畢業(yè)論文——淺析遞推關系在高中數(shù)學的應用

1、<p><b>　　編號：</b></p><p>　　本科學生畢業(yè)設計（論文）</p><p>　　題 目： 淺析遞推關系在高中數(shù)學的應用 </p><p>　　系部名稱： 數(shù) 學 系 </p><p>　　

2、專業(yè)名稱： 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　世界上的一切事物都在我們不經(jīng)意之間悄悄的發(fā)生著變化，在紛繁的變幻中，許多現(xiàn)象是有規(guī)律可循的。這種規(guī)律往往呈現(xiàn)出前因和后果的關系，我們可以用遞推的思想去研究這些變化。本文先由斐波拉契的兔子問題著手簡單的介紹了解決兔子問題

3、的斐波拉契數(shù)列，接著著重介紹遞推關系在求解數(shù)列的通項公式中的建立過程和求解方法，最后舉例說明遞推關系在高中數(shù)學概率、排列組合、數(shù)學歸納法及我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ妴栴}等幾方面的應用。依據(jù)題意建立遞推關系式，分析所建立的遞推關系式的解法，學習遞推關系的靈活多樣的特點。如在求解數(shù)列的通項公式時通常采用的逐差疊加法、通項代替法、遞推解法等。同時讓它融入到我們的實際生活，解決我們經(jīng)常遇到的一些實際實例。隨著人們對遞推關系的深入和研究，形成了相當多的類

4、型。我們對這些類型的深入研究，讓遞推關系的應用更方便，使得其應用領域更為廣泛。</p><p>　　關鍵字：遞推關系；高中數(shù)學；數(shù)列；通項公式 </p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Everything in the word we inadvertently quietly changing, in nu

5、merous changes, many phenomena are regular. This rule often showing the antecedents and consequences of the relationship, we can use the recursive thinking to study these changes. The paper first Fibonacci rabbit problem

6、s introduced a simple solution to the rabbit problem Fibonacci sequence, then emphatically introduces the recursive relation in solving sequence passes a formula in the building process and the solving method, final i<

7、;/p><p>　　Keywords: Recursive relations; high school mathematics; sequence; the formula of general term </p><p><b>　　第一章 引言1</b></p><p>　　第二章 遞推關系的起源與發(fā)展2</p><p

8、>　　2.1 斐波拉契數(shù)列的萌芽2</p><p>　　2.2 斐波拉契數(shù)列的簡介2</p><p>　　2.2.1 斐波拉契數(shù)列定義及遞推公式3</p><p>　　2.2.2 斐波拉契數(shù)列的通項公式3</p><p>　　2.2.3 斐波拉契數(shù)列的幾個特性3</p><p>　　2.3 大自然中的斐

9、波拉契數(shù)列4</p><p>　　第三章 遞推關系求數(shù)列的通項5</p><p>　　3.1 一階遞推數(shù)列5</p><p>　　3.1.1 一階線性遞推數(shù)列5</p><p>　　3.1.2 一階非線性遞推數(shù)列6</p><p>　　3.2 二階遞推數(shù)列8</p><p>　　3.

10、2.1 二階齊次線性遞推數(shù)列8</p><p>　　3.2.2 二階齊次非線性遞推數(shù)列9</p><p>　　3.3 分式遞推數(shù)列10</p><p>　　第四章 遞推關系在其他方面的應用11</p><p>　　4.1 遞推關系在概率中的應用11</p><p>　　4.2 利用遞推關系求解排列組合問題1

11、2</p><p>　　4.3 在數(shù)學歸納法中尋找遞推關系13</p><p>　　4.4生活中的遞推關系14</p><p><b>　　結束語15</b></p><p><b>　　參考文獻16</b></p><p><b>　　致謝17</

12、b></p><p><b>　　第一章 引言</b></p><p>　　遞推思想作為數(shù)學里的一種重要思想，體現(xiàn)了世界上眾多事物所蘊含的現(xiàn)象、變化及其遵循的一種前因后果的關系.在眾多的數(shù)學分支如：數(shù)列、排列組合、概率等中起著至關重要的作用，存在著非常廣泛的應用.</p><p>　　在高中數(shù)學里遞推關系往往是與自然數(shù)相關聯(lián)的，在處理與之

