工具11</p><p><b>　　4 小結(jié)14</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)15</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p&g

14、t;<b>　　1 前言</b></p><p>　　哲學(xué), 直觀得表現(xiàn)出對這個世界的認(rèn)識是社會文化, 自然科學(xué), 思維結(jié)構(gòu)的囊括與衍生分析, 是論點和對世界感官的結(jié)合思想, 是社會意識形態(tài)的具體表現(xiàn)形式, 是根據(jù)哲學(xué)的世界觀和方法論為根本內(nèi)容, 是以追求世界的本質(zhì), 本源, 共性與絕對, 終極的形而上學(xué)為形式的社會科學(xué)[1]. 它與自然科學(xué)的關(guān)系是辨證統(tǒng)一的, 然而, 它們之間又是有所區(qū)別

15、的. 說它們辯證的統(tǒng)一, 因為是它們探討的對象都是不依存與世界且獨立存在的外在條件. 而它們存在的差異性僅在于: 哲學(xué)闡述的是彼此相同的事物, 而同時它也存在于客觀物質(zhì)世界中, 那些運動的普遍形式而存在的相關(guān)性以及一直存在的規(guī)律. 而自然科學(xué)則都是以世界中所存在的相對領(lǐng)域為它的探討目標(biāo), 并且研究物質(zhì)中的一種運動形式的異于其他的一些規(guī)律; 由此, 我們可以知道, 哲學(xué)與科學(xué)之間的關(guān)系是互相制約, 互相作用, 并且相互間不可變化的. &l

16、t;/p><p>　　數(shù)學(xué), 是研究空間形式和客觀世界數(shù)量關(guān)系的一門自然科學(xué). 它不僅向我們提供了一些重要的研究方式和計算方法, 并且, 它還有著科學(xué)的語言, 想象的空間, 與此同時, 它更是建立最重要的辯證唯物的主義哲學(xué)的基礎(chǔ)科學(xué)其中之一[2]. 數(shù)學(xué)還有著精煉的思想內(nèi)涵, 創(chuàng)新的方式方法, 緊密的邏輯推理能力, 簡單的操作手法, 以便闡明細(xì)枝末節(jié), 充實其探討對象, 并揭示一般性存在的真實規(guī)律, 從而使我們形成了

17、豐富的完整的學(xué)習(xí)體系. 數(shù)學(xué)印證了原有的基本問題或關(guān)于哲學(xué)方面的對象, 同時, 數(shù)學(xué)有著十分緊密的的邏輯思維, 豐富的空間想象能力, 十分普遍的實際操作能力等重要特征, 哲學(xué)與自然有很多地方積極相似, 因此, 這也歸屬了哲學(xué)和自然將一定有著甚是緊密的聯(lián)系. 本文對數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間相互聯(lián)系進(jìn)行進(jìn)一步的思考及研究, 同時, 對其進(jìn)行深入研究和探討. </p><p>　　2 數(shù)學(xué)對哲學(xué)的滲透</p>&l

18、t;p>　　2.1數(shù)學(xué)的前進(jìn)過程, 深化了對哲學(xué)基礎(chǔ)概念的理解</p><p>　　美國數(shù)學(xué)家魯賓遜1960年創(chuàng)立了實數(shù)的非標(biāo)準(zhǔn)模型, 其具體描述是: 在數(shù)學(xué)中利用現(xiàn)代數(shù)理邏輯把通常實數(shù)結(jié)構(gòu)擴(kuò)張為包括無窮小數(shù)與無窮大數(shù)的結(jié)構(gòu)而形成的一個新分支. 這一模型, 給予了無限小和無限大極為嚴(yán)格的理論依據(jù), 同時也為微積分提供了更為堅實的理論基礎(chǔ), 因此, 在此基礎(chǔ)上, 創(chuàng)建了一個全新的關(guān)于微積分的理論——非標(biāo)準(zhǔn)分析

19、[3]. </p><p><b>　　圖1: 非標(biāo)準(zhǔn)分析</b></p><p>　　我們在非標(biāo)準(zhǔn)分析中, 通過建立起一個非標(biāo)準(zhǔn)實數(shù)坐標(biāo)軸, 同時通過引入一個新的概念即單子的概念, 這樣, 我們就能使非標(biāo)準(zhǔn)實數(shù)坐標(biāo)軸變成一個空間, 同時它也是關(guān)于層次結(jié)構(gòu)的空間. 在這個空間中, 可以得知, 單子的外面所表現(xiàn)出來的是不同的數(shù)量層次之間所存在的質(zhì)的差異; 而在單子的里面

20、所包含的是那些無窮小量, 它們之間僅僅是量上的區(qū)別, 因此, 它的比值并不是無限的, 它是有限的, 其運算方法與性質(zhì)和單子外面的那些普通的實數(shù)并無多大差別. 而在非標(biāo)準(zhǔn)分析理論還沒有建立之前, 人們在討論 “質(zhì)量互變規(guī)律” 中的 “量” 時, 他們都還沒有意識到無限數(shù)量的變化引起質(zhì)變, 而在非標(biāo)準(zhǔn)分析的建立下, 為表述出這樣一個數(shù)學(xué)模型, 它是由 “質(zhì)量互變規(guī)律” 在那些 “無限的領(lǐng)域” 具體表現(xiàn)的. 于是, 可以得知, 通過對非標(biāo)準(zhǔn)分

