畢業(yè)論文---數(shù)列的差分及其教學(xué)研究

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　論文題目：數(shù)列的差分及其教學(xué)研究</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p&g

2、t;<b>　　1引言1</b></p><p><b>　　2數(shù)列的差分1</b></p><p><b>　　3遞推數(shù)列4</b></p><p>　　4數(shù)列的基本定理11</p><p><b>　　4.1數(shù)列11</b></p>

3、;<p>　　4.2等差數(shù)列11</p><p>　　4.3等差數(shù)列的前項(xiàng)和11</p><p>　　4.4等比數(shù)列12</p><p>　　4.5等比數(shù)列的前項(xiàng)和12</p><p>　　5數(shù)列通項(xiàng)公式的求法13</p><p><b>　　5.1觀察法13</b>&l

4、t;/p><p><b>　　5.2遞推法13</b></p><p>　　5.3轉(zhuǎn)化構(gòu)造法14</p><p><b>　　5.4歸納法14</b></p><p>　　6差分與數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)研究15</p><p>　　6.1高中數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容15</p&

5、gt;<p>　　6.1.1知識(shí)結(jié)構(gòu)15</p><p>　　6.1.2數(shù)學(xué)概念15</p><p>　　6.1.3數(shù)學(xué)公式15</p><p>　　6.1.4數(shù)學(xué)方法16</p><p>　　6.2數(shù)列教學(xué)涉及的因素分析16</p><p>　　6.2.1數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)思路17</p&

6、gt;<p>　　6.2.2數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)的學(xué)法探討17</p><p>　　6.3對(duì)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐分析18</p><p>　　6.3.1探討最優(yōu)的教學(xué)設(shè)計(jì)18</p><p>　　6.3.2教學(xué)設(shè)計(jì)要適合學(xué)生18</p><p>　　6.3.3教學(xué)案例18</p><p><b>

7、;　　致 謝21</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)21</b></p><p>　　數(shù)列的差分及其教學(xué)研究</p><p>　　摘要： 數(shù)列不僅是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)之一，蘊(yùn)含著類比、猜想、歸納、遞歸等豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而且數(shù)列知識(shí)在日常生活、社會(huì)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用.同時(shí)，數(shù)列的教學(xué)也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、猜想、邏輯

8、推理以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑.差分是2003版《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中選修課程三中的一門選修知識(shí)，也是《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中較之原教大綱新增的內(nèi)容之一，因此，有必要探討與數(shù)列相關(guān)的知識(shí)的聯(lián)系與教學(xué)規(guī)律.所以，研究數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)可以洞察高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的一般規(guī)律，進(jìn)而在高中教學(xué)研究的理論與實(shí)踐之間架起一座更為堅(jiān)實(shí)的橋梁.進(jìn)行數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)，既要考慮到教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，又要考慮到學(xué)生的因素，還與教師的教學(xué)

9、風(fēng)格有關(guān)，要綜合多種因素，因情況而定，但好的教學(xué)設(shè)計(jì)就是既達(dá)到知識(shí)的傳授，又能對(duì)學(xué)生的能力發(fā)展有一定的促進(jìn)作用.</p><p>　　關(guān)鍵詞：數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 差分 數(shù)列的教學(xué)研究</p><p>　　Difference of Sequence of number and its Teaching Research</p><p>　　Abstr

10、act: Sequence of number is not only one of the basic knowledge of mathematics, contains many ways of mathematical thinking, such as analogy, imagine, draw conclusions, recursive, but also, it has a wide range of applicat

11、ions in our everyday life. At the same time, the sequence teaching also is raises the observation, the analysis, the induction, the suspicion, the logical inference as well as using mathematics knowledge proposed the que

12、stion, the analysis question and solve the question ess</p><p>　　Keywords: Sequence of number；Arithmetic Sequence of number；Geometric Sequence of number； difference；Teaching Research of Sequence of number&l

13、t;/p><p><b>　　1引言</b></p><p>　　數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的基礎(chǔ)科學(xué)，人們運(yùn)用通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)出的種種概念、原理與規(guī)律指導(dǎo)日常生活.有人把數(shù)學(xué)對(duì)于人類的意義比作生活中不能缺少鹽一樣.離開了數(shù)學(xué)，人們的生活將寸步難行.數(shù)學(xué)早已確立了其在人類文明中的基礎(chǔ)地位，恩格斯說過，“一個(gè)學(xué)科成熟的標(biāo)志，就是數(shù)學(xué)的介入.”這充分體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的重要性.自然科學(xué)和工程

14、領(lǐng)域中數(shù)學(xué)知識(shí)無處不在，甚至在人文學(xué)科中數(shù)學(xué)也扮演著越來越重要的角色.一切科學(xué)、技術(shù)的發(fā)展都需要數(shù)學(xué)，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象，使外表完全不同的問題之間有了深刻的聯(lián)系.因此數(shù)學(xué)是自然科學(xué)中最基礎(chǔ)的學(xué)科，因此常被譽(yù)為科學(xué)的皇后.</p><p>　　數(shù)列是一種特殊的函數(shù).有時(shí)候也把它稱為“離散”的函數(shù).它不僅是數(shù)學(xué)中一種重要的研究對(duì)象，也是研究數(shù)學(xué)問題的一種重要的方法和工具.數(shù)列不僅是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)之一，蘊(yùn)含著類比、猜想