13、相關的問題時可建立與之相對應的數(shù)列關系.遇到直接求解比較困難的問題時，可以先由題意建立適當?shù)倪f推關系，然后再解決題目所要求的一系列問題.例如求數(shù)列的通項公式，我們往往需要先根據(jù)題意建立符合題意的遞推關系，根據(jù)已知條件選擇遞推公式，最終得到所要求的數(shù)列的通項公式，這是近幾年高考的熱點.在高中數(shù)學中遞推關系主要應用在求解數(shù)列的通項公式、事件發(fā)生的概率、排列組合問題和數(shù)學歸納法等幾個重要方面.</p><p>　　數(shù)列

14、是高考的一個重點也是一個難點.我們常見的給出數(shù)列的方式并不唯一：通過遞推關系及初始值給出這是一種最簡單的類型，另外一種類型則需要我們自行建立遞推關系來解決.根據(jù)遞推關系在數(shù)列問題中的結構類型，遞推數(shù)列可分為線性遞推關系和非線性遞推關系；按照相等和不等關系，遞推數(shù)列可分為等量遞推、不等量遞推等.在具體運用遞推關系時，可按照下標由小到大遞推，也可按照下標由大到小遞推.從遞推方式上看可分為正向遞推與反向遞推.利用遞推關系與遞推思想解決問題的方

15、法稱為遞推方法.而要解決遞推數(shù)列則是求遞推數(shù)列的通項公式這一核心問題.</p><p>　　隨著素質(zhì)教育全面貫徹實施，理論與實際生活緊密聯(lián)系是社會所關注的問題也是國家希望學校培養(yǎng)的學生所能達到的目標和要求.遞推關系在其中占據(jù)著非常重要的理論依據(jù).</p><p>　　學好高中數(shù)學我們必須要了解遞推關系在其各方面的涉獵，理解并牢固掌握遞推關系在其各方面的應用.這也為我們以后能夠向更高層次發(fā)展

16、打下堅實的基礎，更是為我們今后能夠在學術問題進行探討研究的起點.</p><p>　　本文圍繞遞推關系在數(shù)列求解通項公式里的重要應用及其在概率、排列組合、數(shù)學歸納法、生活中的一些實例中的分析來體現(xiàn)遞推關系在高中數(shù)學的應用.</p><p>　　第二章 遞推關系的起源與發(fā)展</p><p>　　2.1 斐波拉契數(shù)列的萌芽</p><p>　　公

17、元5—11世紀[1]，在歐洲天主教會成為社會的絕對勢力．封建宗教統(tǒng)治的天主教會大力宣揚天啟真理，長期的思想統(tǒng)治導致了民眾理性的壓抑，整個歐洲文明在這一時期始終處于凝滯狀態(tài)．</p><p>　　公元12世紀，這種長期的凝滯狀態(tài)受到了翻譯的強烈刺激，開始出現(xiàn)逐漸復蘇的跡象．</p><p>　　歐洲數(shù)學復蘇之后，第一位有影響的數(shù)學家誕生了,那就是學術界眾所周知的斐波拉契（L.Fibonacc

18、i,1170—1250）．早年的斐波拉契跟隨父親向北非的阿拉伯人學習算學，后來他游歷了地中海沿岸的眾多國家，回到意大利后把這一切寫成了《算經(jīng)》（Liber Abaci,1202）．1228年的《算經(jīng)》修訂版載有著名的“兔子問題”．</p><p>　　“兔子問題”的提出斐波拉契本人并未對這個數(shù)列問題做進一步的探討．到了19世紀初有人發(fā)現(xiàn)了這其中蘊含的一些特殊意義并加以了研究．1960年，世界各國的數(shù)學家開始對斐波

19、拉契數(shù)列及其有關現(xiàn)象進行關注并產(chǎn)生了濃厚的興趣，針對這個問題他們不僅成立了著名的“斐氏學會”，而且還創(chuàng)辦了相關刊物，其后各種相關文章也像“斐氏”的兔子一樣迅速的增加．</p><p>　　2.2 斐波拉契數(shù)列的簡介</p><p>　　某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子每月生一對小兔子，而小兔子出生后兩個月就能生育．問從這對兔子開始一年內(nèi)能繁殖多少對兔子[2]（倘若每對兔子都能一直正常的繁

