向量法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　向量法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　the application of vector method in high school mathematics</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　向量是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用于方方面面，主要運(yùn)用在圓錐曲線與立體幾何兩方面。由

2、于聯(lián)系到許多其他知識(shí)點(diǎn)，向量掌握的好與壞，直接影響學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量。近幾年的高考趨勢(shì)表明，向量在高中扮演的角色越來(lái)越重要。</p><p>　　Vector Method is a significant and widely-used knowledge point in high school mathematics, and it mainly used in terms of conic secti

3、on and solid geometry. As Vector Method is linked to many other math knowledge points, therefore, students’ mastery degree of it directly influences the quality of high school math studies. Furthermore, the trend of Coll

4、ege Entrance Examination in recent years has clearly indicated the increasing importance of Vector Method in high school mathematics. </p><p>　　關(guān)鍵詞：向量；平面幾何；立體幾何；代數(shù)</p><p>　　Keyword：Vector；planim

5、etry；stereometry；algebra </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　引 言4</b></p><p><b>　　1、平面幾何6</b></p><p>　　1.1、 利用向量解決基礎(chǔ)平面圖形問(wèn)題6</p&g

6、t;<p>　　1.2、 利用向量求解圓錐曲線問(wèn)題7</p><p><b>　　2、 立體幾何9</b></p><p>　　2.1、 利用向量解決平行問(wèn)題9</p><p>　　2.2、 利用向量解決垂直問(wèn)題10</p><p>　　2.3、 利用向量來(lái)求空間角問(wèn)題11</p>

7、<p>　　2.4、 空間距離13</p><p>　　2.4.1、 兩點(diǎn)距離13</p><p>　　2.4.2、 點(diǎn)到直線距離13</p><p>　　2.4.3、 點(diǎn)到平面距離14</p><p>　　2.4.4、 異面直線距離14</p><p><b>　　3、代數(shù)15<

8、/b></p><p>　　3.1、 不等式問(wèn)題15</p><p>　　3.2、 求最值問(wèn)題16</p><p>　　3.3、三角函數(shù)中的應(yīng)用16</p><p><b>　　結(jié) 論17</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)18</b></p&

9、gt;<p><b>　　致 謝18</b></p><p><b>　　引 言</b></p><p>　　向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)的重要概念之一，由于它既有幾何的表示方法又有代數(shù)表示方法，與中學(xué)數(shù)學(xué)的許多主干知識(shí)交匯。因此，它或作為知識(shí)的載體，或作為解決問(wèn)題的工具，幾乎滲透到數(shù)學(xué)的所有分支之中。</p>

10、<p>　　當(dāng)然，在本文闡述向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的開(kāi)始，先來(lái)認(rèn)識(shí)一下什么是向量。數(shù)學(xué)中，向量是既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量。平面上的幾何向量常用帶箭頭的線段—有向線段表示，簡(jiǎn)稱為向量。</p><p>　　向量的表示分為三種，即代數(shù)表示，幾何表示，坐標(biāo)表示。</p><p>　　1. 代數(shù)表示：一般用黑體小寫字母a表示，或者帶箭頭的小寫字母表示，或者用帶箭頭的兩個(gè)

11、大寫字母表示。</p><p>　　2. 幾何表示：向量可以用有向線段來(lái)表示，用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小。如圖，若規(guī)定線段AB的端點(diǎn)A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，則線段就具有了從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的方向和長(zhǎng)度。這種具有方向和長(zhǎng)度的線段叫做有向線段。</p><p>　　3. 坐標(biāo)表示：我們僅以平面坐標(biāo)來(lái)說(shuō)明，多維坐標(biāo)以此類推。在平面直角坐標(biāo)系中，為任意向量，則以x0表示在x軸上的射影長(zhǎng)度，y0表示在

12、y軸上的射影長(zhǎng)度。分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，作為一組基底。則=x0*+y0*，并用坐標(biāo)（x0，y0）唯一的表示。</p><p><b>　　向量的分類：</b></p><p>　　1. 零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)重合，所以零向量沒(méi)有確定的方向，或說(shuō)零向量的方向是任意的。</p><p>　　

13、2. 負(fù)向量：如果向量與向量的模相等且方向相反，那么我們把向量叫做向量的負(fù)向量。</p><p>　　3. 單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位（即模為1）的向量，叫做單位向量。與向量同向或反向，且長(zhǎng)度為單位1的向量，叫做方向上的單位向量。</p><p>　　4. 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量與相等，記作=。</p><p>　　5. 法向量：直線l⊥

