列主消元法課程設(shè)計

1、<p>　　《數(shù)值分析》課程設(shè)計</p><p><b>　　列主消元法解方程組</b></p><p>　　院（系）名稱 信息工程學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè) 班 級 </p><p>　　學(xué) 號 </p>

2、<p>　　學(xué) 生 姓 名 </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師 </p><p>　　2013 年 05 月 31日</p><p>　　數(shù)值分析 課程設(shè)計評閱書</p><p><b>　　課程設(shè)計任務(wù)書</b></p><p

3、>　　2012—2013學(xué)年第二學(xué)期</p><p>　　專業(yè)班級： 學(xué)號： 姓名： </p><p>　　課程設(shè)計名稱： 數(shù)值分析Ⅰ、Ⅱ </p><p>　　設(shè)計題目： 列主消元法解方程組 </p><p>　　完成

4、期限：自 2013 年 05月 21 日至2013年05 月31日共 10天</p><p>　　設(shè)計依據(jù)、要求及主要內(nèi)容：</p><p>　　一、設(shè)計目的 </p><p>　　熟練掌握求解方程組的列主消元法，并應(yīng)用Matlab軟件編寫列主消元法解

5、方程組的程序，應(yīng)用列主消元法求解線性方程組. </p><p>　　二、設(shè)計內(nèi)容 </p><p>　　(1) 掌握列主消元法的背景及其構(gòu)造原理；(2) 編寫列主元高

6、斯消去法和列主消元法的Matlab程序；(3) 調(diào)用編寫的函數(shù)求解方程組；(4) 通過所學(xué)知識對列主消元法有一個充分的認(rèn)識并對該課程設(shè)計進(jìn)行總結(jié). </p><p>　　三、設(shè)計要求 <

7、/p><p>　　1．了解列主消元法的背景及構(gòu)造原理. </p><p>　　2．正確編寫列主消元法的MATLAB程序并調(diào)用求解方程組. </p><p>　　3. 對列主消元法求解方程組有一個充分認(rèn)

8、識，并進(jìn)行總結(jié). </p><p>　　計劃答辯時間：2013年 06 月 5 日 </p><p>　　工作任務(wù)與工作量要求： </p><p>　　查閱文獻(xiàn)資料不少于3篇，課程設(shè)計報告1篇不少于3000字．</p><p>　　指導(dǎo)教師（簽字）： 教研

9、室主任（簽字）： </p><p>　　批準(zhǔn)日期： 2013 年 05 月 20 日</p><p><b>　　列主消元法解方程組</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　在自然科學(xué)和工程中有很多問題的解決歸結(jié)為求解線性方程組或者非線

10、性方程組的數(shù)學(xué)問題。求解線性方程組的直接法主要有選主元高斯消去法、平方根法、追趕法等.列主元素消去法既是選主元高斯消去法的一種，也是實(shí)際計算中常用的部分選主元消去法.本文即是討論利用列主元素消去法求解線性方程組問題.通過掌握的列主消元法的背景及構(gòu)造原理，編寫MATLAB程序并調(diào)用函數(shù)成功求解線性方程組.并對其結(jié)果進(jìn)行分析與討論，得到結(jié)果比之高斯法更為精確.</p><p>　　關(guān)鍵詞：列主消元法,MATLAB,線

11、性方程組 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 前　 言1</p><p>　　2 列主元消去法的背景1</p><p>　　3 列主元消去法的構(gòu)造原理2</p><p>　　3.1 列主高斯消元法4</p><p>

12、　　4 MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)5</p><p>　　4.1 列主高斯消元法7</p><p><b>　　5 算法分析9</b></p><p><b>　　總結(jié)10</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)10</b></p><p&g

13、t;<b>　　1 前言</b></p><p>　　在科學(xué)研究和工程技術(shù)中有許多問題可歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組，其中所產(chǎn)生的線性方程組，其系數(shù)矩陣大致可分為兩種：一種是低階稠密矩陣；另一類是大型稀疏矩陣（此類矩陣階數(shù)高，但零元素較多）.對于這兩種矩陣，我們可以把線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法大致的分為兩類：直接法和迭代法。迭代法一般用來求解大型稀疏矩陣方程組（本文不予討論）；直接法是目前計算機(jī)