15、、歸納、遞歸等豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而且數(shù)列知識(shí)在日常生活、社會(huì)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用.同時(shí)，數(shù)列的教學(xué)也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、猜想、邏輯推理以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑.數(shù)學(xué)公式只是一些符號(hào)，學(xué)生記憶容易，但用起來困難，因此，公式的記憶要借助于對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解.在教學(xué)中，設(shè)置的問題由易到難，在解決問題過程中，一步一步引向要學(xué)的知識(shí)，讓學(xué)生在問題中尋找規(guī)律、方法，并加以總結(jié)，最后得到數(shù)列的公式；在課堂練習(xí)

16、中，增加討論、小節(jié)這一環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生提高認(rèn)識(shí)、歸納方法，通過分析公式中各個(gè)量，只要知道其中的任意幾個(gè)量就可以求另一個(gè)，如果是求兩個(gè)量，可以用公式聯(lián)立方法組解決問題.這樣，通過對(duì)問題解決方法的歸納，提高了學(xué)生的解題能力.</p><p>　　因而，研究數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)可以洞察高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的一般規(guī)律，進(jìn)而在高中教學(xué)研究的理論與實(shí)踐之間架起一座更為堅(jiān)實(shí)的橋梁.因此，進(jìn)行數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)，既要考慮到教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，又要考

17、慮到學(xué)生的因素，還與教師的教學(xué)風(fēng)格有關(guān)，要綜合多種因素，因情況而定，但好的教學(xué)設(shè)計(jì)就是既達(dá)到知識(shí)的傳授，又能對(duì)學(xué)生的能力發(fā)展有一定的促進(jìn)作用.</p><p><b>　　2數(shù)列的差分</b></p><p>　　通過學(xué)習(xí)數(shù)列的差分理解數(shù)列的一、二階差分，高階差分以及它們對(duì)描述數(shù)列變化的意義，結(jié)合數(shù)列，了解差分與數(shù)列并懂得運(yùn)用差分的思想去解決一些常見的遞推數(shù)列.<

18、;/p><p>　　定義 對(duì)于數(shù)列，稱為的一階差數(shù)列，并稱</p><p>　　為的一階差分（簡(jiǎn)稱差分）；</p><p><b>　　的一階差分</b></p><p><b>　　叫做的二階差分；</b></p><p>　　一般地，設(shè)是任一正整數(shù)，則稱</p>

19、<p>　　為的階差分，這里，.</p><p>　　由定義可以直接推出差分的如下性質(zhì).</p><p>　　定理 1 對(duì)于數(shù)列，，有</p><p>　?。?），這里，為常數(shù)；</p><p><b>　?。?），或；</b></p><p><b>　?。?）.</

20、b></p><p>　　證明：僅證（3）.由（2），有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由定義可知，如果，，那么，</p>

21、;<p><b>　　.</b></p><p>　　例2.1 求數(shù)列的前項(xiàng)的和.</p><p><b>　　解 由 ，</b></p><p>　　得 ，</p><p><b>　　.</b></p><p>

22、;　　例2.1表明，公比不等于1的等比數(shù)列的一階差數(shù)列仍是等比數(shù)列，從而這種等比數(shù)列的任意階差數(shù)列都是等比數(shù)列.</p><p>　　定理 2 若是階等差數(shù)列，它的前項(xiàng)的和為，則是階等差數(shù)列，且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明：因?yàn)槭请A等差數(shù)列，且前項(xiàng)的和為，顯然是階等差數(shù)列，</p><p

23、><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2.2 求3階等差數(shù)列前項(xiàng)的和.</p><p><b>　　解一 設(shè)</b></p><p&

24、gt;<b>　　，，</b></p><p><b>　　則 ，，，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　根據(jù)定理 2，</b></p><p><b>　　.</b></p>

25、<p><b>　　解二 令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這就有 ，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　3遞推數(shù)列</b><

26、/p><p>　　定義1 對(duì)任何自然數(shù)，由遞推關(guān)系</p><p>　　確定的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.</p><p>　　例如，設(shè) ，則確定數(shù)列的初始條件和遞推關(guān)系為</p><p><b>　　， ，；</b></p><p>　　或 ，，</p>

27、<p><b>　　，；</b></p><p>　　或 ，，，</p><p><b>　　，.</b></p><p>　　定義2 若數(shù)列自第項(xiàng)以后的任一項(xiàng)都是其前項(xiàng)的線性組合，即</p><p>　　，

28、 （I）</p><p>　　其中是任意自然數(shù)，是常數(shù)，且，則稱為階線性遞歸數(shù)列，（I）叫做的遞歸方程.</p><p>　　線性遞歸數(shù)列是經(jīng)常遇到的數(shù)列.例如：</p><p>　　公比為的等比數(shù)列是一階線性遞歸數(shù)列，遞歸方程為</p><p><b>　　，，；</b></p>&l