14、α，取直線l的方向向量，則向量叫做平面α的法向量。</p><p><b>　　向量的運(yùn)算：</b></p><p>　　1. 向量的加法：向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。如圖，在計(jì)算+時(shí)，將三角形ABD補(bǔ)成平行四邊形ABCD，顯然圖中所有的相等，所有的相等，故+=+ =。就是說(shuō)，如果要求兩向量的和，只要將它們補(bǔ)成平行四邊形，從公共點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線所成的有向線

15、段就是它們的和。</p><p>　　2. 向量的減法：如果、是互為相反的向量，那么=-，=-，+=。的反向量為。還是上圖，-=+=，即共同起點(diǎn)，指數(shù)相減。</p><p>　　3. 向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)λ和向量的乘積是一個(gè)向量，記作λ，且∣λ∣=∣λ∣·∣∣。</p><p>　　若λ>0，則λ與同向，若λ<0，則λ與反向，若λ=0，則λ=0，方

16、向任意。</p><p><b>　　數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律：</b></p><p>　　結(jié)合律：(λ)·=λ(·)=(·λ)。</p><p>　　第一分配律：(λ+μ) =λ+μ。</p><p>　　第二分配律：λ(+)=λ+λ。</p><p>　　數(shù)乘向量的消去律

17、：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λ=λ，那么=。② 如果a≠0且λ=μ，那么λ=μ。</p><p>　　4. 向量的數(shù)量積：數(shù)量積·=∣∣·∣∣·cos〈，〉，〈，〉為向量與的夾角。若、共線，則·=±∣∣·∣∣。</p><p><b>　　數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：</b></p><p><

18、b>　　交換律：·=·</b></p><p>　　結(jié)合律：(λ)·=λ(·)</p><p>　　分配律：(+)·=·+·</p><p>　　在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材中，在必修二學(xué)習(xí)空間幾何體，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，接著必修四學(xué)習(xí)了平面向量，這是向量初步進(jìn)入學(xué)生的知識(shí)體系。接著選

19、修2-2的空間向量與立體幾何，充分將之前學(xué)過(guò)的平面向量有機(jī)的結(jié)合在一起，用向量解決空間幾何問(wèn)題思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)潔，有意想不到的神奇效果，比起過(guò)去的常規(guī)法解決空間幾何問(wèn)題有了更深刻更新穎的認(rèn)識(shí)。這說(shuō)明了向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的重要性，想要幫學(xué)生們減輕負(fù)擔(dān)，我們就要重視運(yùn)用向量法。</p><p>　　仔細(xì)研讀《新課標(biāo)》對(duì)“考試內(nèi)容”的具體要求，不難發(fā)現(xiàn)，其重點(diǎn)內(nèi)容集中在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、向量、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)列、

20、不等式、直線與平面、直線與圓錐曲線等是支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容。而我在本文研究的重點(diǎn)則是放在向量上。下面，我就向量在平面幾何與立體幾何以及代數(shù)運(yùn)算中的靈活應(yīng)用做詳細(xì)的舉例闡述。</p><p><b>　　1、平面幾何</b></p><p>　　高中的平面幾何一般有其常用的一套解題放法，往往不會(huì)讓學(xué)生們聯(lián)想到向量。但試想，如果能將平面幾何中的線段轉(zhuǎn)化為向量，線

21、段夾角即轉(zhuǎn)化為向量的夾角，線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為求向量的模，于是平面幾何中的一些證明、計(jì)算就被向量的運(yùn)算取代，這方便了許多問(wèn)題的解決。當(dāng)然，用這種向量方法解決幾何問(wèn)題時(shí)可以減少輔助線，但選用何種基向量是很有講究的，選用的基底向量不同，解法也會(huì)有所不同。 </p><p>　　當(dāng)然還存在一種可能，如果能找到一個(gè)直角坐標(biāo)系，把平面圖形上的點(diǎn)都用坐標(biāo)表示，那么幾何問(wèn)題就可以直接轉(zhuǎn)變成了純代數(shù)的問(wèn)題。所以說(shuō)，向量法往往可以巧妙

22、的解決一些看似很麻煩的平面幾何問(wèn)題。</p><p>　　運(yùn)用向量法解決平面幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：即轉(zhuǎn)換與運(yùn)算。何謂轉(zhuǎn)換，即找一對(duì)單位基向量或者直角坐標(biāo)系，將所有線段用基向量或坐標(biāo)表示。運(yùn)算則顧名思義就是向量的運(yùn)算。不難看出，解決此類問(wèn)題的步驟一般分為三步：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中所涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如垂直、距離、夾