21、析創(chuàng)立, 使得 “質(zhì)量互變規(guī)律” 得到了進(jìn)一步的豐富, 同時, 哲學(xué)知識也進(jìn)一步得到了豐富. </p><p>　　數(shù)學(xué)家托姆（R. Thom）發(fā)現(xiàn), 在自然界中, 以及社會的各個領(lǐng)域中都大量的存在著總多不連續(xù)的, 變化的現(xiàn)象, 于是, 我們可以運用數(shù)學(xué)中微分映射中的奇點理論, 替這些客觀存在的現(xiàn)象構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型, 由此來來預(yù)測研究并且控制這些客觀的對象, 這恰恰為突變論的由來提供了堅實的理論依據(jù)[4]. &l

22、t;/p><p>　　眾所周知, 突變理論的主要工具是拓?fù)鋵W(xué), 其主要基礎(chǔ)又是憑借著結(jié)構(gòu)的相對穩(wěn)定性定理, 并以此得到了一個嶄新的判別突變原則, 而所謂飛躍的原則, 就是在那些極為嚴(yán)格的控制條件下, 假如在質(zhì)變中所經(jīng)歷的那些中間過渡態(tài)是相對穩(wěn)定的, 則我們就將它稱作為一個漸變的過程. 我們來打個比方, 假設(shè)要砍一棵樹, 如果從樹頂開始一段一段地去砍這棵樹, 那么整個過程就是結(jié)構(gòu)相對穩(wěn)定的漸變過程. 如果從樹根開始砍,

23、 那么砍到一定的程度, 就會破壞這棵樹的結(jié)構(gòu)的相對穩(wěn)定性, 那么樹就會立刻倒了下來. 可以得知, 我們所破壞的這種結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性就是突變, 就是飛躍的過程. 再來打個比方, 我們拿社會進(jìn)行變革的角度來看, 從腐朽的封建主義向較為先進(jìn)的資本主義過渡, 不同國家所采取的過渡方式各不相同, 大都國家所采用的方式是暴力來實現(xiàn)制度的過渡, 而英國所采取的方式就截然不同, 它的君主立憲制是一種改革的模式, 憑借著漸變的方式來實現(xiàn)的. 面對這些結(jié)構(gòu)所表述

24、一些穩(wěn)定的現(xiàn)象以及一些不穩(wěn)定的現(xiàn)象, 突變理論作了一系列定義, 該定義是用勢函數(shù)的 “洼存在” 用來表述它的穩(wěn)定狀態(tài), 而用 “洼取消” 用來表述它的不穩(wěn)定狀態(tài),</p><p><b>　　圖2: 突變模型</b></p><p>　　突變理論已經(jīng)向我們提出了眾多的數(shù)學(xué)模型, 用來解釋社會現(xiàn)象和自然界中所發(fā)生的那些間斷的變化形式, 用來表述那些不同的現(xiàn)象從形態(tài)的某種

25、形式毫無預(yù)料地飛躍到與本身毫不相同的其他的形式的原因. 就像房屋的倒塌, 玻璃的碎裂, 家庭的破壞, 生存模式的改變, 種類的變異以及物種的進(jìn)化. 依照突變理論所定義的, 社會現(xiàn)象和自然界中的那些眾多的不連續(xù)的事情, 都能通過一些特殊的幾何形狀表述出來. 突變理論得出, 那些由一維空間以及三維空間的四個因子所控制下的種種突變, 存在著7種不同的突變類型, 即折迭突變, 尖頂突變, 燕尾突變, 蝴蝶突變, 橢圓臍形突變, 雙曲臍突變以及拋

26、物臍形突變.[5]</p><p>　　打個比方, 如果用兩個手指捏住一段有富有較大彈性的鋼絲, 使它向上不斷彎曲, 在此基礎(chǔ)上, 再用力壓鋼絲使它變形, 當(dāng)達(dá)到鋼絲所能承受的一個臨界程度時, 它會突然的向下彎曲, 并且失去了本應(yīng)具有的彈性. 這樣簡單的一個小實例, 就是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常見到的一種突變的模型, 它存在著兩個穩(wěn)定的狀態(tài), 即向上彎曲和向下彎曲, 而對這些狀態(tài)所決定的因素是: 其中一個是鋼絲的壓力（

27、垂直的方向）, 另一個則是手指所夾的力（水平的方向）, 可以利用尖頂突變模型很好的來表達(dá). 在突變模型中, 存在著一些特殊的模型, 它們能夠在不同質(zhì)態(tài)的情況下彼此互相轉(zhuǎn)化. 而在自然界中, 還存在著一些不可逆的過程, 就好像, 死亡是一種特殊突變, 只能是活人變成死人, 而死人變成活人這種情況是不存在的. 對于這一類過程可用燕尾突變解釋. 因此, 可以得知, 突變理論是運用精確而形象的數(shù)學(xué)理論, 及數(shù)學(xué)模型來表述那些質(zhì)量互變的過程. &

