調(diào)和函數(shù)的對(duì)數(shù)與Schwarz導(dǎo)數(shù).pdf

1、本文主要研究調(diào)和函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)與Schwarz導(dǎo)數(shù)解析或調(diào)和的條件，以及相關(guān)的Schwarz導(dǎo)數(shù)范數(shù)理論.19世紀(jì)20年代，由于調(diào)和映射與極小曲面的緊密聯(lián)系，微分幾何學(xué)者開(kāi)始對(duì)調(diào)和函數(shù)進(jìn)行深入研究.本世紀(jì)初，Chuaqui,Duren和Osgood根據(jù)極小曲面的微分幾何提出了關(guān)于平面調(diào)和函數(shù)的Schwarz導(dǎo)數(shù)的概念，將復(fù)平面上局部單葉的保向調(diào)和映射根據(jù)Weierstrass-Enneper提升公式提升到極小曲面，再將極小曲面上的Rie

2、mann度量作為共形度量，定義了平面調(diào)和映射的Schwarz導(dǎo)數(shù)，研究了單位圓到極小曲面之間映射的單葉性與Schwarz導(dǎo)數(shù)的關(guān)系. Chuaqui，Duren和Osgood定義的Schwarz導(dǎo)數(shù)要求調(diào)和映射的像區(qū)域可以提升為極小曲面，即其伸縮商必須是一個(gè)解析函數(shù)的平方，本身有一定的局限性.當(dāng)伸縮商不是一個(gè)解析函數(shù)的平方時(shí)，該函數(shù)的Schwarz導(dǎo)數(shù)無(wú)意義。
　　本研究分為四個(gè)部分：第一章，緒論?；仡櫫似矫嬲{(diào)和函數(shù)理論發(fā)展的背景

3、，介紹了調(diào)和函數(shù)、對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)及Schwarz導(dǎo)數(shù)等相關(guān)的概念，給出了所用到的一些概念和記號(hào)，列出了本研究的主要結(jié)果。第二章，對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)和Schwarz導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).根據(jù)經(jīng)典的單葉函數(shù)與Teichmüller理論，單連通區(qū)域上局部單葉的解析函數(shù)的Schwarz導(dǎo)數(shù)是解析的，并且容易推出局部單葉的解析函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)也是解析的，而且單連通區(qū)域上的全純函數(shù)必定是某個(gè)局部單葉解析函數(shù)的Schwarz導(dǎo)數(shù).調(diào)和函數(shù)是解析函數(shù)的自然推廣，單連通區(qū)域上局部單

4、葉的調(diào)和函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)與Schwarz導(dǎo)數(shù)是否解析或調(diào)和，是一個(gè)值得討論的課題.在這章中，用反證的方法，討論了本文所定義的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)與Schwarz導(dǎo)數(shù)各自解析或調(diào)和的條件，證明了：當(dāng)且僅當(dāng)伸縮商為常數(shù)時(shí)，單連通區(qū)域上局部單葉的調(diào)和函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)與Schwarz導(dǎo)數(shù)解析或調(diào)和。第三章，Schwarz導(dǎo)數(shù)的范數(shù).1949年，Nehari開(kāi)創(chuàng)性的研究發(fā)現(xiàn)了解析函數(shù)的Schwarz導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單葉性之間的關(guān)系.在萬(wàn)有Teichmiiller空間理

5、論中，引入了Schwarz導(dǎo)數(shù)范數(shù)和單葉性內(nèi)徑的概念.為了確定單連通區(qū)域在萬(wàn)有Teichmüller空間中的位置，可以利用Schwarz導(dǎo)數(shù)范數(shù)來(lái)計(jì)算區(qū)域的單葉性內(nèi)徑，需要對(duì)單葉函數(shù)的Schwarz導(dǎo)數(shù)范數(shù)進(jìn)行估計(jì).但對(duì)一個(gè)函數(shù)的Schwarz導(dǎo)數(shù)范數(shù)進(jìn)行估計(jì)卻不是件容易的事.在本章我們研究了這個(gè)問(wèn)題，討論了Schwarz導(dǎo)數(shù)范數(shù)的有界性，還得到了單位圓內(nèi)凸調(diào)和函數(shù)的Schwarz導(dǎo)數(shù)范數(shù)估計(jì)。第四章，對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)和共形度量密度的估計(jì).我們