23、角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果再次轉(zhuǎn)換成成幾何元素。 </p><p>　　1.1、 利用向量解決基礎(chǔ)平面圖形問(wèn)題</p><p>　　例1.如圖所示，在△ABC中,AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，E是垂足，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，求證：AF⊥BE. </p><p>　　證：要證AF⊥BE，即證，由于AB=AC,D是BC中點(diǎn)，故AD⊥BC，，.又由DE⊥AC，F(xiàn)

24、是DE的中點(diǎn)，得，，所以</p><p>　　=0，故得AF⊥BE.</p><p>　　分析：例1是一道證明垂直的問(wèn)題，如果用幾何辦法求解，添輔助線是不可避免的，而且容易讓人無(wú)從下手，而向量法則可以通過(guò)AD⊥BD,DE⊥EC,將與巧妙的通過(guò)，，，這4組基向量表示，通過(guò)基向量的垂直，證明AF⊥BE。</p><p>　　例2. 已知正方形ABCD，P為對(duì)角線AC上任

25、意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，連接DP、EF，求證DP ⊥EF．</p><p>　　解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，則B（1，0），D（0，1），C（1，1），P（a，a），E（a，0），F(xiàn)（1，a），=（a，a-1），=（1-a，a），則*=a（1-a）+（a-1）a=0，所以DP ⊥EF．</p><p>　　分析：例2也是一道證垂直問(wèn)題，由于DP

26、與EF沒(méi)有公共點(diǎn)，所以要證垂直必須填輔助線，可以延長(zhǎng)DP，也可以過(guò)P作EF平行線，但無(wú)論如何用平面方法解題，都沒(méi)有向量法來(lái)的方便。建系、定坐標(biāo)、計(jì)算，一氣呵成，這就是向量法解題的兩點(diǎn)。</p><p>　　例3. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，設(shè)AC=m，BC=n．</p><p>　　若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證，CD=AB．</p><p>　　若E

27、為CD中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于F，求AF的長(zhǎng)度（用m，n表示）．</p><p>　　解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，B（n，0），A（0，m），則D（n，m），CD==，AB==．所以CD=AB．</p><p>　　（2）E（n，m），=（n，-m），設(shè)F（x，0），則=（x，-m），由于A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得，所以x=，F(xiàn)（，0），AF==．</p><p>

28、;　　分析：此題的坐標(biāo)系也是非常容易建立的，關(guān)鍵在于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的坐標(biāo)，求得這三點(diǎn)坐標(biāo)后，所有問(wèn)題迎刃而解。</p><p>　　1.2、 利用向量求解圓錐曲線問(wèn)題</p><p>　　用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線。高中數(shù)學(xué)中重點(diǎn)研究的圓錐曲線包括圓，橢圓，雙曲線，拋物線。由于圓錐曲線往往在直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)，所以對(duì)于各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的求解不可避免，而就這點(diǎn)而言，向量法大

29、顯身手的時(shí)刻到來(lái)了，無(wú)論是垂直問(wèn)題，平行問(wèn)題，求未知數(shù)問(wèn)題，軌跡問(wèn)題，共線問(wèn)題，最值問(wèn)題，都是在向量法的基礎(chǔ)上完成的。所以說(shuō)，向量法是解決大多數(shù)圓錐曲線問(wèn)題的基礎(chǔ)方法，給曲線的求解帶來(lái)了極大的方便。我們來(lái)看下面例子。</p><p>　　例4. 如圖: 已知橢圓，直線L: ， P是直線L上的點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP 上且滿足| OP | *| OQ |=| OR |2，當(dāng)點(diǎn)P 在L上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)

30、Q 的軌跡方程．</p><p>　　解：如圖，，，共線，可設(shè)Q（x，y），則R（λx，λy），P（μx，μy），由于| OP | *| OQ |=| OR |2,則μ=λ2，又由于R在橢圓上，P在L上，，，化簡(jiǎn)得，</p><p>　　，，所以，x，y不同時(shí)為0．</p><p>　　分析：解決圓錐曲線的軌跡問(wèn)題時(shí)，先把動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用（x，y）表示，將其他已知點(diǎn)用x，