28、lt;/p><p>　　由上面的種種實例可以表明, 在某些特定的情況下, 質(zhì)變的表現(xiàn)形式多種多樣, 它可以是漸變的形式, 同時它也可以是突變的形式. 所以, 我們可以對此給予一個特定的條件, 改變它的某些控制的因素, 那么存在著一個漸變的過程能轉(zhuǎn)化成飛躍的形式; 同理可得, 存在著一個飛躍的過程也可以通過對它給予指定條件, 進(jìn)而轉(zhuǎn)化成飛躍. 突變模型還向我們展示了: 在奇點（質(zhì)變點）附近的一切事物所具有的狀態(tài)的變化,

29、 既存在著各種各樣的可行性, 而且也存在著不確定性, 隨機(jī)性. </p><p>　　怎樣很好地把握質(zhì)變所需要的條件以及多樣性的形式, 對于良好的理解和運用 “質(zhì)量互變的規(guī)律”, 了解以及創(chuàng)新整個世界有著極為重要的指導(dǎo)作用. 很好的認(rèn)識奇點（質(zhì)變點）這個特殊存在的點, 并且盡自己一切的力量, 使得事情向我們所希望得到的結(jié)果靠近. 這是運用 “質(zhì)量互變規(guī)律” 來改造客觀世界的提供的方法論.</p>&

30、lt;p>　　2.2數(shù)學(xué)的發(fā)展—合情推理, 發(fā)現(xiàn)邏輯的存在模式</p><p>　　合情推理是波利亞的 “啟發(fā)法”（heuristic, 即 “有助于發(fā)現(xiàn)的”）中的一個極為代表性的一個推理模式. 波利亞發(fā)現(xiàn), 我們可以通過對一些問題的解決過程, 特別是對那些已經(jīng)存在的成功的實踐經(jīng)歷的進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究, 得出了能夠解決所有問題的 “萬能方法”在現(xiàn)實生活中是不可能存在的; 每當(dāng)人們解決問題的時候, 總是需要針對具

31、體面對的情況, 時不時地向自己提出一些發(fā)人深省的問題, 而這些問題往往是包含了啟發(fā)性的意義, 用來開發(fā)和促進(jìn)人們空間想象能力[6].</p><p>　　波利亞通過科學(xué)的思考及研究, 把推理分成了兩種模式, 其一為論證推理; 其二則是合情推理. 論證推理, 在數(shù)學(xué)中運用極為廣泛, 它不是偶然性的推理, 它往往飽含著嚴(yán)密的邏輯性和嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn), 我們的各個推理想法都必須符合該邏輯規(guī)則. 相反的, 合情推理則以另一種形

32、式存在著, 它正是一種或然性的推理, 它的結(jié)論往往超越了前提所包容的范圍, 伴隨著猜想的成分, 所以推理所得到的結(jié)論不一定是正確的, 然而合情推理具有著探索和提供證明,猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的思路和方向的作用. 實際上, 論證推理所存在的作用極為廣泛, 而最為主要的是用來解釋與肯定那些我們所學(xué)習(xí)到的科學(xué)文化知識. 歸納推理和類比推理都是一種推理, 這種推理是合情推理, 它根據(jù)已經(jīng)存在的事實條件, 經(jīng)過仔細(xì)地觀察, 認(rèn)真地分析, 不斷地聯(lián)想, 最

33、后進(jìn)行總結(jié)歸納, 類比推理, 之后再得到自己猜想的一種推理[7]. </p><p>　　所謂歸納推理, 就是將個別性的知識進(jìn)行歸納, 從而推論出一些簡單的結(jié)論的推理. 例如: 銳角三角形中所有的內(nèi)角和都是; 直角三角形中所有的內(nèi)角和也都是; 鈍角三角形中所有的內(nèi)角和同樣是; 通過分析可以得出, 銳角角三角形, 直角三角形以及鈍角三角形它們的集合組成了全部的三角形; 因此, 可以得出一個結(jié)論: 所有三角形的內(nèi)角和

34、都是. </p><p>　　以上的例子從銳角三角形, 直角三角形以及鈍角三角形所有的內(nèi)角和分別都是這些個的別性質(zhì), 推導(dǎo)出了 “所有三角形的內(nèi)角和” 都是這樣的一般性結(jié)論, 這就是歸納推理. </p><p>　　類比推理是根據(jù)兩個不同對象在某些方面的相似之處, 推測出這兩個對象在其他方面也可能有相似之處. </p><p>　　比如我們可以利用平面向量的性質(zhì)類比

35、得空間向量的性質(zhì), 見表1. </p><p><b>　　表1</b></p><p>　　再如, 圓和球, 它們在形狀上和概念上, 都有類似的地方, 即具有完美的對稱性, 都是到定點的距離等于定長的點的集合, 見表2.</p><p><b>　　表2</b></p><p>　　通過眾多的實例

36、可以得到, 合情推理模型存在著極為普遍的適應(yīng)性, 是科學(xué)發(fā)現(xiàn)邏輯的一般模式. 恩格斯認(rèn)為: 思維和存在的關(guān)系問題是哲學(xué)尤其是近代哲學(xué)所關(guān)心的重大的基本問題. 而這個問題總共包括了兩個方面, 第一個是思維與存在究竟哪一個為本原的問題; 第二個是思維和存在究竟有沒有同一性的問題, 也就是正確反映了我們的所具有的思維到底能不能認(rèn)識現(xiàn)實以及正確地反映當(dāng)代現(xiàn)實世界的問題. 而我們以邏輯哲學(xué)這樣的一個角度來研究時, 它存在的重大的基本問題就是客觀現(xiàn)