14、上解低階稠密矩陣的有效方法，如果計算過程中沒有舍入誤差，則此種方法通過有限步四則運(yùn)算可求的方程組的精確解，但實(shí)際計算中由于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得方程組的近似解.直接法主要有選主元素高斯消去法、平方根法、追趕法等。本文所要討論的列主元素消去法就是選主元素高斯消去法中的一種.</p><p>　　2 列主元消去法的背景</p><p>　　高斯消去法是一個古老的求解線性方程

15、組的方法，也是解線性方程組問題中較為常見的一種數(shù)值方法。但在采取高斯消去法解方程組時，當(dāng)采用絕對值很小的主元素時，可能導(dǎo)致計算結(jié)果的失敗，故在消去法中應(yīng)避免采用絕對值很小的主元素。對于一般的線性方程組，需要引進(jìn)選主元的技巧，即在高斯消去法的每一步應(yīng)該在系數(shù)矩陣或消元后的低價矩陣中選取絕對值最大的元素作為主元素，保持乘數(shù) ，以便減少計算過程中舍入誤差對計算解的影響.</p><p>　　選主元素消元法則是對高斯消去

16、法的改進(jìn)，是解低價稠密矩陣方程組的有效方法。選主元素消元法則避免了采用絕對值很小的主元素.選主元素消去法主要有完全主元素消去法與列主元素消去法兩種。完全主元素消去法即是每次按行列選取絕對值最大的元素作為主元素，進(jìn)行行列交換，之后再完成消元計算.在完全主元素消去法計算過程中舍入誤差能得到有效的控制，對計算的影響較小，具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性.</p><p>　　列主元素消去法則是對完全主元素消去法的又一次改進(jìn)。列主元

17、素消去法在完全主元素消去法的基礎(chǔ)上減少了在選主元素時所要花費(fèi)的一定的計算時間.此論文將介紹列主元消去法的基本思想和原理.</p><p>　　3 列主元消去法的構(gòu)造原理</p><p><b>　　設(shè)有線性方程組</b></p><p>　　其中，為非奇異矩陣.</p><p>　　方程組的增廣矩陣為:</p&g

18、t;<p>　　首先在的第1列選取絕對值最大的元素作為主元素，即選擇</p><p>　　然后交換的第1行與第行（交換后增廣矩陣為簡單起見仍記為，其元素仍記為）.經(jīng)過第1次消元計算得到與原方程組等價的方程組：</p><p><b>　　其中 </b></p><p><b>　　上述過程可記為 ：</b>&

19、lt;/p><p>　　重復(fù)上述計算過程，現(xiàn)假設(shè)已完成第k-1步的選主元素過程，交換兩行并進(jìn)行消元計</p><p><b>　　此時約化為：</b></p><p>　　其中的元素仍記為，的元素仍記為.</p><p>　　第k步選主元素（在右下角方陣的第1列內(nèi)選），即確定，使</p><p>　　

20、交換第行與行的元素，再進(jìn)行消元計算，最后將原線性方程組化為：</p><p><b>　　回代可求解得：</b></p><p><b>　　算法描述：</b></p><p>　　對于k=1,2,….n-1做到（4）.</p><p>　?。?）按列選主元，即確定使</p><

21、p>　?。?）如果，則A為奇異矩陣，停止計算.</p><p>　?。?）如果，則交換第行與第k行元素.</p><p><b>　?。?）消元計算：</b></p><p><b>　　（5）回代計算： </b></p><p>　　3.1 列主元高斯消去法</p><p

22、>　　設(shè)有線性方程組Ax=b，其中設(shè)A為非奇異矩陣。方程組的增廣矩陣為：</p><p>　　第1步（k=1）：首先在A的第一列中選取絕對值最大的元素，作為第一步的主元素： </p><p>　　然后交換（A，b）的第1行與第l行元素，再進(jìn)行消元計算。 </p><p>　　設(shè)列主元素消去法已經(jīng)完成第1步到第k-1步的按列選主元，交換兩行，消元計算得到與原方程

