控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析課程設(shè)計(jì)

1、<p><b>　　一 <<引言>></b></p><p>　　穩(wěn)定性是系統(tǒng)的能在實(shí)際中應(yīng)用的首要條件。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并找出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，便成為自動控制理論的一個重要的任務(wù)。在常見的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，都是取決于控制系統(tǒng)本身的機(jī)構(gòu)和參數(shù)，而與其輸入無關(guān)。自動控制理論經(jīng)過不斷地發(fā)展，判斷其穩(wěn)定性已經(jīng)有了很多方法，較常用的有求其閉環(huán)傳遞函數(shù)的特

2、征根，根軌跡法，Nyquist曲線，伯德圖等方法。線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件是其特征根具有負(fù)實(shí)部，在實(shí)際的工程系統(tǒng)中，為避開對特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，即看其特征根是否全部分布在負(fù)實(shí)部，并以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由此而形成一系列的穩(wěn)定性判據(jù)，而且這些方法都已經(jīng)經(jīng)過了數(shù)學(xué)的證明，是完全有相關(guān)的理論根據(jù)來支持的，因此大大提高了系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷的靈活性。</p><p>　　隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，將計(jì)算機(jī)技術(shù)

3、引入到自動控制理論中，在提高判斷速度，減少人為的計(jì)算等的同時，也將自動控制理論的發(fā)展推到一定的高度。在MATLAB未產(chǎn)生之前，由于自動控制系統(tǒng)的復(fù)雜性，判斷穩(wěn)定性的計(jì)算量非常的大，而采用MATLAB之后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析就變得很簡單，同時采用MATLAB還可以對復(fù)雜的控制系統(tǒng)進(jìn)一步進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。</p><p>　　二 《控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析》</p><p>　　1、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性定義

4、</p><p>　　控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義有很多種，比較典型的說法有兩種：</p><p>　　由俄羅斯學(xué)者李雅普諾夫首先提出的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。</p><p><b>　　系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性</b></p><p>　　對于線性控制系統(tǒng)而言，這兩種說法是等價(jià)的。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以定義如下：

5、</p><p>　　若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨著時間的推移而逐漸衰減并趨于零則稱該系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定，簡稱為穩(wěn)定；若反之，在初始擾動影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱為系統(tǒng)不穩(wěn)定。有上述穩(wěn)定性的定義可知，線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于左半S開平面。</p><p>　　2、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法<

6、;/p><p>　　在經(jīng)典控制理論中，常用時域分析法、復(fù)域分析法或者頻域分析法來分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不過不同的方法使用的范圍不同，在不同的條件下，選取合適的方法能夠取到事半功倍的功效。通過控制原理的學(xué)習(xí)，加上查閱的相關(guān)資料，先將分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法梳理一下，然后選取適當(dāng)?shù)姆椒?，來判定給予的單位負(fù)反饋系統(tǒng)在K取值時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這道題選用根軌跡方法來求。</p><p>　　在經(jīng)典控制系統(tǒng)的設(shè)

7、計(jì)與分析中，我們常以穩(wěn)定性、快速性性和準(zhǔn)確性來衡量系統(tǒng)的性能，而系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)運(yùn)行的先決條件，是系統(tǒng)時域分析、穩(wěn)態(tài)誤差分析、根軌跡分析與頻率分析的前提。在經(jīng)</p><p>　　典控制理論中，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半S平面。對于低階系統(tǒng)而言，可以簡單地對其特征方程進(jìn)行因式分</p><p>　　解而求出

8、其特征根。但對三階或三階以上的高階系統(tǒng)，直接求方程的根比較困難。并且在很多情況下，常常只需了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而對特征根的確切數(shù)值不感興趣。因此，在控制工程中，需要一種間接判</p><p>　　定系統(tǒng)特征根分布的方法。在經(jīng)典控制理論中，常用代數(shù)判據(jù)、時域分析法、根軌跡法和頻域分析法來判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在對經(jīng)典控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判定時，MATLAB提供了大量的數(shù)學(xué)計(jì)算以及</p><p>