31、y的表達(dá)式表示，然后通過(guò)已知條件，將幾何語(yǔ)句表示成x與y之間的關(guān)系，消去多余未知數(shù)，即可得x，y的方程即軌跡方程。如上題，要求Q的軌跡，所以先將Q設(shè)成（x，y），然后通過(guò)未知數(shù)λ，μ將R點(diǎn)與P點(diǎn)坐標(biāo)用未知數(shù)表示，最后通過(guò)已知條件消去λ，μ。</p><p>　　例5.設(shè)p>0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點(diǎn)A，B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）．試證明拋物線頂點(diǎn)在圓H的

32、圓周上，并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程．</p><p>　　解：由于直線斜率不能為0，故設(shè)直線為ky=x-2p，設(shè)A（xa，ya），B（xb，yb），將ky=x-2p與y2=2px連列，消去y，得xa，xb滿足x2（4+2k2）px+4p2=0，由韋達(dá)定理得，xa xb=4p2，xa+xb=（4+2k2）p，同理可得ya yb =4p2，ya+ yb =2pk．*= xa xb + ya yb =0，所以⊥

33、，所以O(shè)在圓周上．=（，）=（2p+k2p，pk），而由于三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，所以O(shè)H=OA=OB=R，OH==，當(dāng)k=0時(shí)，S=最小，S=p2，直線方程為x=2p．</p><p>　　分析：這是一道圓錐曲線中的最值問(wèn)題，其實(shí)解題思路還是和一般圓錐曲線問(wèn)題一樣，首先將未知條件用未知數(shù)表示，如上題直線中的未知數(shù)k，然后將已知條件轉(zhuǎn)換成未知數(shù)之間的關(guān)系，這是個(gè)難點(diǎn)，如上題中的xa xb，ya yb是問(wèn)

34、題的關(guān)鍵，將其用k表示出來(lái)，問(wèn)題迎刃而解，如果找不到這個(gè)點(diǎn)，那么會(huì)走很多歪路。如何找這個(gè)點(diǎn)，就要求我們清楚明白題目問(wèn)的是什么，如上題中題目要我們證O在圓上，這句話和向量的掛鉤就是⊥，理清楚這層關(guān)系，那么什么問(wèn)題都簡(jiǎn)單明了了。</p><p>　　例6.橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.</p><p>　　解：設(shè)P（x，y），F(xiàn)1（

35、，0），F(xiàn)2（，0）由于∠F1PF2為鈍角，則，即（-x，-y）（-x，-y）=0，故x2-5+y2=0，聯(lián)例得，.</p><p>　　分析：這是一道比較特殊的圓錐曲線問(wèn)題， 由∠F1PF2為鈍角得與它在方向上的射影所成角為鈍角，即射影為負(fù)，即，即。同理銳角射影為正。</p><p><b>　　2、 立體幾何</b></p><p>　　用

36、空間向量解決立體幾何問(wèn)題有兩個(gè)重要手段，即直線的方向向量和平面的法向量，他們實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題的向量解法的橋梁。用空間向量方法證明立體幾何中的平行與垂直問(wèn)題，角的問(wèn)題，距離問(wèn)題主要運(yùn)用了直線的方向向量和平面的法向量，同時(shí)也要借助空間中已有的一些定理。</p><p>　　2.1、 利用向量解決平行問(wèn)題</p><p>　　談到平行，無(wú)非兩直線平行，線面平行，與面面平行三種，證明平行的方法有很多，

37、向量法是其中一個(gè)，在某些情況下，向量法往往可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化。我們來(lái)看如下例題。</p><p>　　例7. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)，E、F分別是棱B1C1、C1D1的中點(diǎn)．</p><p>　?。?）求證：DB//EF</p><p>　　（2）求證：平面AMN∥平面BDFE</p><p

38、>　　證：（1）以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，</p><p>　　則A（1，0，0），M（1，，1），N（，0，1），E（，1，1），F(xiàn)（0，，1），=（-，-，0），=（1，1，0），=-2，故DB//EF．</p><p>　　（2）設(shè)平面AMN的法向量=（x，y，1），平面BDFE的法向量=（a，b，1），</p><p>

39、;　　=（-，-，0），=（0，，1），=（，，0），=（0，，1），</p><p>　　由與，垂直，得，所以。則=（2，-2，1），同理得=（2，-2，1）．所以//。故平面AMN∥平面BDFE．</p><p>　　分析：（1）空間兩直線平行問(wèn)題可通過(guò)坐標(biāo)求得直線上的向量，用向量成比例來(lái)證兩直線平行。（2）兩平面的平行可以轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。所以求得法向量的坐標(biāo)，即可得證這類題