20、殖）?</p><p>　　將兔子對數(shù)作為研究對象，最初為1．此問題就是著名的斐波拉契數(shù)列：</p><p>　　1，1，2，3，5，8，13，21，…</p><p>　　這個數(shù)列其實有很明顯的規(guī)律：開頭兩個數(shù)為1以后的每個數(shù)字都是由它前面兩個數(shù)相加而得．但在經(jīng)歷了歐洲的漫長黑暗時期，斐波拉契數(shù)列可以看作是歐洲數(shù)學走向復蘇的號角．</p><p

21、>　　2.2.1 斐波拉契數(shù)列定義及遞推公式</p><p>　　一個數(shù)列，前兩項等于1，從第三項起以后的每一項都是前兩項之和，則稱這樣的數(shù)列為斐波拉契數(shù)列．</p><p><b>　　其遞推公式為：</b></p><p>　　2.2.2 斐波拉契數(shù)列的通項公式</p><p>　　我們在知道了斐波拉契數(shù)列為：

22、1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…這樣的形式．且這是一個線性遞推數(shù)列．設它的特征方程為：</p><p><b>　　解得：．</b></p><p><b>　　則，又，故</b></p><p><b>　　解得：．</b></p><p>　

23、　所以，這個數(shù)列的通項公式有：</p><p>　　這樣一個看似簡單的斐波拉契數(shù)列其通項公式卻是通過無理數(shù)來表示的一個非常完美的式子．</p><p>　　斐波拉契數(shù)列的幾個特性</p><p>　　觀察這個斐波拉契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：</p><p>　　數(shù)列的第3項、第6

24、項、第9項、第12項的數(shù)字，能夠被2整除；</p><p>　　數(shù)列的第4項、第8項、第12項的數(shù)字，能夠被3整除；</p><p>　　數(shù)列的第5項、第10項的數(shù)字，能夠被5整除；</p><p><b>　　其余的以此類推．</b></p><p>　　連續(xù)的10個斐波拉契數(shù)之和，必定等于第7個數(shù)的11倍；</

25、p><p><b>　?。袋S金分割點）．</b></p><p>　　2.3 大自然中的斐波拉契數(shù)列</p><p>　　1、賈憲三角形中處于對角線上的各數(shù)之和構成的數(shù)列是斐波拉契數(shù)列．</p><p>　　2、大自然里很多美麗的花朵其花瓣數(shù)目符合斐波拉契數(shù)列規(guī)律，換句話說就是在大多數(shù)情況下，一朵花的花瓣數(shù)目都是3,5,8

26、,13,21,34，…</p><p>　　3、假若樹枝是每年都長出一根新枝，而這根長出來的新枝兩年以后每年也能夠長出一根新枝，則歷年的樹枝數(shù)目，構成斐波拉契數(shù)列．</p><p>　　第三章 遞推關系求數(shù)列的通項</p><p>　　在研究一個數(shù)列時，如果想要比較方便的獲取該數(shù)列的某一項的值到底是多往往需要去探索該數(shù)列的通項．然而有時候一個數(shù)列的通項并不是那么容易

27、的可以直接的得到，要是能夠比較直接的得到相鄰幾項的一個關系式，那我們也可以通過這個關系式進行遞推進而得到所需項的值．這種相鄰項之間的關系就是我們常常所說的數(shù)列的遞推關系．因此要進行數(shù)列的研究，遞推的研究又是一個重要的方面．下面是我的一些求解數(shù)列遞推關系的一些探索與認識[3]．</p><p>　　3.1 一階遞推數(shù)列</p><p>　　引理 對于任意，由遞推關系確定的數(shù)列稱為遞推數(shù)列，

28、為階數(shù)[4]．</p><p>　　若是呈線性關系的，則稱該數(shù)列為線性數(shù)列；反之為非線性數(shù)列．</p><p>　　本節(jié)內(nèi)容通過重點分析一階線性遞推數(shù)列和一階非線性遞推數(shù)列，得到求這類型數(shù)列的通項公式的方法，并總結它們解法的區(qū)別與聯(lián)系．</p><p>　　3.1.1 一階線性遞推數(shù)列</p><p>　　求形如 數(shù)列的通項．</p&

29、gt;<p>　　例 已知數(shù)列 滿足的通項公式[5]．</p><p><b>　　解：由已知 ，故</b></p><p>　　該類型的數(shù)列的前有限項和可求，我們通常是采用將其前有限項進行疊加的方法求解其通項公式．</p><p>　　求形如 數(shù)列的通項．</p><p>　　例 設數(shù)列，其中且，求數(shù)列