9、;　　圖形繪制的函數(shù)，從而使經(jīng)典控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定變得簡單。</p><p><b>　　(1)、時域分析法</b></p><p>　　時域分析法是一種直接分析法，也是一種比較準(zhǔn)確的方法。對于那些較易得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的場合，此方法是比較適合的。時域分析法是以拉普拉斯變換為工具，從傳遞函數(shù)出發(fā)，直接在時間域上研究自動控制系統(tǒng)性能的一種方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是對系統(tǒng)

10、分析的結(jié)果直接而全面，缺點(diǎn)是分析過程的計(jì)算量較大，尤其是對高階系統(tǒng)。一般情況下，系統(tǒng)分析結(jié)果所提供的信息對下一步如何改造、綜合系統(tǒng)是不夠的。計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的發(fā)展，尤其是MATLAB／Simulink的廣泛應(yīng)用，正好彌補(bǔ)了這一不足。</p><p>　　時域分析，尤其是高階系統(tǒng)的時域分析，其困難主要在系統(tǒng)極點(diǎn)、留數(shù)的獲取上，以及在已知響應(yīng)表達(dá)式的基礎(chǔ)上，如何繪制響應(yīng)波形和求取性能指標(biāo)等一系列問題。這些均涉及大量的數(shù)

11、值計(jì)算，MAT—LAB／Simulink的仿真平臺為此提供了強(qiáng)有力的工具。時域響應(yīng)分析的是系統(tǒng)對輸入和擾動在時域內(nèi)的瞬態(tài)行為。系統(tǒng)特征、如上升時間、調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差，均能從時間響應(yīng)上反映出來。MAT—LAB提供了對系統(tǒng)階躍響應(yīng)(step()函數(shù))、沖激響應(yīng)(impulse()函數(shù))等進(jìn)行仿真的函數(shù)及大量對控制系統(tǒng)進(jìn)行時域分析的函數(shù)(covar、initial、Isim)</p><p><b>

12、;　　(2)、頻域分析法</b></p><p>　　控制系統(tǒng)的頻率特性反應(yīng)的是系統(tǒng)對正弦輸入信號的響應(yīng)性能。頻域分析法是一種圖解分析法，它依據(jù)系統(tǒng)頻率特性對系統(tǒng)的性能(如穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性)進(jìn)行分析。頻率特性是控制系統(tǒng)和的一種數(shù)學(xué)模型，可用三種圖形對頻率特性進(jìn)行描述，即幅相頻率特性曲線(又稱極坐標(biāo)或Nyquist曲線)，對數(shù)頻率特性同線(又稱Bode圖)、對數(shù)幅相頻率特性曲線(2Z稱Nichol

13、s曲線)。對數(shù)幅相圖也稱Nichols圖，它是將對數(shù)幅頻特性和相頻特性兩張圖在角頻率為參變量的情況下合成為一張圖，Bode圖由對應(yīng)對數(shù)幅頻特性和對應(yīng)對數(shù)相頻特性的兩張圖組成，為了使系統(tǒng)滿足一定的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)要求，對開環(huán)對數(shù)幅頻特性和形狀有如下要求：低頻段要有一定的．高度和斜率；中頻段的斜率最好為一20dB／dee，且具有足夠的寬度；高頻段采用迅速衰減的特性，以抵制不必要的高頻干擾，Nichols圖通常與等M 圓(等幅</p>

14、<p>　　值圓)和等N圓(等相角圓)一起使用，從開環(huán)頻率特性獲得閉環(huán)頻率特性。</p><p>　　最小相位系統(tǒng)的幅頻相頻特性之間存在惟一的對應(yīng)關(guān)系，利用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，可由開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，用相角裕度和幅值裕度來反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。利用等M 圓和N圓，可</p><p>　　由開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)頻率特性，進(jìn)而定性或定量地對系統(tǒng)時域響應(yīng)進(jìn)行分析。M