40、型。當(dāng)然上題也可以通過(guò)一平面的兩條相交直線分別平行另一平面來(lái)證得，但顯然沒(méi)有向量法方便。</p><p>　　例8. 如圖所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直, M ,N分別是對(duì)角線 AC和BF上的動(dòng)點(diǎn),且 AM=FN，求證：MN∥平面BEC．</p><p>　　證：如第二個(gè)圖，以A為原點(diǎn)，AB為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，F(xiàn)（1，0，0），B（0，1，0）

41、，D（0，0，1），C（0，1，1），E（1，1，0），設(shè)AM=FN=a，則M（0，a，a），N（1-a，a，0），=（1-a，0，-a），平面BEC的法向量=（0，1，0），則*=0, 所以⊥，所以MN∥平面BEC．</p><p>　　分析：直線與平面的平行可以轉(zhuǎn)化為直線與該平面的法向量垂直。</p><p>　　2.2、 利用向量解決垂直問(wèn)題</p><p>

42、　　說(shuō)到垂直，中學(xué)設(shè)計(jì)到的只有異面直線垂直，線面垂直以及面面垂直。而向量法可以貫穿其中，用向量法往往比用定義證明更簡(jiǎn)單，有事半功倍的效果，但是如何運(yùn)用，還是很關(guān)鍵的。下面具體問(wèn)題具體分析。</p><p>　　例9. 在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，G是△PAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．</p><p>　　(1)求證：EG⊥BC，P

43、G⊥EG</p><p>　　(2)求證：平面EFG⊥平面PBC</p><p>　　證：（1）如圖，以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA、PB、PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．令PA＝PB＝PC＝3，則A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．=（1，-1，-1），=（1，1，0），=（

44、0，-3，3），*=0, *=0,所以EG⊥BC，PG⊥EG．</p><p>　?。?）=（0，-1，-1），=（1，-1，-1），設(shè)平面EFG的法向量是＝(x，y，1)，則⊥，⊥，故，得，得=（0，-1，1），而顯然平面PBC的法向量==（3，0，0），*=0，故⊥，所以平面EFG⊥平面PBC．</p><p>　　分析：證明面面垂直通常有兩種方法，一是利用面面垂直的判定定理,轉(zhuǎn)化為線

45、面垂直、線線垂直去證明；二是證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直。上題用的是證明法向量垂直，當(dāng)然利用第一種方法也可以證明，顯然沒(méi)有第二種簡(jiǎn)單。</p><p>　　例10. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，試在棱BB1上找一點(diǎn)M，使得D1M⊥平面EFB1．</p><p>　　解：以D為原點(diǎn)，以DA為單位長(zhǎng)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，E(2，1,0)

46、，F(xiàn)(1,2,0)，D1 (0,0,2)，B1 (2,2,2)．設(shè)M(2,2,a)，則＝(－1,1,0)，＝(0,-1,-2)，</p><p>　?。?2,2，a－2)．因?yàn)镈1M⊥平面EFB1，所以D1M⊥EF，D1M⊥B1E。所以，a=1，故當(dāng)M為BB1中點(diǎn)時(shí)，可使D1M⊥平面EFB1．</p><p>　　分析：用向量法證明線面垂直的關(guān)鍵在于在平面上取相交的兩直線，并用向量表示出來(lái)

47、。即轉(zhuǎn)化成2次線線垂直問(wèn)題了。</p><p>　　2.3、 利用向量來(lái)求空間角問(wèn)題</p><p>　　空間角一般分異面直線所成角，線面角與二面角三種。解決這三種角，都可以運(yùn)用解析幾何方法解決。但是求異面直線所成角，必須先把兩條直線移到同一個(gè)平面；求線面角，必須作射影找到那個(gè)角；求二面角，則必須找到過(guò)公共邊上一點(diǎn)分別與公共邊垂直的兩條直線所成角。這些角，有時(shí)候是現(xiàn)成的，但有時(shí)候則非常難找

48、，這時(shí)候，往往運(yùn)用向量法會(huì)比較方便。三種角都會(huì)在如下例題中出現(xiàn)，向量法的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，將所有點(diǎn)都用坐標(biāo)表示出來(lái)，剩下的就只有計(jì)算。但是空間直角坐標(biāo)系的建立是個(gè)難點(diǎn)，如例11，非常容易找到三個(gè)彼此正交的直線；而例12，則沒(méi)有明顯的三個(gè)彼此正交的直線，需要填輔助線建立。</p><p>　　例11 已知點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，∠PDA=60°．</p>