37、實與邏輯的關(guān)系的問題.[8] 目前, 我們已經(jīng)清楚得到了, 數(shù)學(xué)的快速發(fā)展有助于我們發(fā)現(xiàn)邏輯的模式, 同時為解決客觀現(xiàn)實提供了強(qiáng)有力的保障. 因而, 其對哲學(xué)發(fā)展的作用是顯而易見的. </p><p>　　2.3數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展改革了科學(xué)的思想觀念</p><p>　　在研究數(shù)學(xué)問題時遇到一種特別放入思想方法及一種特別成就的的獲得, 時常會為科學(xué)思想方法注入無限的青春動力, 從而發(fā)生科學(xué)思想

38、方法的重大改變. 此類的事例舉不勝舉, 例如美國著名的自動控制論研究者, 工程科學(xué)院院士扎德在1965年研究的模糊數(shù)學(xué)就是其中較為重要的一個案例. </p><p>　　模糊數(shù)學(xué)就是將不清楚的現(xiàn)象和事物作為探討的東西, 經(jīng)典集合論與模糊集合論, 他們之間最本質(zhì)的差異在于他們介于生存的基礎(chǔ)想法的重大意義則不盡不同[9]. 眾所周知, 在經(jīng)典集合當(dāng)中, 判定一個元素是否屬于另一個集合, 存在的只有兩種可能, 分別是屬

39、于或者不屬于, 二者必須選擇一個, 它的特征函數(shù)的基本邏輯思維極為單一, 即二值邏輯, 它僅僅是對事物 “非此即彼” 做了相對的闡述; 而模糊集合則不同了, 它是把特征函數(shù)描述進(jìn)而引申到到隸屬函數(shù), 也就是說, 這時, 我們可以取[0, 1]之間的的任何實數(shù)值, 其邏輯基礎(chǔ)變?yōu)榱硕嘀颠壿? 它擴(kuò)展為了對事物 “亦此亦彼” 狀態(tài)的作出更為具體的分析. 但是, 有一點, 我們不容否認(rèn), 經(jīng)典集合與模糊集合是有著千絲萬縷的關(guān)系.</p&

40、gt;<p>　　當(dāng)隸屬函數(shù)的集合僅包含這兩個數(shù)時, 這個時候的隸屬函數(shù)和經(jīng)典集合中的特征函數(shù)就不存在差別了, 此時所呈現(xiàn)出來的集合就是通常的經(jīng)典集合. 當(dāng)我們把經(jīng)典集合的特征函數(shù)看做是隸屬函數(shù)時, 此時經(jīng)典集合也可以看成是模糊綜合. 因此, 可以得出, 經(jīng)典集合是特殊的模糊的綜合, 并且模糊綜合是經(jīng)典集合的進(jìn)一步衍生. </p><p>　　其具體實例描述是這樣的: </p><

41、;p>　　圖3 經(jīng)典集合描述: 特征描述</p><p>　　當(dāng) 非此即彼, .</p><p>　　圖4 模糊集合的描述: 隸屬函數(shù)</p><p>　　當(dāng)時, 亦此亦彼, , 隸屬度刻畫元素屬于某集合的程度.</p><p>　　扎德為人類社會科學(xué)發(fā)展作出了巨大的貢獻(xiàn), 他還補(bǔ)充了關(guān)于模糊集合的并, 補(bǔ), 交等計算方法, 并

42、且實際證明了它們的運算規(guī)律是可行的, 在進(jìn)一步的研究中, 為實現(xiàn)經(jīng)典集合和模糊集合的有利替換, 使得能把模糊集合中的轉(zhuǎn)化困難可以通過替換, 變?yōu)榻?jīng)典集合中的困難最終處理, 于是他據(jù)此進(jìn)一步深化了模糊集合的表現(xiàn)定理, 分解定理和擴(kuò)張定理, 最終將經(jīng)典集合中的導(dǎo)向拓寬到模糊集合的中間, 并成為研究模糊集合的必不可少的指導(dǎo)方向. </p><p>　　模糊理論發(fā)展至今已接近三十余年, 形式不斷更新, 它的內(nèi)容也隨之變得

43、豐富多彩, 從實際真實視角來分析, 我們能在模糊關(guān)系, 模糊數(shù), 模糊概率, 模糊圖, 模糊邏輯, 模糊判斷, 模糊識別以及模糊控制等范圍看到其身影; 而從實際操作視角來分析, 它早已融入了化學(xué), 物理學(xué), 生物學(xué), 象學(xué), 醫(yī)學(xué), 氣地質(zhì)學(xué), 人文科學(xué), 社會科學(xué), 控制論, 系統(tǒng)論, 信息論與人工智能. 種種現(xiàn)象說明, 模糊數(shù)學(xué)已經(jīng)為數(shù)學(xué)科學(xué)注入不同的人文氣息, 為人類文明進(jìn)步作出巨大貢獻(xiàn), 是科學(xué)思想史上的又一次動人心弦的改變.