29、t;p>　　一階等差數(shù)列是二階線性遞歸數(shù)列，遞歸方程為</p><p><b>　　，；</b></p><p>　　菲波那契（Fibonacci）數(shù)列也是二階線性遞歸數(shù)列，遞歸方程為</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　并且，；</b>

30、</p><p>　　二階等差數(shù)列是三階線性遞歸數(shù)列.</p><p>　　把（2），（4）加以推廣，有下面的</p><p>　　定理3 階等差數(shù)列是由遞歸方程</p><p>　　所確定的階線性遞歸數(shù)列.</p><p>　　證 對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法.</p><p>　　當(dāng)時(shí)，由（2）知結(jié)論成立

31、.</p><p>　　假定對(duì)階等差數(shù)列，結(jié)論成立.當(dāng)是階等差數(shù)列時(shí)，是階等差數(shù)列，由歸納假定</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即結(jié)論對(duì)階等差數(shù)

32、列也成立.</p><p>　　根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，定理3得證.</p><p>　　為了尋求（I）所確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，我們指出如下事實(shí):</p><p>　?。?）如果是由（I）所確定的個(gè)數(shù)列，是任意常數(shù)，那么也是由（I）確定的數(shù)列.</p><p>　?。?）令.代入（I），得</p><p><b>

33、　　，</b></p><p><b>　　上式兩邊除以，有</b></p><p>　　， （II）</p><p>　　可見，是方程（II）的根.</p><p>　　反過來，若是方程（II）的根，由知，并且適合（I）.</p><p>　

34、　所以，（I）確定等比數(shù)列的充要條件是為（II）的根.</p><p>　?。↖I）叫做（I）的特征方程.</p><p>　　定理4 若（II）有個(gè)相異的根，則（I）所確定遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式為，</p><p>　　其中是下面線性方程組的唯一解：</p><p>　　證 由前述兩點(diǎn)事實(shí)，可知是由（I）確定的數(shù)列.現(xiàn)在只要證明上面線性方程組有

35、唯一解.事實(shí)上，它的系數(shù)行列式為，這里</p><p>　　是級(jí)范德蒙行列式.因?yàn)榫粸榱?，且互不相等，所以，于是上面方程組有唯一解.</p><p><b>　　例3.1 已知，，</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　求.</b>&l

36、t;/p><p><b>　　解 特征方程</b></p><p>　　有兩個(gè)相異的根，，根據(jù)定理3，通項(xiàng)公式為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　代入前兩項(xiàng)的值，得</b></p><p>　　解得

37、 ，.</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3.2 已知，，，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　求.</b></p><p><b>　　解 特征方程</b></

38、p><p>　　有三個(gè)相異的根，，.于是通項(xiàng)公式為</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　代入初始值，得</b></p><p>　　解得 ，，.</p><p><b>　　.</b>&l

39、t;/p><p>　　定理5 若（II）有重根，則（I）所確定的遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中是下面線性方程組的唯一解：</p><p>　　證 這時(shí)，（II）是</p><p><b>　　，</b></p>

40、<p>　　即 .</p><p><b>　　相應(yīng)的（I）為</b></p><p>　　. （7）設(shè)是階等差數(shù)列，根據(jù)定理3，是階線性遞歸數(shù)列，且</p><p>　　. （8）（8）

41、的兩邊同乘以，得</p><p>　　. （8） 于是適合（7）.</p><p>　　反之，若適合（7）.令，由（7）得（9），（9）的兩邊同時(shí)除以，得到（8）.根據(jù)定理3的逆定理，是階等差數(shù)列.</p><p>　　由多項(xiàng)式的因式分解的定理知，是的次多項(xiàng)式，所以</p><p><b>　　.

42、</b></p><p>　　代入前項(xiàng)的值，得定理3中線性方程組.它的系數(shù)行列式為，這里</p><p>　　是階范德蒙行列式，它的第二行諸元素互不相同，于是，又，所以定理3中的方程組有唯一解.</p><p>　　例3.3 已知，，，</p><p><b>　　，，</b></p><

43、p><b>　　求.</b></p><p><b>　　解 方程</b></p><p>　　有三重根，依定理3，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中滿足方程組</b></p><p>

44、<b>　　解此方程組，得</b></p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理6 若（II）有重根，重根，…，重根，則（I）所確定遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式為</p><p><b>　　，</b>

45、</p><p>　　其中是在上面通項(xiàng)公式中令，所得到的線性方程組的唯一解.</p><p>　　例3.4 已知，，，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　求.</b></p><p><b>　　解 方程</b><

46、;/p><p>　　的根為，，根據(jù)定理6，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中滿足方程組</b></p><p>　　解此方程組，得，，，</p><p><b>　　.</b></p><p>

47、　　例3.5 已知，，，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　求.</b></p><p><b>　　解 特征方程</b></p><p>　　的根為，，，根據(jù)定理6，</p><p><b>　　.<

48、/b></p><p><b>　　代入初始條件，得</b></p><p><b>　　解得，，，.</b></p><p><b>　　其中是正整數(shù).</b></p><p>　　定理7 若是由（I）確定的階線性遞歸數(shù)列，它的前項(xiàng)的和為，則是階線性遞歸數(shù)列，其遞歸方程