49、<p>　?。?）求DP與CC1所成角的大小；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小．</p><p>　　解：（1）如第2個(gè)圖，以D為原點(diǎn)，以DA為單位長(zhǎng)，建立空間</p><p>　　直角坐標(biāo)系D-xyz，則A（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1）</p><p>　　鏈接BD，B1D1，延長(zhǎng)DP交B1D1于H，下面求H點(diǎn)坐標(biāo)，&

50、lt;/p><p>　　不妨設(shè)H（a，a，1），由于∠PDA=60°，則cos∠PDA=</p><p><b>　　，則=，得a=．</b></p><p>　　故H（，，1），=（，，1），=(0,0,1)</p><p>　　cos<，>==，故DP與CC1所成角的大小為60°．<

51、/p><p>　?。?）平面AA1D1D的發(fā)向量=（0，1，0），故cos<,>=，故<,>=60°，則DP與平面AA1D1D所成角的大小為30°．</p><p>　　分析：求異面直線所成角，只要將直線上的任意向量以及向量的模求得，根據(jù)公式直接可以求得角的余弦值；而線面角則是需要先求得線上向量與面的法向量的夾角，然后通過(guò)90°去減，即可得

52、到線面角。</p><p>　　例12 如圖，在三棱錐S—ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=90°，O為BC中點(diǎn)．</p><p>　?。?）證明：SO⊥平面ABC</p><p>　　（2）求二面角A—SC—B的余弦值．</p><p>　　解：（1）問(wèn)與向量無(wú)關(guān)，略．</p><p&g

53、t;　?。?）由（1）得SO⊥平面ABC，取SC中點(diǎn)M，連結(jié)AM，OM，由于SB=SB=AB=AC=SC，故三角形SBC為等腰三角形，由于∠BAC=90°，故三角形ABC為等腰直角三角形，故AO=BO=CO=AC=SC，又因?yàn)椤蟂OC=90°，故SO=OC，故三角形SOC為等腰三角形，又因?yàn)镸是SC中點(diǎn)，得OM⊥SC，AM⊥SC顯然成立．所以∠OMA為二面角A—SC—B的平面角．下求cos∠OMA，AO⊥SO，AO⊥

54、BC，故AO⊥平面SBC，則AO⊥OM，設(shè)AO=1，則OM=，AM=，則cos∠OMA==．</p><p>　　這里的M點(diǎn)的尋找是個(gè)難點(diǎn)，即∠OMA這個(gè)二面角的平面角是很不容易找的，不是每一個(gè)學(xué)生都找得到。但如果用向量法，就可以將這道題簡(jiǎn)化。</p><p>　　解：以O(shè)為原點(diǎn)，OB為單位長(zhǎng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則B（1，0，0），C（-1，0，0），A（0，1，0），S（

55、0，0，1），由于AO⊥平面SBC，故平面SBC的法向量=（0，1，0），設(shè)平面SBC的法向量=（x，y，1），=（1，0，1），=（1，1，0），由與，分別垂直，得，所以。故=（-1，1，1），cos<，>==，故二面角A—SC—B的余弦值為．</p><p>　　分析：用向量法求二面角，只需求得每個(gè)平面的法向量，兩個(gè)法向量的夾角即是要求的二面角。而至于法向量的求得，可以先設(shè)法向量為（x，y，1），

56、通過(guò)平面上的2個(gè)不共線的向量分別與法向量垂直，得到兩個(gè)方程式，從而求解x，y。</p><p><b>　　2.4、 空間距離</b></p><p>　　向量除了能解決空間平行，空間垂直，空間角問(wèn)題，在解決空間距離問(wèn)題上也是把好手，包括兩點(diǎn)距離，點(diǎn)到直線距離，點(diǎn)到平面距離，異面直線距離等等。下面將通過(guò)例子一一說(shuō)明如何求解。</p><p>　

57、　2.4.1、 兩點(diǎn)距離</p><p>　　例13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是AD1的中點(diǎn)，N是BD上一點(diǎn)，DN=DB，求M，N兩點(diǎn)間的距離.</p><p>　　解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，A（1，0，0），D1（0，0，1），則M（，0，），B（1，1，0），則N（，，0），故MN==.</p><p>　　分析：例13是

58、一道求兩點(diǎn)直接距離的問(wèn)題，通用的辦法則是求得兩點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，用距離公式直接求解。</p><p>　　2.4.2、 點(diǎn)到直線距離</p><p>　　例14.同上題，求M到BD的距離.</p><p>　　解：已求得M（，0，），設(shè)MN⊥BD，N為垂足，下面確定N的位置，設(shè)N（x，x，0），，=（1，1，0），由，得x=，故N（，，0），故MN==.</p&

59、gt;<p>　　分析：欲求M到直線BD的距離，可以先在BD上取一點(diǎn)N，令，根據(jù)或者M(jìn)N取最小值求得，以確定N的位置，再用兩點(diǎn)距離公式求解。</p><p>　　2.4.3、 點(diǎn)到平面距離</p><p>　　例15.如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中,AB = 4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且CP=2，求：M到平面AB1P的距離.

