36553.哈密頓系統(tǒng)辛幾何算法的kam理論及nekhoroshev穩(wěn)定性問(wèn)題研究

1、圓幽中國(guó)科學(xué)院大學(xué)UniversityofChineseAcademyofSciences博士顧士學(xué)位論文瞼蜜翅丕統(tǒng)主且值簋法的幽堡i金區(qū)№壘盥璺塾盟氌定性閶題班究作者姓名：工芝Ii丕指導(dǎo)教師：尚在么班究雖蟲(chóng)國(guó)型堂院數(shù)堂皇丕統(tǒng)型堂班究院學(xué)位類別：堡堂簋學(xué)科專業(yè)：讓篡數(shù)堂研究所：數(shù)堂皇丕統(tǒng)型堂班究院2013年4月摘要本論文的主要結(jié)果由三部分組成。第一部分考慮辛算法的KAM理論。對(duì)近可積哈密頓系統(tǒng)，目前已有比較完善的KAM理論。尚在久首先將

2、這一理論應(yīng)用于辛算法，提出了數(shù)值KAM理論。具體地，在Kolmogorov非退化條件下，尚在久f61】先證明了高維小扭轉(zhuǎn)辛映射的KAM定理，并給出相關(guān)量的定量估計(jì)。由于辛算法應(yīng)用于可積系統(tǒng)時(shí)，可以視為可積辛映射的一個(gè)擾動(dòng)，因此近可積辛映射的KAM定理能被應(yīng)用。這樣就得到了辛算法的KAM理論【60】。這一理論解釋了為什么在模擬系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為方面辛算法比非辛算法要好得多。本文將這一結(jié)果做了推廣，證明了在R／issmann非退化性下，相

3、應(yīng)的大部分結(jié)論仍然成立。但由于條件的減弱，有些結(jié)論需要做必要的改變。第二部分考慮辛算法的Nekhoroshev穩(wěn)定性。這一部分可以看作是對(duì)第一部分的補(bǔ)充和完善。KAM定理給出了相空間中滿足Diophantine條件的不變環(huán)面得以保持，但對(duì)于不滿足Diophantine條件的情形又如何這就需要Nekhoroshev定理來(lái)給出刻畫(huà)。Nekhoroshev在1977年證明了在可積部分滿足“Steep”條件下，指數(shù)長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，作用變量只會(huì)發(fā)生很小

4、的改變。這就是所謂的Nekhoroshev定理。Kuksin和PSschelf301利用非自治哈密爾頓流插值映射的結(jié)果和已有的關(guān)于哈密頓系統(tǒng)的Nekhoroshev定理在一定條件下得到了辛映射的Nekhoroshev定理。然而，這一結(jié)果當(dāng)中，非自治解析哈密爾頓流插值映射只是存在性證明，并沒(méi)有對(duì)擾動(dòng)參數(shù)有顯式的估計(jì)，很難推廣至辛算法的情形。因此在第二節(jié)里，我們基于哈密爾頓擾動(dòng)理論重新考慮這一問(wèn)題。定理41給出了近可積辛映射的指數(shù)長(zhǎng)穩(wěn)定性，