15、ATLAB提供了繪制系統(tǒng)Bode圖的函數(shù)bode()、繪制系統(tǒng)的Nichols圖的函數(shù)nichlos()、繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖的函數(shù)nyquist()。MATLAB還提供了用于計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的函數(shù)margin以及繪制等M 圓和等N圓的函數(shù)ngrid()。ngrid()對于用nichlos函數(shù)繪制的Nichols曲線，繪制的相應(yīng)的等M 圓和等N圓，均為虛線圓，并提供有關(guān)的對數(shù)幅值和相位值。</p><p>　　頻域

16、分析法是應(yīng)用頻率特性研究自動控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式不知道時，就無法應(yīng)用代數(shù)判據(jù)或根軌跡法判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此時應(yīng)用頻率穩(wěn)定判據(jù)就非常方便。</p><p><b>　　(3)根軌跡分析法</b></p><p>　　由開環(huán)傳遞函數(shù)來直接尋求閉環(huán)特征根的軌跡的總體規(guī)律，而無需求解高階系統(tǒng)的特征根。這在工程實(shí)踐中獲得了廣泛的應(yīng)用，這就是根軌

17、跡法。根軌跡法用圖解的方法來表示特征方程的根與系統(tǒng)的某個參數(shù)(通常是回路增益)之間的全部數(shù)值關(guān)系，該參數(shù)的某個特定值所對應(yīng)的根顯然位于上述關(guān)系圖上。當(dāng)改變增益或增加開環(huán)零極點(diǎn)時，可以利用根軌跡法預(yù)測其對閉環(huán)極點(diǎn)位置的影響。因此，掌握根軌</p><p>　　跡的畫法將非常有用，包括手工和計(jì)算機(jī)輔助畫法，他們是分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。當(dāng)今，在計(jì)算機(jī)上繪制根軌跡已經(jīng)是很容易的</p><p>　

18、　事，尤其使用MATLAB來繪制根軌跡。計(jì)算機(jī)繪制根軌跡大多采用直接求解特征方程的方法，也就是沒改變一次增益K就求解一次特征方程。讓K從零開始等間隔增加，只要K的取值足夠多、足夠密，相</p><p>　　應(yīng)解特征方程的根就在S平面上繪制根軌跡。</p><p>　　MATLAB提供了直接求取系統(tǒng)所有零極點(diǎn)的函數(shù)，因此可以直接根據(jù)零極點(diǎn)的分布情況對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。在MATLAB中，采

19、用函數(shù)pzmap()繪制系統(tǒng)零極點(diǎn)，通過輸入“rlocus(GH)”可得根軌跡圖，它描述了開環(huán)增益K從0到正無窮變化時，閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)s平面內(nèi)的變化情況，即系統(tǒng)GH的180。根軌跡。MATLAB會計(jì)算出根軌跡的n條分支，并以其選定的實(shí)軸和虛軸繪制圖形。在計(jì)算結(jié)果和零極點(diǎn)分布圖中，我們可以利用線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件直觀地判定一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定。值得注意的是，繪制根軌跡時，應(yīng)令s平面實(shí)軸和虛軸的比例尺相同，只有這樣才能正確反映S平面上坐標(biāo)位

20、置和想叫的關(guān)系，在MATLAB中，通過“axis equal”命令使實(shí)軸和虛軸的比例尺保持相同。在畫出根軌跡后，可交互的利用rlocfind命令來確定用戶鼠標(biāo)所點(diǎn)之根軌跡上任意點(diǎn)對應(yīng)的K值，K值所對應(yīng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)值也可以利用形如EK，poles~一rlocfind(GH)的命令來顯示。</p><p>　　三《用根軌跡法對下面系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行MATLAB計(jì)算表現(xiàn)》</p><p>　　一個

