關(guān)于常數(shù)數(shù)量曲率的子流形和Finsler流形上的調(diào)和函數(shù).pdf

1、本文分成兩大部分，共三章.第一部分包括第一和第二章，我們分別討論了單位球面Sn+p中具有常數(shù)量曲率的子流形和deSitter空間Sn+pp(c)中具有常數(shù)量曲率的類空子流形，得到了它們的剛性定理。第二部分主要討論了Finsler流形的上的調(diào)和函數(shù)。 令Mn是等距浸入單位球面Sn+P中的一個(gè)連通定向子流形。如果Mn是緊致無邊的，則我們稱它是閉的。用R,H和S分別表示Mn的規(guī)范化數(shù)量曲率，平均曲率和第二基本形式模長(zhǎng)平方。關(guān)于子流形的

2、分類問題一直是讓人感興趣的問題。對(duì)于等距浸入到單位球面中的極小子流形或具有平行平均向量場(chǎng)的子流形，已經(jīng)得到了不少剛性的結(jié)果，問題也已經(jīng)研究得比較清楚([9][12]，[23]，[25])。于是，具有常數(shù)量曲率的子流形自然就成了大家的研究課題。Cheng和Yao最早研究了空間形式中的常數(shù)量曲率超曲面的([7])，引入了一個(gè)自共軛的二階橢圓算子。這個(gè)算子現(xiàn)在仍是我們研究常數(shù)量曲率子流形的最重要工具。但由于這類問題條件太弱，因此研究的時(shí)候總還

3、需要加一些條件，如截面曲率有下界，或法叢平坦等([7],[11])。本文第一章研究具有常數(shù)數(shù)量曲率和平行單位平均曲率向量場(chǎng)的子流形。顯然，后一個(gè)條件對(duì)于超曲面是自然滿足的。這方面已有了一些研究結(jié)果([11]，[13]，[33])。但文[13]，[33]僅僅是研究超曲面的情形，而文[11]研究了此條件下關(guān)于平均曲率的Pinching問題，得到的結(jié)果并不理想(因?yàn)槠銹inching條件是關(guān)于R,H和S的方程式)。我們討論了這樣條件下關(guān)于第二

4、基本形式模長(zhǎng)平方S的Pinching問題，得到了類似文[29]的最佳Pinching常數(shù)，即有如下定理：定理1.1.1([26])令Mn是等距浸入單位球面Sn+p中的具有平行單位平均曲率向量場(chǎng)的閉子流形。若R是常數(shù)且R≥1，則(i)若S≤2√n-1，同時(shí)n≥8或，n≥3且p≤2，那么必有下面兩種情況之一出現(xiàn)：(a)S=n(R-1)，此時(shí)Mn是Sn+p中的球面Sn(1/√R)；(b)n≥8或，n=7且p≤2，而S=2√n-1，此時(shí)Mn位于

5、Sn+p的一個(gè)全測(cè)地子流形Sn+1中，且Mn可表示為Sn-1(r1)×S1(r2)，其中r21=1+√n-1/1+√n-1，r22=1/1+√n-1。(ii)若S≤2n/3，同時(shí)3≤n≤7，則S=n(R-1)，此時(shí)Mn是Sn+p中的球面Sn(1/√R)； (iii)若n=2，S≤n(5R-1)，那么必有下面兩種情況之一出現(xiàn)： (a)S=n(R-1)，此時(shí)M2是S2+p中的球面S2(1/√R)； (b)S=n(5R

6、-1)，且p≥3，此時(shí)M2是S4(1/√3R)中的一個(gè)Veronese曲面，S4(1/√3R)是S2+(p-1)(1/√3R)中的全測(cè)地子流形，而后者又是S2+p中的一個(gè)全臍超曲面。在第一章的第4節(jié)，我們給出一個(gè)具體的例子，它是Sn+p中滿足S=2√n-1的n-維子流形。所以，當(dāng)n≥8或，n=7且p≤2時(shí)，S=2√n-1是最佳Pinching常數(shù).本文的第二章討論了deSitter空間Sn+pp(c)中具有常數(shù)數(shù)量曲率和平行單位平均曲率

7、向量場(chǎng)的類空子流形Pinching問題。設(shè)Sn+pp(c)一個(gè)常曲率為c，指標(biāo)為p的(n+p)維deSitter空間，Mn是等距浸入deSitter空間Sn+pp(c)中的一個(gè)黎曼流形。 如果Sn+pp(c)上的偽黎曼度量在Mn上誘導(dǎo)了一個(gè)黎曼度量，則稱Mn是deSitter空間Sn+pp(c)的一個(gè)類空子流形。 同球面的情況類似，對(duì)于等距浸入到deSitter空間的極大類空子流形和具有平行平均曲率向量場(chǎng)的類空子流形，已

8、經(jīng)有了許多剛性的結(jié)果([4]，[5],[15])。對(duì)于deSitter空間中具有常數(shù)量曲率的類空超曲面，上世紀(jì)九十年代就有了一些研究文章([6],[26])，但遺憾的是文[6]的結(jié)果是錯(cuò)誤的(具體見本文第二章的前言)。近幾年，這方面的研究又有了不少成果([14]，[30],[34]，[36])。而對(duì)于高余維的情況，研究的文章還很少([31]，[37])。我們討論了這種子流形的第二基本形式模長(zhǎng)平方S的Pinching問題。文[31]已經(jīng)對(duì)