49、為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3.6 已知是線性遞歸數(shù)列，其特征方程為，這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證的特征方程為.</p><p>　　證 設(shè)是由（I）確定的階線性遞歸數(shù)列，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由定

50、理7可知的特征方程為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 ，</p><p>　　亦即 .</p><p><b>　　4數(shù)列的基本定理</b></p><

51、p><b>　　4.1數(shù)列</b></p><p>　　按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，…，第項(xiàng)，….</p><p>　　數(shù)列的一般形式可以寫成</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其

52、中是數(shù)列的第項(xiàng).有時(shí)我們把上面的數(shù)列簡(jiǎn)記作.如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.如果已知一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么只要依次用1，2，3，…代替公式中的，就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng).</p><p>　　如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.</p><

53、p><b>　　4.2等差數(shù)列</b></p><p>　　一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做這個(gè)等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.</p><p>　　如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為</p><p><b>　　.</

54、b></p><p>　　4.3等差數(shù)列的前項(xiàng)和</p><p>　　設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，即</p><p><b>　　，</b></p><p>　　根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到前項(xiàng)和公式</p><p>　　即等差數(shù)列的前項(xiàng)和等于首末項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半.</p>

55、<p>　　又因?yàn)?，</p><p>　　所以上面的公式又可以寫成</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　4.4等比數(shù)列</b></p><p>　　一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)

56、數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示. 通項(xiàng)公式為 .</p><p>　　其中，與均不為.由于當(dāng)時(shí)上面等式兩邊均為，即等式也成立，說明上面公式當(dāng)時(shí)都成立，因而它就是等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.</p><p>　　4.5等比數(shù)列的前項(xiàng)和</p><p>　　一般地，設(shè)有等比數(shù)列</p><

57、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　它的前項(xiàng)和是</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因

58、為 ，</p><p>　　所以上面的公式還可以寫成</p><p><b>　　.</b></p><p>　　5數(shù)列通項(xiàng)公式的求法</p><p>　　數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它方法靈活，技巧性強(qiáng)，往往難以把握，數(shù)列通項(xiàng)又是數(shù)列中的難中之難，同學(xué)們常常因不得解題要領(lǐng)而束手無策，那么，如何幫助大家系統(tǒng)的

59、掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的求法呢？下面通過實(shí)例來展示常規(guī)題型的解法，希望能對(duì)大家有點(diǎn)幫助.</p><p><b>　　5.1觀察法</b></p><p>　　所謂觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答出來的一種解題方法.觀察要有次序，要看得仔細(xì)、真切，在觀察中想出道理、找出規(guī)律.</p><p>　　

60、例5.1 已知數(shù)列，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.</p><p>　　解析 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)由以下三部分組成的特征：符號(hào)、分子、分母，所以應(yīng)逐個(gè)考察其規(guī)律.先看符號(hào)，第一項(xiàng)有點(diǎn)違反規(guī)律，需改寫為，由此整體考慮，得數(shù)列的符號(hào)規(guī)律是；再看分母，都是偶數(shù)，且呈現(xiàn)的數(shù)列規(guī)律是；最后看分子，其規(guī)律是每個(gè)分子的數(shù)比分母都小3，即.</p><p>　　所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為</p>

61、<p><b>　　.</b></p><p><b>　　5.2遞推法</b></p><p>　　遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法.</p><p>　　例5.2 已知是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，并且</p><p><b>　　則它的通項(xiàng)公式<

62、/b></p><p>　　解析 對(duì)所給式子的左邊分解因式得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，.</b></p><p><b>　　又，故，</b></p><p><b>　　得公式.</b

63、></p><p>　　5.3轉(zhuǎn)化構(gòu)造法 </p><p>　　構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中一種常見方法，體現(xiàn)了一種廣泛聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化的哲學(xué)思想．通過構(gòu)造某種數(shù)學(xué)模型(如函數(shù)，數(shù)列，方程等)作為中介，實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化．因此構(gòu)造法既是一種方法，更是一種思想．</p><p>　　例5.3 若中，，且（是正整數(shù)），則數(shù)列的通項(xiàng)公式</p><

64、p>　　解析，，兩邊取對(duì)數(shù)，得.</p><p>　　是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　5.4歸納法</b></p><p>　　歸納法或

65、歸納推理，有時(shí)叫做歸納邏輯，是論證的前提支持結(jié)論但不確保結(jié)論的推理過程.是指將一系列具體的內(nèi)容按其不同的特點(diǎn)和規(guī)律分門別類的歸納在一起的方法.</p><p>　　例5.4 已知數(shù)列的地推公式是，且，，求數(shù)列的前5項(xiàng)，并推測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.</p><p><b>　　解析 由，，得</b></p><p><b>　　，</b

66、></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可歸納推測(cè) .</b></p><p>　　6差分與數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)研究</p><p>　　6.1高中數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容</p&