23、組等價的方程組 A(k)x=b(k) </p><p><b>　　第k步計算如下： </b></p><p>　　對于k=1，2，…，n-1 </p><p>　　（1）按列選主元：即確定t使 </p><p>　?。?）如果t≠k，則交換[A，b]第t行與第k行元素。 </p><p>&

24、lt;b>　?。?）消元計算 ：</b></p><p>　　消元乘數(shù)mik滿足：</p><p><b>　　|</b></p><p><b>　　（4）回代求解：</b></p><p>　　4 通過計算機(jī)利用列主元素消去法求解線性方程組</p><p&

25、gt;　　計算機(jī)在科學(xué)和工程設(shè)計中應(yīng)用日益廣泛.把科學(xué)和工程設(shè)計中的具體問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立起能描述并等價代替該實(shí)際問題的數(shù)學(xué)問題，編制出計算機(jī)程序，就能夠使得復(fù)雜問題得到妥善的解決.下面及描述列主元消去法的程序過程.</p><p>　　對于已給定的，其程序框圖如下：</p><p>　?。ㄗⅲ簽榫仃嚨男袛?shù)；為輸入的一精度，用于判斷的行列式是否約等于0）</p><

26、;p>　　4.1 列主高斯消元法</p><p><b>　　主程序如下：</b></p><p>　　function [RA,RB,n,x]=gaus(A,b) %列主高斯消元法求解Ax=b.</p><p>　　%A為方程組所構(gòu)成的矩陣.</p><p>　　%b為方程組的結(jié)構(gòu)構(gòu)成的列矩陣.<

27、;/p><p>　　B=[A,b]; %B為增廣矩陣.</p><p>　　n=length(b); %n為矩陣b的長度.</p><p>　　RA=rank(A); %RA為矩陣A的秩.</p><p>

28、　　RB=rank(B); %RB為矩陣B的秩.</p><p>　　zhicha=RB-RA;</p><p>　　if zhicha>0 %利用B的秩與A的秩之差判斷方程組有無解</p><p>　　disp('因?yàn)镽A~=RB，所以方程無解')</

29、p><p><b>　　return</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　if RA==RB %系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩</p><p><b>　　if RA==n</b></p>

30、<p>　　disp('因?yàn)镽A=RB=n.所以方程有唯一解.')</p><p>　　%系數(shù)矩陣的秩（增廣矩陣的秩）等于未知量的個數(shù)</p><p>　　x=zeros(n,1); </p><p>　　c=zeros(1,n+1);</p><p>　　for p=1:n-1</

31、p><p>　　for k=p+1:n</p><p>　　l=B(k,p)/B(p,p);</p><p>　　B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-l*B(p,p:n+1); %將B化為階梯型</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end<

32、/b></p><p>　　b=B(1:n,n+1);</p><p>　　A=B(1:n,1:n);</p><p>　　x(n)=b(n)/A(n,n);</p><p>　　for q=n-1:-1:1</p><p>　　x(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q

33、);</p><p>　　%回代過程（在消元過程中一次利用后一方程的解代入前一方程將解逐個解求出的過程）</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　else</b></p><p>　　disp('因?yàn)镽A=RB<n.所以方程有無窮解.')<

34、/p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　使用主程序求解方程組，例如：</p><p>　　上述例題，調(diào)用函數(shù)求解：</p><p>　　A=[1 -1 1 -3;0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -

35、4 1];</p><p>　　b=[1 0 -1 -1]';</p><p>　　[RA,RB,n,x]=gaus(A,b)</p><p><b>　　結(jié)果如下：</b></p><p>　　因?yàn)镽A=RB=n.所以方程有唯一解.</p><p><b>　　RA=</

36、b></p><p><b>　　4</b></p><p><b>　　RB=</b></p><p><b>　　4</b></p><p><b>　　n=</b></p><p><b>　　4</b&