60、</p><p>　　解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系B－xyz，則A（4,0,0），M（2，3，4），P（0，4，0），B1（ 0，0，4），設(shè)是平面AB1P的某一法向量.則⊥，⊥.＝（－4 ,0 ,4），＝（－4，4，0），，因此可取=（1，1，1），由于＝（2，－3，－4），那么點(diǎn) M 到平面 AB1P 的距離為：d==＝，故 M 到平面 AB1P的距離為.</p><p>　　分析

61、：欲求點(diǎn)到平面的距離，可先求得平面的法向量，再在平面外取點(diǎn)A，平面內(nèi)任取一點(diǎn)B，則A到平面的距離d=。</p><p>　　2.4.4、 異面直線距離</p><p>　　例16.如圖在△ABC中，∠B=90°，D，E分別在AB，AC上，使，AB=6，BC=4.5，現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角，求異面直線AD和BE的距離.</p><p>　　解：如圖1

62、，由于，故DE//BC，，所以DE=3，AD=4，DB=2.又因?yàn)椤螧=90°，故AD⊥DE，DB⊥DE折疊后如圖2，DA，DE，DB兩兩垂直，故可以D為原點(diǎn)，以方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，A(0，0，4)，B（2，0，0），E（0，3，0），=（0，0，4），=（-2，3，0），設(shè)AD與BE的公垂線方向向量為=（x，y，z），則，得，令x=1，得=（1，，0），故d==.</p>

63、;<p>　　分析：要求兩異面直線a，b的距離，先求得，為兩直線的方向向量，為公垂線的方向向量，聯(lián)例即可得，再在直線a，b上各取一點(diǎn)A、B，那么a，b的距離就可通過(guò)d=求得。</p><p><b>　　3、代數(shù)</b></p><p>　　向量和代數(shù)是2個(gè)看似不相干，卻有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系的朋友，向量問(wèn)題代數(shù)化，代數(shù)問(wèn)題向量化，是高中架起代數(shù)與向量的橋梁

64、，而最通常的手段則是以下2個(gè)向量三角不等式。</p><p>　?。?）. （當(dāng)，平行時(shí)取等號(hào)）</p><p>　?。?）. （若中間式子為，則，同向時(shí)，右邊不等式取等號(hào)，，反向時(shí)，左邊不等式取等號(hào)；若中間式子為，則，同向時(shí)，左邊不等式取等號(hào)，，反向時(shí)，右邊不等式取等號(hào)）</p><p>　　3.1、 不等式問(wèn)題</p><p>　　證明不

65、等式往往是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，而且有些難題的關(guān)鍵點(diǎn)是一般學(xué)生所想不到的。如果某些式子中具有向量代數(shù)某些特征時(shí)，例如乘方之和或根號(hào)下平方和，這時(shí)候采用構(gòu)造向量去解往往能化難為易，讓人眼前一亮。 </p><p>　　例17. 已知a、b、c∈R，且，求證．</p><p>　　證：構(gòu)造向量=，=，有，得，所以，所以．</p><p><b>　　例18.求證：

66、.</b></p><p>　　證明：設(shè)=（1，a），=（1，b），則=（0，a-b），=，，，由得證.</p><p>　　分析：例17例18分別用了上述的向量三角不等式，通過(guò)構(gòu)造向量，用向量三角不等式解決不等式問(wèn)題。</p><p>　　例19.，其中，求證.</p><p>　　證：設(shè)=（x，y，z），=（a，b，c），設(shè)他

67、們的夾角為，==，由已知條件得，=1，=0或，則//，故.</p><p>　　分析：由x2+y2+z2和a2+b2+c2可以聯(lián)想到向量的模，由ax+by+cz可以聯(lián)想到向量的數(shù)量積，故可構(gòu)造向量求解。</p><p>　　3.2、 求最值問(wèn)題</p><p>　　由于最值也涉及到不等號(hào)，所以最值問(wèn)題往往與不等式問(wèn)題有異曲同工之處，其關(guān)鍵也在于構(gòu)建向量。</p