44、現(xiàn)在, 了解與操作模糊數(shù)學(xué)早已變成為一種新的趨勢, 它是體會萬物, 了解世界的一個必不可少的方式方法. </p><p>　　2.4 數(shù)學(xué)發(fā)展促進(jìn)了哲學(xué)思想的發(fā)展</p><p>　　數(shù)學(xué)對那些全新范圍的探討研究以及一些重要成果的發(fā)現(xiàn), 對人類社會的影響極其重大, 它可以引起一些非常重大的革命, 既可以在數(shù)學(xué)思想上, 也可以在哲學(xué)思想上. 此類例子數(shù)不勝數(shù), 其中歌德爾的不完備性定理就是很

45、好的佐證. </p><p>　　眾所周知, 不完備性定理可以分為兩種, 第一不完備性定理, 它的描述是這樣的: 任意一個包含算術(shù)系統(tǒng)在內(nèi)的形式系統(tǒng)中, 都存在著這樣一個命題, 這個命題在此系統(tǒng)中既不能夠被證明也不能夠被給予否定. 而第二不完備性定理則是: 任意一個包含算術(shù)系統(tǒng)在內(nèi)的形式系統(tǒng), 它自身不能夠證明自己的無矛盾性. 由此, 我們從哲學(xué)上看, 這定理十分清晰的表明了相應(yīng)的方法所存在的局限性, 而從數(shù)學(xué)的

46、角度來看, 又十分清楚的表明了認(rèn)識所存在的局限性,.[10] </p><p>　　在現(xiàn)實的客觀世界中, 存在著各種互不相同的層次的結(jié)構(gòu), 而各種不同的層次的結(jié)構(gòu)時常會發(fā)生纏繞或混淆. 就像那些不可判定的命題, 即是由歌德爾不完的備性定理構(gòu)建而成的, 所要表達(dá)的就是自己是不能夠被自己證明的, 而這, 恰恰就是是層次所混淆的產(chǎn)生的結(jié)果; 但是, 通過時間的驗證, 這個定理開始逐漸被人們所接受, 并開始運用于實踐當(dāng)中

47、, 因此我們應(yīng)該轉(zhuǎn)換自己的思想, 重新的去看待那些層次相互混淆的問題. 為了能夠更好的認(rèn)識多層次之間的客觀存在的事物, 構(gòu)建多層次的了解的結(jié)構(gòu)是必須的; 同時, 又因為那些客觀存在的事物中的一些互不相同的層次往往是彼此混淆的, 于是人們將注意力轉(zhuǎn)移到 “跨越不同層次間不同的溝通問題” 上去.</p><p>　　哥德爾不完備性定理的運用極為廣泛, 舉例來說, 我們對數(shù)學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步的探討研究時, 會認(rèn)為組成集合的一

48、個個體, 我們稱它為 “元”, 但是 “元” 之外的那些特別的屬性, 比如說狗的屬性, 牛的屬性, 以及數(shù)的屬性, 我們都不去做過多的考慮. 因此, 我們就把一個集合抽象成了, 而它所包含的 “元”, 則被抽象成了. </p><p>　　我們可以得知: 屬于. 同時, 我們也可以明確: 不可以是自身的一個元, 即 不可以屬于, 可以得知這個規(guī)定還是有理可依的, 舉例來說, 我們所有的課本所構(gòu)成的集合不是課本,

49、因此所有課本所構(gòu)成的集合并不可能是此集合中的一個元. 而的其中一部份同樣也可由自身構(gòu)造出來一個集, 而它就是我們所稱的的 “子集”. </p><p>　　而我們有一種特殊情況, 就是屬于時: 可以與相等, 同時也存在著一種特殊情況, 就是當(dāng)它沒有元素時, 這就是我們所說的 “空集”, 我們把這樣兩種特殊的情況叫作的 “平凡” 子集. </p><p>　　給出一個 “對

50、等” 的定義: 假如,為兩個互不相同的集, 要是,之間彼此能夠互相建立起一一對應(yīng)的關(guān)系, 那么就可以得出一個結(jié)論: 即對等于.</p><p>　　相反的, 同樣可以得出一樣的結(jié)論. “對等” 在不同的集之間, 被視為最為基本的關(guān)系. 如果要使兩集之間對等, 且與都僅包含有限個元, 則需要的條件是: 當(dāng)且僅當(dāng)兩個集合的元的所具有的個數(shù)相等. </p><p>　　假如與集合都含有無限的元素

51、, 那么它們之間彼此也能建立起對等的關(guān)系, 就好像兩個無限的數(shù)列與, 即: : 彼此之間就能夠建立起一一對應(yīng)的關(guān)系, 所以, 當(dāng)我們證明了對等于時, 則就證明了, 任意兩個不同的無限數(shù)列的集合彼此都能對等. </p><p>　　但是, 并不是所有無限集之間都能對等. 例如: 在實數(shù)軸中, 由到之間所包含的所有有理數(shù), 它的集合為, 再假設(shè)到之間所包含的所有的無理數(shù), 它的集合為, 那么可以得到: : 與彼此

52、不對等; : 與中的一個非平凡的子集對等, 有了以上的條件, 結(jié)合所得到的結(jié)論, 可以得到是小于的. : 與一個被進(jìn)行無限大的推廣的自然數(shù)序列數(shù)目對等. 可以得到上面所表述的有 “勢” 且為可數(shù)勢, 這就說明, 所包含的元的數(shù)目能夠一個接著一個地計數(shù), 即使我們不可能全部的數(shù)得完. 因此, 可以得到, 那些由自然數(shù)序列所構(gòu)成的集都包含著可數(shù)勢, 且所有的有限的集合同樣包含著可數(shù)勢, 由前面所得到的. 得到有理數(shù)集, 同樣包含著可數(shù)勢.