37、gt;</p><p><b>　　x=</b></p><p><b>　　0</b></p><p><b>　　-0.5000</b></p><p><b>　　0.5000</b></p><p><b>　　0

38、</b></p><p>　　列主元消去法具有較高的計算精度，可以有效地減少運(yùn)行過程中帶來的誤差。</p><p><b>　　5 算法分析</b></p><p>　　列主高斯消元法是高斯消去法的改進(jìn)，高斯消去法的主要思路是將系數(shù)矩陣A化為上三角矩陣，然后回代求解.高斯消元法簡單易行，且計算量較小，但順序高斯消去法只適用于從1到n

39、-1階順序主子式均不為0的矩陣A，當(dāng)主元素為0時，順序高斯消去法不能進(jìn)行；且出現(xiàn)小主元時，會嚴(yán)重影響計算結(jié)果的精度們甚至導(dǎo)出錯誤的結(jié)果.</p><p><b>　　例如：</b></p><p>　　用高斯消去法求解，則消元過程矩陣表示為：</p><p>　　回代求解得：=0.5000，=0.0000</p><p>

40、;　　比較準(zhǔn)確解：=0.499998...，=0.250001…</p><p><b>　　比較嚴(yán)重失真.</b></p><p>　　而列主元高斯消元法比之普通的高斯消去法要多一些比較運(yùn)算，但是比普通的高斯消去法要穩(wěn)定的多.所以列主元高斯消去法是目前直接發(fā)的所選算法.</p><p><b>　　總 結(jié)</b>&

41、lt;/p><p>　　通過一段時間的不懈努力，數(shù)值分析課程設(shè)計終于完成．通過這次課程設(shè)計，我收獲了很多，也學(xué)習(xí)很多．在設(shè)計過程中，使我把理論的知識與實(shí)踐結(jié)合到了一起，達(dá)到了理論與實(shí)踐的結(jié)合．此外，也提高了自己的動手能力．在程序編譯過程中一直都有出錯，通過查找資料，并通過MATLAB編譯程序也經(jīng)常出錯，不過經(jīng)過兩天努力也終于得到了有效且正確的程序.而在這過程中也深刻認(rèn)識到了自己在程序編輯上的不足，以后也應(yīng)該加強(qiáng)這方面

42、的學(xué)習(xí).</p><p>　　在設(shè)計過程中，我也了解到了列主消元法的一些知識。列主元素消去法的提出有效的控制了舍入誤差的擴(kuò)散，且相對于完全主元素消去法，其選主元素比較方便。，利用列主元素消去法解線性方程組時僅需要選出每列中絕對值最大的元素，計算量為，也了解到了列主消元法比高斯消元法的結(jié)果更加精確，從上面的例題可看出，利用計算機(jī)來求解方程組大大的減少了計算時間.當(dāng)然，利用計算機(jī)來解決工程實(shí)際和科學(xué)技術(shù)中的復(fù)雜問題，

43、也是21世紀(jì)現(xiàn)代化的要求.把建立好的數(shù)學(xué)模型用計算機(jī)描述出來，這不僅使問題變得簡單化，還大大的縮減了計算所需的時間，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與計算機(jī)的緊密結(jié)合.在以后的工作生活中我們要學(xué)會善于利用計算機(jī)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，把復(fù)雜的問題簡單化，減少計算時間，提高工作的效率.利用MATLAB軟件編寫高斯消元法求解線性方程組是一種比較好的方法，并且求得的結(jié)果比較精確，我們可以將其應(yīng)用于生活之中，減輕我們的腦力負(fù)擔(dān).列主元高斯消去法是一種良好的求解方法，單頁有著些

44、許不足，等著我們?nèi)ゼ右愿倪M(jìn).</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 馮國忱，黃明游．?dāng)?shù)值分析(上冊)[M]．北京：高等教育出版社，2007． </p><p>　　[2] 易大義，沈云寶，李有法編.計算方法.杭州：浙江大學(xué)出版社，2002.