68、><p>　　例20. 求函數(shù)的最小值．</p><p>　　解：構(gòu)造向量=(x,2)，=（3-x，3），則y===．所以當(dāng)，即x=時(shí)，．</p><p>　　例21. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2=6x-4y-9，求2x-3y的最大值和最小值的和.</p><p>　　解：x2+y2=6x-4y-9可化簡(jiǎn)得到（x-3）2+（y-2）2=4，

69、設(shè)=（x-3，y+2），=（2，-3），由得，則，，故當(dāng)//時(shí)等號(hào)成立，（2x-3y）max+（2x-3y）min=12-2+12+2=24.</p><p>　　3.3、三角函數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　三角函數(shù)問(wèn)題同樣可以通過(guò)構(gòu)造向量來(lái)解決，利用可簡(jiǎn)化三角函數(shù)問(wèn)題，解法簡(jiǎn)潔流暢，體現(xiàn)于“向量問(wèn)題函數(shù)化，函數(shù)問(wèn)題向量化”的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。 </p><p>　　

70、例22. 求函數(shù)的最值.</p><p>　　解：原式可化為，令z=,構(gòu)造向量=，=(1，1) ，則z=││=│·│≤││││=，所以.</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　新課標(biāo)改革后，向量被引入高中數(shù)學(xué)，這極大的豐富和發(fā)展了高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，也極大的拓展了高中學(xué)生的思維空間，尤其是將向量法作為工具對(duì)

71、于解決幾何問(wèn)題有其獨(dú)到之處，將傳統(tǒng)幾何中的定性推理與代數(shù)運(yùn)算的定量分析作轉(zhuǎn)換，避免了傳統(tǒng)幾何方法中復(fù)雜的推理及論證，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想、形象思維與抽象思維的轉(zhuǎn)化。當(dāng)然在代數(shù)中，向量也有其不可小覷的魅力，將許多讓人無(wú)從下手的代數(shù)問(wèn)題通過(guò)向量重新轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題，讓人有一種柳暗花明又一村的感覺(jué)。</p><p>　　當(dāng)然向量法不是萬(wàn)能的。雖然說(shuō)許多題目通過(guò)向量思維轉(zhuǎn)換，可以化難為易，但是向量法本身存在的難點(diǎn)也

72、是不容忽視的。首先，如何構(gòu)建向量就是一個(gè)技巧，如果找不到合適的向量構(gòu)建，一味的選擇向量法，只會(huì)浪費(fèi)時(shí)間；其次向量的運(yùn)算也不是一個(gè)輕松的活，容易出錯(cuò)。所以我們不能僅看見(jiàn)向量?jī)?yōu)勢(shì)的一面，還要對(duì)向量有一種深層次的反思，不能對(duì)向量的認(rèn)識(shí)僅僅停留在數(shù)學(xué)解題上，應(yīng)該從更大的范圍和角度認(rèn)識(shí)向量，要全面的把握好向量與其他數(shù)學(xué)工具的關(guān)系。通過(guò)積極的探索，合理的構(gòu)造，當(dāng)擁有豐富的經(jīng)驗(yàn)后，自然就能對(duì)向量法運(yùn)用自如。</p><p>　

73、　沒(méi)有向量法是萬(wàn)萬(wàn)不能的。當(dāng)其他考生在考場(chǎng)死算算的頭破血流時(shí)，你卻早已通過(guò)向量法將一切都看破，將一顆牛肉粒放入嘴中，深藏功與名。何等的俯視群雄的姿態(tài)，可謂得向量者得天下。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]呂林根，許子道．解析幾何[M]．第四版．北京：高等教育出版社，2006：1-2</p><p>　　[

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76、 [M]．Springer，1998：103-105</p><p>　　[9]梁毅麟．平面法向量在解立體幾何題中的應(yīng)用探究[J]．科技傳播，2010， (2)：73-77 ．</p><p>　　[10]李平蘭．淺談平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用[J]．學(xué)術(shù)討論，2008，(8)：270-271</p><p>　　[11]Paul R.Halmos．Finite Dim

77、ensional Vector Spaces[M]．Princeton University Press，1947：23-24</p><p>　　[12]吐?tīng)枌O江．向量在初等代數(shù)中的應(yīng)用[J]．喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，26：60-61</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　本畢業(yè)論文是在我的指導(dǎo)老師**老師的親切