67、gt;<p><b>　　6.1.1知識(shí)結(jié)構(gòu)</b></p><p>　　數(shù)列這一章應(yīng)主要包括一般的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)列的應(yīng)用四部分，重點(diǎn)是等差數(shù)列以及等比數(shù)列這兩個(gè)部分.數(shù)列這一部分主要是數(shù)列的概念、特點(diǎn)、分類以及數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩個(gè)部分內(nèi)容主要介紹了兩類特殊數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前項(xiàng)和公式；數(shù)列的應(yīng)用重點(diǎn)是新理念下研究性學(xué)習(xí)專題

68、，即數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用以及儲(chǔ)蓄問題.因此，數(shù)列的主要只是結(jié)構(gòu)可以如下：</p><p><b>　　6.1.2數(shù)學(xué)概念</b></p><p>　　數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式，它的定義方式有描述性的，指明外種延的，有種概念加類差等方式.一個(gè)數(shù)學(xué)概念需要記住名稱，說出本質(zhì)屬性，體會(huì)出所涉及的范圍，并應(yīng)用概念準(zhǔn)確進(jìn)行判斷.數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項(xiàng)公

69、式等都屬于數(shù)學(xué)概念，而且都屬于陳述性概念，再設(shè)計(jì)這些概念的教學(xué)時(shí)，教師要注意向同學(xué)表明這些定義所揭露的概念的特點(diǎn)、本質(zhì)，因?yàn)檫@些概念既是后續(xù)學(xué)習(xí)相應(yīng)公式以及性質(zhì)的基礎(chǔ)，更是同學(xué)們準(zhǔn)確解題的依據(jù).</p><p><b>　　6.1.3數(shù)學(xué)公式</b></p><p>　　公式在一定的范圍內(nèi)具有普遍適用性，因而也具有抽象性，公式中的字母代表一定范圍內(nèi)的無窮多個(gè)數(shù).有的學(xué)

70、生在學(xué)習(xí)公式時(shí)，可以再短時(shí)間內(nèi)掌握，而有的學(xué)生卻要翻來覆去地體會(huì)，才能跳出千變?nèi)f化的數(shù)字關(guān)系的泥堆里.數(shù)列主要設(shè)計(jì)到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及其變形公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式及其變形公式.要使同學(xué)能牢固的記住并熟練應(yīng)用這些公式就必須讓他們懂得公式的來龍去脈，掌握其推導(dǎo)思想及過程.數(shù)列里有很多的變形公式，因此，要明確哪個(gè)公式適用于哪種情形，以使解題變得簡(jiǎn)單易行.</p><p>&l

71、t;b>　　6.1.4數(shù)學(xué)方法</b></p><p>　　數(shù)列中蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決多數(shù)列的問題.在數(shù)列里主要用到了以下幾種數(shù)學(xué)方法：</p><p>

72、　　6.1.4.1不完全歸納法</p><p>　　不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，而且可以幫助學(xué)生有效地解決問題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的過程就是用到了不完全歸納法.</p><p>　　6.1.4.2倒敘相加法</p><p>　　等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，很好的應(yīng)用了倒敘相加法，而且很多問題都直接或間接地用到了這

73、種方法.</p><p>　　6.1.4.3錯(cuò)位相減法</p><p>　　錯(cuò)位相減法是另一種數(shù)列求和的方法，它主要應(yīng)用于求和的項(xiàng)之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個(gè)數(shù)求和的問題.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法.</p><p>　　6.1.4.4函數(shù)的思想方法</p><p>　　數(shù)列本身就是一個(gè)特殊的函數(shù)，而且是離散

74、的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時(shí)，可以將他們看成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)來解決問題.</p><p>　　6.1.4.5方程的思想方法</p><p>　　數(shù)列涉及了多個(gè)關(guān)于首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差、公比、第項(xiàng)和前項(xiàng)和這些量的數(shù)學(xué)公式，而公式本身就是一個(gè)等式，因此，在球這些數(shù)學(xué)量的過程中，可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過公式建立關(guān)于求未

75、知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡(jiǎn)化了解題過程.</p><p>　　6.2數(shù)列教學(xué)涉及的因素分析</p><p>　　在數(shù)學(xué)知識(shí)體系內(nèi)部，數(shù)列占據(jù)著非常重要的地位，而且在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中有著巨大的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)也起到了不可估量的作用，因此要重視數(shù)列的教學(xué).那么，在新的理念下，如何進(jìn)行數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)才能將知識(shí)更好地傳給學(xué)生，才能對(duì)學(xué)生的發(fā)展有幫助，才可以稱得上是個(gè)好的教學(xué)

76、設(shè)計(jì)呢？哪些因素影響了數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)呢？</p><p>　　6.2.1數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)思路</p><p>　　教師是教學(xué)的實(shí)施者，是教學(xué)涉及的實(shí)踐者，尤其是優(yōu)秀的教師，他們積累了大量的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，因此有絕對(duì)充分的發(fā)言權(quán)：</p><p>　　6.2.1.1重視教學(xué)情境的設(shè)置以及教學(xué)案例的使用</p><p>　　要使學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要培養(yǎng)學(xué)