30、的通項公式[6]．</p><p><b>　　解：因為 ， </b></p><p>　　當時，數(shù)列的首項為，且后一項與前一項的比為，即公比為的等比數(shù)列．</p><p><b>　　所以，，即．</b></p><p><b>　　當時，仍滿足上式．</b></p&g

31、t;<p>　　故，數(shù)列的通項公式為．</p><p>　　在求解這類數(shù)列的通項公式時，我們通過觀察可知數(shù)列的極限存在且為，則，得，由，得數(shù)列為等比數(shù)列，在處理實際的問題時我們還需具體問題具體分析．</p><p>　　3.1.2 一階非線性遞推數(shù)列</p><p>　　求形如 數(shù)列的通項．</p><p>　　例 設是首項為

32、1的正項數(shù)列，且，求的通項公式[7]．</p><p>　　解：由題意，對其進行因式分解易得，</p><p>　　因為數(shù)列的首項為1，且每一項均為正數(shù)，則有：</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　即．</b></p><p><b&g

33、t;　　故，．</b></p><p>　　通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的前項的積容易化簡，我們一般利用疊乘法求其通項公式．</p><p>　　求形如“，其中=常數(shù)”數(shù)列的通項．</p><p>　　例 已知，且，求的通項公式[8]．</p><p><b>　　解：由，得 ，</b></p>&l

34、t;p>　　設，則，，于是數(shù)列 是首項為，公比為2 的等比數(shù)列．那么</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　求解此類型數(shù)列通項公式問題時，常用的方法是將作差轉化為的形式進行求解．</p><p>　　求形如 ， 數(shù)列的通項．<

35、/p><p>　　例 已知，求數(shù)列的通項公式．</p><p>　　解：根據(jù)已知條件數(shù)列的每一項均為正數(shù)即，，對上式兩邊分別取其對數(shù)則有，，令，則，故</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　該類型的數(shù)列問題在求解其通項公式時，我們一般利用取其兩邊對數(shù)的方法．</p><p>　　

36、3.2 二階遞推數(shù)列</p><p>　　若題目給出了一個數(shù)列的前兩項，且已知用第項和第項來表示第項的關系式，如，形如這種類型的數(shù)列我們稱之為二階遞推數(shù)列．求該數(shù)列的通項公式的方法一般采用構造法．</p><p>　　本節(jié)主要介紹兩種常見的二階遞推數(shù)列，二階齊次線性遞推數(shù)列和二階齊次非線性遞推數(shù)列的求解過程和方法[9]．</p><p>　　3.2.1 二階齊次線性

37、遞推數(shù)列</p><p>　　求解形如“”（其中均為常數(shù)，，）數(shù)列的通項公式．</p><p>　　例 數(shù)列滿足，，，求數(shù)列的通項公式[10]．</p><p><b>　　解：設，則，于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　

38、　解得，</b></p><p>　　故，，當，那么數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，</p><p><b>　　于是，</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　．</b></p><p><b&g

39、t;　　．</b></p><p>　　對于二階齊次線性遞推數(shù)列問題，我們通常想到的解決方法是，類比求解一階線性遞推數(shù)列的解法來求解二階齊次線性遞推數(shù)列的通項公式．</p><p>　　3.2.2 二階齊次非線性遞推數(shù)列</p><p>　　求形如“”（其中為常數(shù)，，）數(shù)列的通項．</p><p>　　例 已知，求數(shù)列的通項[11

40、]．</p><p>　　解：已知方程的特征方程為特征根為：</p><p><b>　　解得，</b></p><p><b>　　于是，</b></p><p><b>　　…</b></p><p><b>　　解得，</b>

41、</p><p>　　二階齊次遞推數(shù)列的是高中數(shù)學中的一個難點，我們可以從累加法和解方程組法兩個角度進行考慮．</p><p>　　3.3 分式遞推數(shù)列</p><p>　　設數(shù)列的首項為，且，其中為常數(shù)，且，．我們稱這個遞推公式為分式遞推數(shù)列[12]．對于分式遞推數(shù)列我們也可以寫成：</p><p><b>　　．</b&g

42、t;</p><p><b>　　例 ，，求．</b></p><p>　　解：對已知的等式左右兩邊同時加則有：</p><p>　　而假設解得代入方程則有，相除可得的首項為，公比為的這樣一個等比數(shù)列．故</p><p>　　在求解分式線性遞推數(shù)列的通項公式時，我們一般根據(jù)給出的形式進行一些特殊的處理，將分式遞推數(shù)列的問