53、 </p><p>　　接下來由的結(jié)論我們可以得知, 無理數(shù)所包含的集有著比可數(shù)勢大的勢, 這個勢被稱之為 “不可數(shù)勢”!</p><p>　　由此, 我們可以得到, 不確定性是人類認(rèn)識的形式邏輯思維本身固有的. 即使是純粹數(shù)學(xué)也無法徹底達(dá)到的確定性, 進(jìn)一步, 數(shù)學(xué)概念和理論如果結(jié)合于人們的實際經(jīng)驗和科學(xué)觀察, 就會產(chǎn)生更大的不確定性. 因而, 在任何認(rèn)識中絕對的確定性是沒有的, 這又與

54、哲學(xué)中的 ”矛盾普遍性” 不徑相同, 即: 矛盾存在于世間所有的事物中, 并且貫穿于所有事物發(fā)展過程的開始與結(jié)束. 而我們又清楚的認(rèn)識到, 矛盾是所有事物發(fā)展的最為根本動力, 它不斷地推動著事物不停向前發(fā)展. 因此, 哥德爾不完備性定理不僅僅使得數(shù)學(xué)自身得到了良好地發(fā)展, 而且它更促進(jìn)了哲學(xué)思想進(jìn)一步的, 良好地發(fā)展.</p><p>　　3 哲學(xué)對數(shù)學(xué)的影響</p><p>　　3.1在

55、世界觀中, 哲學(xué)為數(shù)學(xué)指引前進(jìn)方向</p><p>　　眾所周知, 人類所認(rèn)識世間一切事物的過程是循序漸進(jìn)的, 是需要將實踐作為其最為堅實的后盾的. 因此, 在人類的那些所具有的科學(xué)的方法, 科學(xué)的手段, 還沒有被真真切切的時候, 他們無需迷茫, 因為這個時候, 哲學(xué)所具有的作用就能夠在我們面前很好的體現(xiàn)了出來, 它作為一個世界觀, 往往包含著極強(qiáng)的前瞻性, 這種前瞻性對我們提供的幫助是不言而喻的, 它會給我們提

56、供指導(dǎo), 使我們更加準(zhǔn)確的去定位客觀的事物, 并且使我們能夠正確的把握科學(xué)的發(fā)展方向[11]. </p><p>　　哲學(xué)所研究的首先應(yīng)當(dāng)是科學(xué)的某些尚未研究領(lǐng)域, 哲學(xué)應(yīng)當(dāng)是人類充分了解世界, 充分改造世界的先導(dǎo). 它經(jīng)常對科學(xué)的不斷發(fā)展提出極為先見性的結(jié)論. 通常情況下, 一門現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的初始階段, 它的最初了解往往是以哲學(xué)這種形式所出現(xiàn)的. 哲學(xué)家所探討元素的時期往往在化學(xué)家進(jìn)行研究元素的前面, 哲學(xué)家所

57、探討原子的時期而又在物理學(xué)家進(jìn)行研究原子的前面, 哲學(xué)家所探討連續(xù)性與無限的時期更是在數(shù)學(xué)家進(jìn)行研究連續(xù)性與無限的前面. 然而當(dāng)現(xiàn)代科學(xué)真正的打算去研究哲學(xué)家之前所探討過的東西時, 哲學(xué)選擇了沉默. 它靜靜地傾聽著所有現(xiàn)代科學(xué)的探索與發(fā)現(xiàn), 并時刻準(zhǔn)備提出一些新的見解. 哲學(xué), 它給我們的感覺更多的扮演著望遠(yuǎn)鏡角色. 當(dāng)我們到達(dá)某個特殊的地方時, 它會被用于觀察遠(yuǎn)處, 探尋前方的一切, 而不會停留在遠(yuǎn)處. 數(shù)學(xué)則恰恰相反, 因為它是一門

58、最容易獲得豐富事實的科學(xué), 踏入成熟的科學(xué), 并且可以提出具有周期性的假設(shè)的現(xiàn)代科學(xué). 它就像是一架顯微鏡, 只有把東西放到載玻片中, 將它切成一片又一片, 并且經(jīng)過種種特殊地處理, 才能觀察它, 研究它. 數(shù)學(xué)必須有著各種各樣的具體的學(xué)科作為它的創(chuàng)造條件, 這</p><p>　　偉大的德國數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)提到, 基于康德的哲學(xué)觀念, 他的無限形式主義的思想才得以出現(xiàn). 而后, 羅素又對哲學(xué)進(jìn)行分析, 并且在