77、生的學(xué)習(xí)興趣，而恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境及教學(xué)案例的使用不但能更好的啟發(fā)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且有助于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).</p><p>　　6.2.1.2 對(duì)等差數(shù)列概念的教學(xué)，采用以學(xué)生為中心的教學(xué)設(shè)計(jì)風(fēng)格更適合學(xué)生深刻理解知識(shí)</p><p>　　“等差數(shù)列”這個(gè)概念本身就很形象的描述了它的本質(zhì)，因此應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常寣W(xué)生在這個(gè)情境中自覺領(lǐng)會(huì)和發(fā)現(xiàn)知識(shí)的形成過程，在感悟的過程中深刻

78、體會(huì)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，理解知識(shí)的本質(zhì).在教學(xué)過程中應(yīng)組織學(xué)生研究、討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和能力，在合作中發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的樂趣，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開發(fā)學(xué)生智力.</p><p>　　6.2.1.3 對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)</p><p>　　等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)思想非常重要，他不但有助于理解公式，而且在以后的解題中也會(huì)用到，但只要通過適當(dāng)?shù)闹v解，加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生便能掌

79、握.而有的教師則持另一種觀點(diǎn)，他們認(rèn)為，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)思想并不是很順理成章，水到渠成的，單純的講解可能對(duì)有的學(xué)生來說很生澀，因此，有必要再這一教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置適當(dāng)?shù)那榫?，啟發(fā)與引導(dǎo)學(xué)生，這樣才能達(dá)到更佳的教學(xué)效果.</p><p>　　6.2.1.4 對(duì)等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式的教學(xué)，有多種教學(xué)設(shè)計(jì)風(fēng)格</p><p>　　等比數(shù)列與等差數(shù)列雖然是兩類不同的數(shù)列，但是它們?cè)谘芯糠椒ā?/p>

80、性質(zhì)上都有很多的共通之處.因此，等比數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)可以采用對(duì)比法，即在概念、性質(zhì)、公式的教學(xué)過程當(dāng)中對(duì)比著相應(yīng)的等差數(shù)列的內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，這也符合心理學(xué)中順應(yīng)教學(xué)法.有了等差數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)，因此有的教師見意可采用類似等差數(shù)列相應(yīng)知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)法，學(xué)生不但可以很容易的接受等比數(shù)列的內(nèi)容，還可以加深學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的理解，但兩種方法都各有自己的長處，教師可根據(jù)個(gè)人風(fēng)格自己進(jìn)行選擇設(shè)計(jì)，當(dāng)然如果將兩種方法結(jié)合起來，針對(duì)不同的內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，

81、可能會(huì)收到更好的效果.</p><p>　　6.2.2數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)的學(xué)法探討</p><p>　　教學(xué)設(shè)計(jì)的對(duì)象是學(xué)生，最終的著眼點(diǎn)是為了學(xué)生的發(fā)展，因此從學(xué)生的角度出發(fā)考慮教學(xué)設(shè)計(jì)變得尤其重要.</p><p>　　6.2.2.1對(duì)于等差數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生更希望教師能給自己更多的參與空間.</p><p>　　比如對(duì)于等

82、差數(shù)列概念的教學(xué)，學(xué)生更期望老師能先列舉幾個(gè)等差數(shù)列的例子，讓同學(xué)思考、說出它的特點(diǎn)，找出規(guī)律，從而總結(jié)出什么是等差數(shù)列.因?yàn)樽鳛楦咧猩呀?jīng)初步具備了一定的數(shù)學(xué)思維，已經(jīng)學(xué)會(huì)了用思考、分析、理解去解決問題，這種求知的方式不僅能讓他們體會(huì)知識(shí)的形成過程，能深刻的理解與記憶知識(shí)，而且能夠提高他們分析問題、解決問題，以及戰(zhàn)勝困難的能力.</p><p>　　6.2.2.2數(shù)學(xué)史知識(shí)的引入可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣</

83、p><p>　　數(shù)學(xué)史知識(shí)的適當(dāng)引入不但能活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)大家學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使枯燥的數(shù)學(xué)變得更加生動(dòng)有趣，而且有助于他們更好的接納新知識(shí)，因此89.5%的學(xué)生都希望能在課堂上聽到教室講述有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí).</p><p>　　6.3對(duì)數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)踐分析</p><p>　　實(shí)踐是最好的問題發(fā)源地，何種類型的教學(xué)設(shè)計(jì)更容易讓學(xué)生接受，更易知識(shí)

84、的傳授，對(duì)學(xué)生的發(fā)展有幫助，要通過實(shí)踐才能得以驗(yàn)證，為此觀察這一章的教學(xué)過程，有很大的啟發(fā)作用.</p><p>　　6.3.1探討最優(yōu)的教學(xué)設(shè)計(jì)</p><p>　　對(duì)數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)，不存在完全以“教”為中心，或以“學(xué)”為中心的極端教學(xué)設(shè)計(jì)風(fēng)格.兩種風(fēng)格的教學(xué)設(shè)計(jì)，并不是是我非你，是你非我的完全對(duì)立的關(guān)系，并不是一定要肯定一方，而否定另一方，采用哪種模式的教學(xué)設(shè)計(jì)，要針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)