43、題進一步簡單化進而求解其通項公式．</p><p>　　高中數(shù)學里求數(shù)列的通項公式是我們經(jīng)常遇到的運用遞推關系的實例，但同樣是在數(shù)列中求解數(shù)列的前項的和是我們遇到的另一個方面[13]．</p><p>　　第四章 遞推關系在其他方面的應用</p><p>　　4.1 遞推關系在概率中的應用</p><p>　　概率作為數(shù)學概率論的一個基本概念

44、是高中數(shù)學非常重要的知識，縱觀近幾年高考數(shù)學中的概率問題考查內(nèi)容都是將理論與實際結合的一些實際問題，具有非常強的實踐性和可操作性．本節(jié)著重介紹用遞推關系及遞推思想求解概率問題的方法，體現(xiàn)了數(shù)學這一重要工具在日常生活中的重要應用．</p><p>　　例 某個電器開關閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動．已知開關第一次閉合出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)綠燈的概率都是，從開關第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率為，出現(xiàn)綠燈的

45、概率為；若前次出現(xiàn)綠燈，則下次出現(xiàn)紅燈的概率是，出現(xiàn)綠燈的概率為；記開關第次閉合出現(xiàn)紅燈的概率為求證：[14]</p><p>　　解：由題意可得：開關第次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率，必須考慮第次閉合后出現(xiàn)紅、綠燈的情況．</p><p><b>　　令</b></p><p>　　整理上述結果不難得出：那么易知為等比數(shù)列，</p>&

46、lt;p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　當時，</b></p><p>　　在本題中與的關系為（為常數(shù)，）是一個一階遞推關系式，我們通過構造等比數(shù)列對其進行求解．</p><p>　　4.2 利用遞推關系求解排列組合問題</p><p>　　排列組合作為高考必考內(nèi)容，

47、往往與其他知識結合以凸顯它的實際意義．我們知道有些排列組合問題，從正面直接求解比較困難，我們可以考慮前后兩組合數(shù)之間的遞推關系，進而轉化為數(shù)列問題．本節(jié)內(nèi)容是遞推關系在排列組合中的又一應用[15]．</p><p>　　例 日常生活中我們走一樓梯一般共10級臺階，假若現(xiàn)規(guī)定一次只能走1級或2級，則要上這段樓梯共有多少種不同的走法．</p><p>　　解：設共有種不同的走法，最后一步的走法

48、可分為兩種：①最后1步跨1級，前共有種的走法；②最后1步跨2級，前級共有種不同的行走方法．</p><p><b>　　于是，，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　…</b>

49、;</p><p><b>　　故，總共的走法有</b></p><p>　　解答本題的關鍵是：根據(jù)題意建立正確的遞推關系，從而將問題轉化為簡單的數(shù)列問題，進而求解．</p><p>　　我們在解決這一些實際生活中的遞推關系時可以建立相應的數(shù)列關系．當直接求解這些數(shù)列問題比較困難時，我們不妨先由已知條件建立相應的遞推關系式，然后求解數(shù)列的通項公

50、式，最后由數(shù)列通項得到我們所要求的結論．</p><p>　　4.3 在數(shù)學歸納法中尋找遞推關系</p><p>　　近年來高考數(shù)學中數(shù)學歸納法是必考內(nèi)容，通常以證明題的形式出現(xiàn)．此類型的證明題通過其他證明方法通常不是很容易，尤其是含有遞推關系的遞歸式子．</p><p>　　例 證明：凸邊形的對角線數(shù)存在關系</p><p>　　證：（1）

51、當時圖形為三角形沒有對角線，則即命題對成立．</p><p>　　（2）設命題亦成立，那么此時凸邊形的對角線數(shù)存在關系式：當時，凸邊形由原來的個頂點變?yōu)閭€頂點，則對角線數(shù)增加條，即那么</p><p>　　所以，命題對時也成立．</p><p>　　故，凸邊形的對角線數(shù)對任意均成立．</p><p>　　數(shù)學歸納法證明這類型的題的關鍵是找出這