21、單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) </p><p>　　試在系統(tǒng)閉環(huán)的根軌跡圖上選擇一點(diǎn)，求出該點(diǎn)的增益k及其系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位置，并判斷在該點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性</p><p>　　試計(jì)算當(dāng)k=33~37范圍內(nèi)時系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位置，并判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性</p><p>　　開環(huán)傳遞函數(shù)：是在閉環(huán)系統(tǒng)中中： 假設(shè)系統(tǒng)單輸入R（s);單輸出C(s),前向通道傳遞函數(shù)G（s),

22、反饋為負(fù)反饋H(s)：那么“人為”地?cái)嚅_系統(tǒng)的主反饋通路，將前向通道傳遞函數(shù)與反饋通路傳遞函數(shù)相乘，即得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。</p><p>　　開環(huán)有四個極點(diǎn)：p1=-5，p2=-6,p3=-1+j,p4=-1-j</p><p>　　所以用matlab計(jì)算如下：</p><p>　　numden 獲取最小公分母和相應(yīng)的分子表達(dá)式 ,用以表達(dá)本題的分子分母，con

23、v 多項(xiàng)式乘、卷積, tf 創(chuàng)建傳遞函數(shù)對象, title為圖的名稱，xlabel和ylabel分別是x軸和y軸的名，函數(shù)rlocfind( )的一種調(diào)用格式為：[k,poles]=rlocfind(sys)這是一條帶鼠標(biāo)操作的函數(shù)命令，輸入?yún)?shù)為sys。當(dāng)選擇根軌跡上某一點(diǎn)時，其相應(yīng)的增益由變量K記錄，與此增益相關(guān)的所有極點(diǎn)記錄在ploes中，從顯示所有極點(diǎn)的數(shù)值，就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所以由MATLAB軟件計(jì)算得到根軌跡圖形。<

24、;/p><p>　　這個—2.8140—0.0621i就是在根軌跡上選擇的點(diǎn)，該點(diǎn)的增益K=152.5349，該程序程序的操作方法是：在MATLAB命令窗口里輸入文件名回車后，在根軌跡窗口上有縱橫兩條坐標(biāo)線，其交點(diǎn)隨鼠標(biāo)而移動。將交點(diǎn)指在根軌跡負(fù)實(shí)軸上某一點(diǎn)時，其相應(yīng)的增益有變量K記錄，與增益相關(guān)的所有極點(diǎn)記錄在變量POLES中。由計(jì)算數(shù)據(jù)可知，系統(tǒng)全部閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部都為負(fù)值，所以在該點(diǎn)k=152.5349閉環(huán)系統(tǒng)是

25、穩(wěn)定的。需要說明，只要交點(diǎn)指在根軌跡負(fù)實(shí)軸上的任一位置，系統(tǒng)全部閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部都為負(fù)值，也就是閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。</p><p>　　試計(jì)算當(dāng)k=33~37范圍內(nèi)時系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位置，并判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性</p><p>　　該程序執(zhí)行后可得單位負(fù)反饋系統(tǒng)在k=33至37范圍內(nèi)閉環(huán)極點(diǎn)位置上的數(shù)據(jù)：有閉環(huán)極點(diǎn)位置的數(shù)據(jù)可以看出：k=33至37內(nèi)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。 K=33時極點(diǎn)為-7.4

26、245,-3.7359,-0.9198+2.2105i,以及</p><p>　　-0.9198-2.2105i，當(dāng)k=34時，極點(diǎn)為-7.4497，-3.7206，-0.9148+2.2378i，-0.9148-2.2378i，當(dāng)k=35時，極點(diǎn)為-7.4746，-3.7059，-0.9098+2.2647i，-0.9098-2.2647i，當(dāng)k=36時，極點(diǎn)為-7.4990，-3.6917，-0.9047+2