59、此基礎(chǔ)上, 堅持?jǐn)?shù)學(xué)就是邏輯所在的朝氣蓬勃的青春年華, 邏輯就是數(shù)學(xué)所在的暮更之年的歲月年華. 由這個意義出發(fā), 其本質(zhì)意義, 哲學(xué)即是數(shù)學(xué)茫茫大海中那明亮的導(dǎo)航，指引著方向和路線.[4]</p><p>　　數(shù)學(xué), 作為一門表示數(shù)字關(guān)系及幾何空間的學(xué)科, 它研究的事物是人類社會的有規(guī)律的運動, 因此它的終結(jié)者毋庸置疑一定是唯物的. 數(shù)學(xué)的對立者是人們想象的抽象性思維所得出的最終結(jié)論, 它們是無法超脫感性事物并獨

60、立于萬物而存在世界的. 現(xiàn)在, 數(shù)學(xué)雖是表面拘泥于形式的, 但它決不是簡單表面就得出的形式主義. 數(shù)學(xué)在內(nèi)容上與現(xiàn)實的生活有著極為密切的關(guān)系, 因此, 數(shù)學(xué)想象的部分必定得依存于現(xiàn)實世界, 那些抽象的數(shù)學(xué)知識在當(dāng)今現(xiàn)實的生活中基本上都能找到匹配自己的原型的一份子. 例如, 數(shù)學(xué)中平面幾何的全等內(nèi)容, 它所反映的, 就是把兩個實際存在一份子互相粘合在一起的一種更為具體的的演變程序; 而對于微積分的本質(zhì)思想, 它所印證的就是在自然界中不斷靠

61、近卻永遠(yuǎn)不會接近的結(jié)果. 然而, 數(shù)學(xué)一些外在的表現(xiàn)方式對那些現(xiàn)實存在的的客觀事實來說, 仍有著一定的獨立性. 數(shù)學(xué)的科學(xué)理論通常僅只通過內(nèi)在主要因素而融會貫通, 精煉升華, 方可實現(xiàn)萬物統(tǒng)一并且相互和諧穩(wěn)定發(fā)展、含蓄卻又發(fā)人深省的科學(xué)理論. 然而, 在此基礎(chǔ)上我們應(yīng)該清楚地了解到, 形式內(nèi)容脫離于現(xiàn)實生活這種情況僅僅只是暫時的, 像這樣由上而下的前進(jìn)</p><p>　　辯證唯物主義的興起, 彌補(bǔ)了唯心主義的缺

62、陷和古代樸素唯物主義的限制性, 它是科學(xué)的方法論和世界觀. 近50年來, 數(shù)學(xué)的前進(jìn)凸顯出兩個不同的趨勢, 分別是高度分化但同時又高度綜合. 分化的愈加激烈, 則綜合就愈加重要, 這無疑是對立統(tǒng)一的. 因此, 在數(shù)學(xué)問題的探討過程中如果能夠自發(fā)地將其做為基礎(chǔ)指引, 那么, 在此研究中就極有可能降低或減少單獨性和 不全面性, 不然, 未來數(shù)學(xué)的發(fā)展極有可能會走上不正的道路, 阻礙科技的發(fā)展. 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上這樣的實例數(shù)不勝舉, 就像古希臘

63、人民情愿只使用 “嚴(yán)厲卻相對貧乏的窮竭法”, 也不愿意采用地基較為不穩(wěn)但卻有十分有實效的 “原子法”, 這也是因為他們受柏拉圖唯心主義的重大影響. 再如誕生非歐幾里德幾何學(xué)時, 因為康德哲學(xué)的深遠(yuǎn)而又重要的影響, 這一偉大的發(fā)現(xiàn)遲遲不能被人接受, 就連大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家高斯也不敢做任何相關(guān)評論. </p><p>　　綜上所述, 哲學(xué)對數(shù)學(xué)前進(jìn)道路及作用是極其深遠(yuǎn)的, 但是, 有一點, 我們必須加以權(quán)衡: 有指導(dǎo)意

64、義的正確的哲學(xué)思想很大程度上會敦促數(shù)學(xué)的發(fā)展是毋庸置疑的, 而寬泛的不正確的哲學(xué)思想同樣會阻擋數(shù)學(xué)的前進(jìn)方向這一不爭的事實也是存在的. </p><p>　　3.2哲學(xué)作為一種方法論, 為數(shù)學(xué)提供了杰出的的探索工具和認(rèn)識工具</p><p>　　從潛無窮小一實無窮小一潛無限與實無限相互交融, 無窮小方法經(jīng)歷了曲折而又漫長道路. 潛無窮小方法這種思想方法是動態(tài)的, 而實無窮小方法這種思想方法

65、則是靜態(tài)的, 它們兩者的存在關(guān)系是辨證統(tǒng)一的. 當(dāng)我們充分認(rèn)識到了無限可分方法與無窮小量方法這兩種方法并不是一定對立的, 相反而言, 它們不但有著千絲萬縷的內(nèi)在聯(lián)系, 并且它們兩者之間也是照相呼應(yīng)，相輔相成的. 而且在一些特定的情況下, 彼此還可以相互轉(zhuǎn)借, 相互變化, 因此無窮小方法便發(fā)生了重大的轉(zhuǎn)折性的突破, 于是微積分的前提就由此而誕生了. </p><p>　　目前, 我們通過事實發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)公理化的進(jìn)展過程

