數(shù)學(xué)文化欣賞論文

1、<p><b>　　黃金比的推導(dǎo)方法</b></p><p>　　姓名： 學(xué)院： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)：</p><p>　　摘要：古希臘曾提出這樣一個(gè)問題：“一根棍從哪里分割最為美妙？”答案是：“前半段與后半段之比應(yīng)等于后半段與全長(zhǎng)之比”。設(shè)全長(zhǎng)為1，后半段為x，此式即成為(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。

2、其解為：。棍內(nèi)分割只能取正值，此值就是著名的黃金分割比值G,  G=0.618033988≈0.618。學(xué)理上，推導(dǎo)黃金比例的方法有很多種，今僅簡(jiǎn)要提出三種，分別為：(1)根據(jù)比例中項(xiàng)的原則；(2)根據(jù)完美的相似矩形；(3)根據(jù)斐波那契數(shù)列。</p><p>　　關(guān)鍵詞：黃金比；比例中項(xiàng)的原則；完美的相似矩形；斐波那契數(shù)列</p><p>　　黃金比的三種簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法：

3、(1)根據(jù)比例中項(xiàng)的原則；(2)根據(jù)完美的相似矩形；(3)根據(jù)斐波那契數(shù)列。</p><p>　　1.根據(jù)比例中項(xiàng)的原則</p><p>　　如圖1所示，在已知線段上取一個(gè)點(diǎn)，使該點(diǎn)所分兩線段中的一部份是全部線段與另一部份線段的比例中項(xiàng)，這樣也可以計(jì)算出黃金比例。亦即：</p><p><b>　　因此，可得：</b></p>&

4、lt;p><b>　　故可解出：</b></p><p><b>　　或 </b></p><p>　　其中時(shí)，其數(shù)值恰為黃金比例，故根據(jù)比例中</p><p>　　項(xiàng)的原則也可以推算出黃金比例。</p><p>　　圖1 線之黃金分割</p><p>　　

5、2.根據(jù)完美的相似矩形</p><p>　　有一矩形，如圖2所示，今欲從其中切掉一個(gè)正方形，若剩下的小矩形和原來的矩形相似，則這兩個(gè)大小矩形都是最完美的矩形，反之亦然。亦即，若圖2所示之矩形為完美的矩形，則：</p><p>　　a : b = b : (a – b)</p><p>　　令該式中之每一個(gè)項(xiàng)次均除以矩形的長(zhǎng)度a，則：</p><p

6、><b>　　此式可繼續(xù)化簡(jiǎn)為：</b></p><p>　　解析此一元二次方程式，即可求出其寬長(zhǎng)比b/a為：</p><p><b>　　或 </b></p><p>　　其中時(shí)，即為圖2所示之矩形的寬度與長(zhǎng)度的比值，其比值就是黃金比例，故由完美矩形亦可求出黃金比例。也就是說，完美矩形的寬長(zhǎng)比是0.618。<

7、/p><p>　　圖2　完美的相似矩形</p><p>　　3.根據(jù)斐波納契數(shù)列</p><p>　　1202年，斐波那契提出一個(gè)著名的“兔子問題”，亦即：某人在圍墻內(nèi)飼養(yǎng)了一對(duì)兔子，如果它們每個(gè)月生出一對(duì)兔子，且新生的兔子在第二個(gè)月后也是每個(gè)月生出一對(duì)兔子，問一年后圍墻內(nèi)一共有多少對(duì)兔子？</p><p>　　根據(jù)題意，由第一個(gè)月開始，每個(gè)月圍

8、墻內(nèi)所出現(xiàn)的兔子對(duì)數(shù)，可列表如表1所示。</p><p>　　表1　斐波那契所提兔子問題的解答</p><p>　　由表1得知，經(jīng)過12個(gè)月份之后，圍墻內(nèi)一共會(huì)出現(xiàn)144對(duì)兔子。以上各個(gè)月份所出現(xiàn)的兔子數(shù)目，系形成一特殊數(shù)列，稱為Fibonacci數(shù)列?；诖?，斐波那契數(shù)列可表為：{1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、…}。其中的數(shù)字144系12的平方，它是Fib

9、onacci數(shù)列中惟一的平方數(shù)。第12個(gè)月所出現(xiàn)的數(shù)字是12的平方，這似乎是一種必然的巧合。這一連串?dāng)?shù)字，呈現(xiàn)出一種特殊的組合，亦即前兩個(gè)數(shù)字相加的和，正好是第三個(gè)數(shù)字的大小。例如，數(shù)字2是數(shù)字1與1的和，數(shù)字3是數(shù)字1與2的和，數(shù)字5是數(shù)字2與3的和，依此類推，即可找出組成斐波那契數(shù)列的所有成員，且這是一個(gè)無窮盡的級(jí)數(shù)。</p><p>　　引用斐波那契數(shù)列，即可找出黃金比例0.618或1.618，說明如下。已

10、知數(shù)列可表為{1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、…}，其斐波那契前后兩個(gè)數(shù)字相除，會(huì)逐漸得出0.618的比值，如表2所示。</p><p>　　表2　根據(jù)斐波那契數(shù)列所得出之黃金比例</p><p>　　表2取小數(shù)點(diǎn)以下三個(gè)位數(shù)所出現(xiàn)的比值為0.618，而其倒數(shù)則為1 ¸ 0.618 = 1.618。習(xí)慣上，0

11、.618或1.618均可稱之為黃金比例或黃金分割。</p><p>　　以上所述為黃金比例之推導(dǎo)過程，除此之外，亦可利用正五邊形或正十邊形的作圖法等等，推求出黃金比例。</p><p>　　所謂“黃金比”，即具有黃金一樣寶貴的性質(zhì)，事實(shí)上，黃金分割的確與眾不同，黃金比在工業(yè)生產(chǎn)、藝術(shù)創(chuàng)作、美學(xué)、軍事和自然界中都普遍存在。</p><p><b>　　參考文

12、獻(xiàn)</b></p><p>　　數(shù)學(xué)文化欣賞（第二版） 鄒庭榮 武漢大學(xué)出版社 2013.2 62-71</p><p>　　輾轉(zhuǎn)相除法、黃金分割與費(fèi)氏數(shù)列（上） 蔡聰明 數(shù)學(xué)傳播 1995.9 34-42。</p><p>　　輾轉(zhuǎn)相除法、黃金分割與費(fèi)氏數(shù)列（下） 蔡聰明 數(shù)學(xué)傳播 1995.12 67-72。</p>