52、個關系式．在找不到遞推關系的情況下同樣可以由結論反推而得到．</p><p>　　4.4生活中的遞推關系 </p><p>　　我們所學習的知識能過用于實際生活才會更加充分的體現(xiàn)它的實用價值．遞推關系在我們?nèi)粘Ｉ钪幸彩菍乙姴货r，如隨機游動問題、配對問題、涂色問題、子集選擇問題等．</p><p>　　例 10對夫婦參加舞會，現(xiàn)要求選擇舞伴，其中規(guī)定同一對夫妻不能選

53、擇對方當舞伴，舞伴必須是男女搭配，問有多少種不同的選法[16]？</p><p>　　解：對于一般情形，假設有對夫婦，男士記為女士記為，此時可供選擇的方法為</p><p>　　假如，表示男士1選擇女士2當舞伴．</p><p>　　若，此時剩下的對夫婦，還有種的選法；</p><p>　?、谌舸藭r又把看成一對夫婦，此時有中選法．同樣的，我們

54、考慮</p><p><b>　　綜上：</b></p><p><b>　　由可得</b></p><p>　　所以，10對夫婦共有1334961種選擇舞伴的方法．</p><p>　　本節(jié)以我們生活中常見的配對問題進行了舉例說明，給出了解決這類型的問題的一般方法與過程，也是最優(yōu)分配問題解決的常用

55、方法．</p><p><b>　　結束語</b></p><p>　　論文淺析了遞推關系在高中數(shù)學中的應用，隨著數(shù)列問題在高考中的升溫，要在高考數(shù)學中脫穎而出首先要學好基本的數(shù)列知識，然后要弄清遞推關系在這其中的重要作用。本文在斐波拉契數(shù)列的基礎上，重點介紹了如何利用遞推關系求解高中數(shù)學中數(shù)列問題的通項公式。通過具體的實例分析及近年來的高考題的呈現(xiàn)，為讀者留下更為深

56、刻的印象，從多方面多角度的了解問題，能夠更有深刻的去把握它。</p><p>　　遞推關系實際上是根據(jù)題意建立關系式求解問題的一個過程，這和現(xiàn)在提倡的素質(zhì)教育，探究發(fā)現(xiàn)式教學不謀而合。通過探索遞推關系式的過程，培養(yǎng)高中學生的探究問題的能力，總結出解決問題的有效方法。這樣就再是傳統(tǒng)的接受學習。老師不是知識的灌輸者，而成為一位指路人；學生也不是知識的容器，而是一個探究者。這不僅僅與國際上現(xiàn)代教育的教育思想相一致，而且

57、對促進我國的“素質(zhì)教育”的開展也有非常積極的作業(yè)。由于時間有限，對高中數(shù)學中遞推關系的歸納、概括還不夠全面、不夠透徹，我將在今后的學習生活、工作中不斷的去發(fā)現(xiàn)和總結。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 李文林. 數(shù)學史概論(第三版)[M]. 高等教育出版社,2011,(10):124.</p><p>　

58、　[2] 張思明. 張思明與數(shù)學課題學習[M]. 北京師范大學出版社,2006,(5):135.</p><p>　　[3] 劉紹學. 李建華.數(shù)學5必修[M]. 人民教育出版社,2007,(11):27.</p><p>　　[4] 趙永正. 漫談數(shù)列通項公式的求法[J]. 南陽師范學院學報,2011,(19):118.</p><p>　　[5] 侯萬祥. 由遞

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63、;<p>　　美好的四年大學時光在這個冬季即將畫上一個句號，而我們每位同學的人生卻只是一個逗號，我們面臨的是一次新的征程。在這四年里有苦口婆心的父母、有循循善誘的師長、有許多觀念許多目標，我們都曾為此而活．雖然這條路走得辛苦卻也收獲滿囊。</p><p>　　感謝培養(yǎng)教育我的**；感謝數(shù)學系為我們所創(chuàng)造的良好的學習氛圍、生活環(huán)境；感謝我的指導老師—**老師，他嚴謹細致、一絲不茍的作風是我工作、學習的

64、榜樣；他不拘一格的治學態(tài)度給我了無盡的啟迪。</p><p>　　感謝四年中陪伴在我身邊的所有同學、朋友，感謝他們?yōu)槲姨岢龅乃杏幸娴慕ㄗh和意見。是你們的支持、鼓勵和幫助，讓我度過了充實而又美好的四年大學時光。</p><p>　　感謝生我養(yǎng)我的父母雙親，在我19歲之后，依然給與我足夠的精神及物質(zhì)支持，讓我順利的完成了大學的四年學業(yè)。謝謝您們！</p><p>