85、行選擇.比如等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)課，一種是基于以教師的教為中心的風(fēng)格，令一種是基于以學(xué)生的學(xué)為中心，兩種收到的效果也大相徑庭.第一種以降解為主，又由于本身能力所限，不能對(duì)學(xué)生進(jìn)行很好的啟發(fā)、誘導(dǎo)，因此很難將同學(xué)們的思路引導(dǎo)正確的路線上來，以至于同學(xué)們表現(xiàn)得不夠積極，而且公式的推導(dǎo)也因?yàn)橥瑢W(xué)們的無法配合而顯得過于生硬、艱難；另一種則將公式推導(dǎo)與梯形面積公式的證明聯(lián)系起來，創(chuàng)設(shè)了恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，使公式的推導(dǎo)顯得簡(jiǎn)單而水到渠成，而且同學(xué)們

86、表現(xiàn)得也非常積極，教學(xué)效果非常好.但是對(duì)于等比數(shù)列的概念的教學(xué)，兩種風(fēng)格的教學(xué)設(shè)計(jì)若經(jīng)過教師認(rèn)真的思考，斟酌，都會(huì)是一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì).</p><p>　　6.3.2教學(xué)設(shè)計(jì)要適合學(xué)生</p><p>　　教學(xué)設(shè)計(jì)最終是為學(xué)生服務(wù)的，而學(xué)生原有認(rèn)知水平，認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以及接受能力都會(huì)因人而異，對(duì)于水平相對(duì)弱些的學(xué)生，如果把課堂教給他們，讓他們自己去探索、發(fā)現(xiàn)知識(shí)可能會(huì)有一些困難，因此，對(duì)于這樣

87、的學(xué)生更適合傳統(tǒng)的講授式教學(xué)，這不但能讓他們?cè)诒M可能短的時(shí)間內(nèi)掌握最基本的知識(shí)，而且通過強(qiáng)化，能幫助他們對(duì)知識(shí)的記憶.</p><p><b>　　6.3.3教學(xué)案例</b></p><p>　　如何沖洗衣服最干凈又不廢水</p><p><b>　　（一）問題的提出</b></p><p>　　我

88、們都知道水是可再生能源，但由于人們?cè)谏a(chǎn)、生活中的過度用水，導(dǎo)致了水資源的嚴(yán)重匱乏，有的地區(qū)還出現(xiàn)了定點(diǎn)供水的現(xiàn)象，有人甚至做過雖有些夸張但毫不危言聳聽的預(yù)測(cè)：“世界上的最后一滴水將會(huì)是人的眼淚”，因此節(jié)約水資源已經(jīng)迫在眉睫.家庭用水是一筆不小的開支，而且中國是一個(gè)有著近 14 億人口的泱泱大國，如果每個(gè)家庭都為節(jié)約水資源貢獻(xiàn)一份力量，那么集體的力量是不可估量的.洗衣用水是每個(gè)家庭必不可少的，如果我們能找到一種可以使衣服洗得干凈，但用水

89、量卻最少的方法，并且將每個(gè)家庭都動(dòng)員起來，這對(duì)中國的節(jié)水事業(yè)無疑是一個(gè)令人振奮的消息.</p><p>　　在洗衣服的過程中，人們把衣服洗干凈后，還要用大量的清水將洗衣粉等堿性物質(zhì)</p><p>　　投洗掉，在投洗的過程中，通常有兩種處理方法：一種方法是每次只投洗盡可能少的衣</p><p>　　服，這樣可以減少投衣服次數(shù)，而另一種方法則是將同類衣服一起投洗.我們

90、所要關(guān)心</p><p><b>　　的是：</b></p><p>　　問題：如果在同樣的用水量下，哪種方法更容易將衣服洗干凈呢，更可取呢？</p><p><b>　?。ǘ﹩栴}的解決</b></p><p><b>　　1．活動(dòng)設(shè)計(jì)</b></p><

91、p>　　將全班同學(xué)分成兩組，每組分得四個(gè)洗臉盆，其中一個(gè)盆中盛有 4000g 的水，四塊已被洗干凈但未經(jīng)投洗的毛巾，每塊毛巾重 200g，所含洗衣粉重 10g.再將每個(gè)組分成A、B、C 三個(gè)小隊(duì)，其中 A 隊(duì)的同學(xué)負(fù)責(zé)實(shí)驗(yàn)操作，B 隊(duì)的同學(xué)負(fù)責(zé)觀察對(duì)比，C 隊(duì)的同學(xué)負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)的處理.第一組的同學(xué)采用第一種投洗衣服方式，由 A 隊(duì)的同學(xué)將水平均分成四份，分放在四個(gè)洗臉盆當(dāng)中，將四塊毛巾單獨(dú)放入四個(gè)盆子當(dāng)中進(jìn)行清洗，洗完后將毛巾拿出，并

92、盡可能擰掉毛巾中所含的水.第二組的同學(xué)采用第二種投洗方式，由 A 隊(duì)的同學(xué)將四塊毛巾分四次一起進(jìn)行投洗，每次的用水量相同.</p><p>　　2．問題解決的過程分析</p><p>　　每組 B 隊(duì)的同學(xué)將兩組投毛巾后的水進(jìn)行對(duì)比，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二組的投洗毛巾后的水明顯要比第一組的水清凈，因此我們認(rèn)為，第二種投衣服方式明顯要優(yōu)于第一種處理方式.由每組 C 隊(duì)的同學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算，找出