66、中最有實效, 最顯著的一個成果之一, 就是從此沖破了經(jīng)驗主義、教條主義哲學(xué)的束縛, 它讓我們有了明確地認(rèn)識: 數(shù)學(xué)的基本概念并不需要都是具體化的. </p><p>　　再比如說: 借用內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學(xué)模型方法以及模型研究原型的功能特征, 在如今的社會上已成為解決人腦思維和科學(xué)技術(shù)等一系列問題的最為普遍以及最為重要的一種非常常用的方法. 它所表現(xiàn)出來的的主要特征是高度的形式化和抽象化. 問題隨之出現(xiàn), 我們該如何掌

67、握和發(fā)現(xiàn)這種抽象結(jié)構(gòu)形式所存在的規(guī)律性呢? 那就需要運用數(shù)學(xué)變換的方法了. 它是以辯證法作為思想基礎(chǔ)的: 無論任何事物都不可能是靜止的, 絕對的以及一直不變的, 它們是在不斷的進(jìn)行著變并且發(fā)展衍生變化的. 在數(shù)學(xué)分析過程中，作為一個數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)學(xué)模型, 它所組成的要素之間的彼此的聯(lián)系和彼此依存的方法形式不是一成不變的. 現(xiàn)在, 數(shù)學(xué)家們同樣是利用這種經(jīng)常在變化的周期性, 來加強(qiáng)和鞏固自身在解決各種相對比較困難數(shù)學(xué)問題的反應(yīng)能力, 并且不

68、斷的提升自己解決數(shù)學(xué)問題的敏捷度, 方法及手段. </p><p><b>　　4 小結(jié)</b></p><p>　　“我思, 故我在” 是笛卡爾哲學(xué)思想中最具代表性的命題, 可以說是整個笛卡爾哲學(xué)體系的基石.“我思, 故我在” 在整個笛卡爾哲學(xué)體系中有著非同尋常的意義, 是整個笛卡爾哲學(xué), 是笛卡爾進(jìn)行理性思考的第一原則, 最確切的真理, 第一真理.“我思, 故我在

69、” 幾乎成為了一條哲學(xué)公式, 而今, 筆者同樣從自己的立場出發(fā), 把自己的思想代換進(jìn) “我思, 故我在” 這一公式加以演繹. 得出數(shù)學(xué)與哲學(xué)是互為關(guān)聯(lián), 相互印證的. 然而本文只是筆者簡單的將數(shù)學(xué)與哲學(xué)進(jìn)行詮釋, 不乏存在著許多缺陷, 但我堅信, 數(shù)學(xué)和哲學(xué), 不僅僅在過去有著極為密切的聯(lián)系, 而在現(xiàn)在, 將來也必定存在著極為密切的聯(lián)系. 這一點是無可否認(rèn)的. 我們可以這樣認(rèn)為, 哲學(xué)是一門極其博大精深的自然科學(xué), 它雖然無法于實質(zhì)存在

70、的有形的數(shù)學(xué)科學(xué)直面抗衡, 但它可以為數(shù)學(xué)中那些初出茅廬的新新科學(xué)分支的出生以及潛移默化的進(jìn)行提供無條件的后背支持以及正確的指導(dǎo)方針. 在科學(xué)不斷發(fā)展的今天，由社會的和諧發(fā)展, 人民生活水平的提高, 同樣與數(shù)學(xué)和哲學(xué)的發(fā)展有著千絲萬縷密切關(guān)系. 相信在不久的未來, 數(shù)學(xué)和哲學(xué)必定有著無限的能量，在其需要的發(fā)</p><p>　　筆者將引用《從數(shù)學(xué)到哲學(xué)》中的一段話來重新闡述哲學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系: “我認(rèn)為世間所有的科

71、學(xué)道理都蘊含著一個哲學(xué)總結(jié), 其中社會科學(xué)中的哲學(xué)總結(jié)是認(rèn)識論, 自然科學(xué)中的哲學(xué)總結(jié)是自然辯證法, 思維科學(xué)的哲學(xué)總結(jié)就是歷史唯物主義, 數(shù)學(xué)科學(xué)中的哲學(xué)總結(jié)就是數(shù)學(xué)哲學(xué)等等, 對全部的這些哲學(xué)進(jìn)行有序總結(jié)后再分析, 我覺得人類知識的精華, 顯而易見就是馬克思主義的哲學(xué). 可以說, 就此一個哲學(xué)最大分支體系, 即是以馬克思主義哲學(xué)為指導(dǎo)方針的重要且不可分割的一個科學(xué)體系. 現(xiàn)代科技的不段發(fā)展，然后通過哲學(xué)的概述, 就一定會進(jìn)一步提升和

72、強(qiáng)化馬克思主義哲學(xué).”[12]</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 林夏水. 論數(shù)學(xué)的本質(zhì)[J], 哲學(xué)研究, 2000, (9): 66-70. </p><p>　　[2] 鄧宗琦. 數(shù)學(xué)家辭典[M]. 武漢: 湖北教育出版社, 1990. 26.</p><p>　　[3] 恩

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