9、此問題進(jìn)行了研究，但其對(duì)R有限制，同時(shí)其Pinching條件與n，R有關(guān)，且無法判斷是否最佳。利用本章第四節(jié)證明的一個(gè)代數(shù)引理，我們得到了僅與n有關(guān)的一個(gè)Pinching常數(shù)，且此常數(shù)在n≥3時(shí)是最佳的。同時(shí)，本章的定理也是將文[30]關(guān)于超曲面的結(jié)果在緊致的條件下推廣到任意余維的子流形。定理具體內(nèi)容如下： 定理2.5.1([27])設(shè)Mn是等距浸入deSitter空間Sn+p1(c)中的具有平行規(guī)范化平均曲率向量場(chǎng)的閉類空子流

10、形。若R是常數(shù)且R≥c，則(i)如果n≥3，S≤2√n-1c，則或者S=n(c-R)，同時(shí)Mn是全臍的；或者S=2√n-1c，同時(shí)Mn是一個(gè)黎曼叉積Sn-1(c1)×H1(c2)，且Mn位于Sn+pp(c)的一個(gè)全測(cè)地子流形Sn+11(c)中，其中c1=√n-1-1/√n-1c，c2=(1-√n-1)c。 (ii)如果n=2，S≤2c，則Mn是全臍的。 在第二章的前言部分，我們還給出了實(shí)例，表明在n≥3時(shí)，定理2.5.1

11、中的Pinching常數(shù)S=2√n-1c是最佳。同時(shí)，此例也說明文[6]的結(jié)論是錯(cuò)誤的。 在第二章的最后一節(jié)，我們考慮了完備類空子流形的余維約化問題，得到定理2.6.1([27])設(shè)Mn(n≥2)是等距浸入deSitter空間Sn+pp(c)中的具有平行規(guī)范化平均曲率向量場(chǎng)的完備類空子流形。若S≤2√n-1c，則Mn位于Sn+pp(c)的一個(gè)全測(cè)地子流形Sn+11(c)中。 本文的第二部分(第三章)主要討論Finsler

12、流形上的調(diào)和函數(shù)。Finsler流形上的幾何分析一直是研究者感興趣的方向，也有了不少的研究成果([2],[17]，[31])。但對(duì)于如何定義Finsler流形上的Laplacian算子仍沒有統(tǒng)一的結(jié)論。我們都知道，Laplacian算子在黎曼幾何的幾何分析是起著關(guān)鍵的作用。如何在Finsler流形上找到一個(gè)好的Laplacian算子，這就是本文第二部分研究的動(dòng)機(jī)。首先，我們利用內(nèi)積定義了余微分算子，并從此引入關(guān)于函數(shù)的Laplacian

13、算子。容易看出，這樣定義的Laplacian算子是一個(gè)自共軛的二階橢圓算子(命題3.4.2)。進(jìn)一步，我們有如下的極大值定理：定理3.4.4(Hopf極大原理)設(shè)(M，F(xiàn))為緊致無邊的Finsler流形，則(M，F(xiàn))上任何下調(diào)和的函數(shù)均為常數(shù)。 同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)這樣定義的調(diào)和函數(shù)與文[17]中定義的調(diào)和映射的特殊情況，即目標(biāo)流形是R的情形是一致的。因此，文[17]中的調(diào)和映射也可以看成是本文前面定義的調(diào)和函數(shù)的推廣。但文[18]中

14、關(guān)于調(diào)和映射的充分必要條件不夠嚴(yán)密，本文對(duì)此作了修正。通過復(fù)合映射的張力場(chǎng)公式，證明了定理3.5.4光滑映射φ：(M，F(xiàn))→(N，h)是調(diào)和的當(dāng)且僅當(dāng)它和(N，h)上任一個(gè)凸函數(shù)的復(fù)合都是(M，F(xiàn))上的下調(diào)和函數(shù)。 第三章的最后部分是考慮了F流形上的測(cè)地線σ和它在射影球叢SM上的標(biāo)準(zhǔn)提升(~σ)([3])的關(guān)系。 設(shè)σ：[0，l]→M是M上的一條測(cè)地線，記其切向量場(chǎng)為T，即T(t)=σ'(t)。我們定義σ的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)提升(

15、~σ)：[0，l]→SM為(~σ)(t)=(σ(t)，T(t))，顯然，我們要求曲線σ是正則的，即切向量場(chǎng)T處處非零。我們可得命題3.6.1設(shè)σ是Finsler流形(M，F(xiàn))上的一條正規(guī)測(cè)地線，則它的標(biāo)準(zhǔn)提升(~σ)也是SM上的一條正規(guī)測(cè)地線。 進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，只要旗曲率滿足一定的條件，不管原來的測(cè)地線多短，其提升測(cè)地線上都有共軛點(diǎn)，即命題3.6.2設(shè)σ是Finsler流形(M，F(xiàn))上的一條正規(guī)的極小測(cè)地線，且流形(M，F(xiàn))的旗曲率