93、問題的原因所在.</p><p>　　(1)對(duì)第一種處理方式的研究</p><p>　　第一塊毛巾投洗掉的洗衣粉重量為：,</p><p>　　所以第一塊毛巾經(jīng)投洗后，四塊毛巾所含的洗衣粉的量約為：. </p><p>　　因?yàn)閷?duì)四塊毛巾采用同樣的處理方法，所以第二塊毛巾經(jīng)投洗后，四塊毛巾所含洗衣粉的重量約為：；同樣的計(jì)算方法，第三、四塊毛巾

94、經(jīng)投洗后，所含洗衣粉的重量分別是：和.</p><p>　　由此可以看出，每塊毛巾經(jīng)投洗后，四塊毛巾所含總的洗衣粉重量構(gòu)成了一個(gè)以 40為首項(xiàng)，8.33 為公差的等差數(shù)列，其中 40g 是四塊毛巾最初的含洗衣粉量，8.33g 是每次投洗掉的洗衣粉的量，因此總的計(jì)算式為：</p><p>　　這種投洗衣服的數(shù)學(xué)模型為：設(shè)每塊毛巾（含水）重，有塊需要清洗，每塊毛巾中含洗衣粉，共有水.每次投洗后

95、毛巾所含總的洗衣粉重量構(gòu)成了一個(gè)以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，那么經(jīng)次投洗后所含洗衣粉的重量，也就是數(shù)列的第項(xiàng)為：.</p><p>　　(2)對(duì)第二種處理方式的研究</p><p>　　經(jīng)第一次投洗后，四塊毛巾所含洗衣粉的重量為：</p><p><b>　　;</b></p><p>　　經(jīng)第二次投洗后，四塊毛巾所含洗

96、衣粉的重量為：</p><p><b>　　;</b></p><p>　　經(jīng)第三次投洗后，四塊毛巾所含洗衣粉的重量為：</p><p><b>　　;</b></p><p>　　經(jīng)第四次投洗后，四塊毛巾所含洗衣粉的重量為：</p><p><b>　　.<

97、/b></p><p>　　由數(shù)據(jù)的得出過程，可以清晰地看出，這是一個(gè)以 40 為首項(xiàng)，以即為公比的等比數(shù)列，因此，投洗后四塊毛巾所含的洗衣粉重量的總計(jì)算式為：</p><p>　　這種投洗衣服的數(shù)學(xué)模型為：設(shè)每塊毛巾（含水）重，有塊需要清洗，每塊毛巾中含洗衣粉，共有水.每次投洗后毛巾后，所含總的洗衣粉重量構(gòu)成了一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，那么經(jīng)次投洗后所含洗衣粉的重量，也就是數(shù)

98、列的第項(xiàng)為：</p><p>　　經(jīng)第二種投衣方式處理后，衣服中所含洗衣粉的量 1. 56g 明顯少于用第一種方式所得結(jié)果 6. 68g，因此，經(jīng)過對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)，第二種投衣服方式雖然有些麻煩，而且需要人們更多的耐心和時(shí)間，但是它的效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于第一種，可以用盡可能少的水將衣服洗得最干凈，這無疑給我們提供了一種可行的家庭節(jié)水方法，而且，如果將全國的人民一起動(dòng)員起來，每個(gè)家庭在每次洗衣服時(shí)都采用這樣的處理方式，并一

99、貫堅(jiān)持下去，積少成多，這種量的積累一定會(huì)達(dá)到質(zhì)的飛躍.</p><p><b>　　（三）總結(jié)與反思</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生往往感覺不到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用性，本研究性學(xué)習(xí)課題是從學(xué)生所熟悉的生活實(shí)際出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)問題，再用數(shù)學(xué)方法讓學(xué)生動(dòng)腦去解決，這不但大大激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，提高了問題解決的能力，而且讓學(xué)生親身體驗(yàn)了數(shù)學(xué)

100、在實(shí)用價(jià)值.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先要感謝我的指導(dǎo)老師，在本次畢業(yè)設(shè)計(jì)以及期間，XX老師給了我很多幫助.我從XX老師身上不僅學(xué)到了許多理論知識(shí)和技術(shù)，更重要的是學(xué)到了很多學(xué)習(xí)方法，并給了我很多有建設(shè)性的意見和建議.在此，感謝XX老師耐心的指導(dǎo).同時(shí)我還要感謝在我大學(xué)四年的過程中，所有給予我?guī)椭母魑焕蠋熀屯瑢W(xué)，我的成長和進(jìn)

101、步與你們的耐心幫助是分不開的.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]李興懷主編.金牌之路·競(jìng)賽解題指導(dǎo)(高中數(shù)學(xué)) [M].西安：陜西師范大學(xué)出版社,2004</p><p>　　[2]曹汝成編著.組合數(shù)學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2000.1</p><p>　　[

102、3]Richard A. Brualdi,"Introductory Combinatorics[M].3rd 2002 reprint Edition"</p><p>　　[4]余元希，田萬海，毛宏德等.初等代數(shù)研究[M].高等教育出版社</p><p>　　[5]高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2003 </p>