邊界元法中高階單元奇異積分的一個(gè)新正則化算法及其應(yīng)用研究.pdf

1、本文綜述了邊界元法中幾乎奇異積分問(wèn)題的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，目前邊界元法關(guān)于線性單元幾乎奇異積分問(wèn)題算法較為成熟，但對(duì)高階單元尤其是三維高階單元幾乎奇異積分計(jì)算缺乏一種通行、高效的解決方法，這妨礙了邊界元法的工程應(yīng)用。
　　 文中首先對(duì)邊界元法線性單元幾乎奇異積分正則化算法思想作了簡(jiǎn)要回顧和總結(jié)，并將其應(yīng)用于三維聲場(chǎng)邊界元分析。在此基礎(chǔ)上對(duì)邊界元法高階單元幾乎奇異積分進(jìn)行系統(tǒng)研究，以二次單元為例，創(chuàng)立了一種計(jì)算高階單元各類幾乎奇異積分

2、的半解析算法，包括弱、強(qiáng)和超幾乎奇異積分。并且將本文建立的半解析算法應(yīng)用于二維和三維位勢(shì)及其薄體問(wèn)題、二維彈性力學(xué)及其層合結(jié)構(gòu)邊界元法分析。全文主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)概括如下:
　　 1.拓展了線性單元幾乎奇異積分正則化算法在三維聲場(chǎng)邊界元分析中的應(yīng)用。將三維聲場(chǎng)基本解函數(shù)進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，分離出奇異積分和非奇異積分兩個(gè)部分。采用線性單元正則化算法計(jì)算其中的奇異積分部分，從而解決了三維聲場(chǎng)邊界元法分析中的幾乎奇異積分難題。聲場(chǎng)問(wèn)題算

3、例表明，本文算法計(jì)算精度較常規(guī)邊界元法顯著提高，可以為基于近邊界點(diǎn)聲學(xué)參量準(zhǔn)確計(jì)算為基礎(chǔ)的各類聲學(xué)分析提供重要的參考依據(jù)。本文基于基本解函數(shù)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)的正則化算法思想，也為基本解為非多項(xiàng)式形式的邊界元幾乎奇異積分正則化提供了解決思路，拓寬了線性單元正則化算法的應(yīng)用領(lǐng)域。
　　 2.創(chuàng)立了二維位勢(shì)問(wèn)題邊界元法高階單元幾乎奇異積分的一個(gè)新的正則化算法。本文分析了邊界積分方程高階單元中幾乎奇異積分的原因，不失一般性，以二維問(wèn)

4、題3節(jié)點(diǎn)二次單元為例剖析了二次單元的幾何特征，定義了源點(diǎn)到高階曲線單元的接近度概念，分離出二維位勢(shì)積分方程積分式中近似核函數(shù)。對(duì)積分核應(yīng)用扣除法(Subtraction)技巧，通過(guò)扣除與積分核具有同樣奇異性的近似積分核來(lái)消除幾乎奇異性，建立了一個(gè)新的半解析算法，成功地計(jì)算出接近度為10-14的幾乎強(qiáng)奇異積分和接近度為10-7的幾乎超奇異積分。該算法應(yīng)用于二維位勢(shì)和薄體問(wèn)題分析，結(jié)果表明本文算法可以計(jì)算距離邊界非常近的內(nèi)點(diǎn)位勢(shì)和位勢(shì)導(dǎo)數(shù)，

5、并具有很高的計(jì)算精度。
　　 3.針對(duì)3節(jié)點(diǎn)二次曲線單元，將二維位勢(shì)問(wèn)題的半解析正則化算法思想應(yīng)用于二維彈性力學(xué)邊界元分析，通過(guò)局部坐標(biāo)變換，分離出二維彈性力學(xué)積分方程積分項(xiàng)中的近似奇異核函數(shù)，再采用扣除法消除了幾乎強(qiáng)奇異和幾乎超奇異性并推導(dǎo)出幾乎奇異積分部分的解析計(jì)算公式，建立了彈性力學(xué)邊界元法幾乎強(qiáng)奇異和幾乎超奇異積分的半解析算法。本文將半解析算法同多域邊界元法聯(lián)合應(yīng)用，成功地求解了彈性力學(xué)薄體和層合結(jié)構(gòu)的近邊界內(nèi)點(diǎn)位移和應(yīng)

6、力，算例結(jié)果表明邊界元法高階單元比線性單元以及有限元法更具有優(yōu)勢(shì)。
　　 4.創(chuàng)立了三維位勢(shì)問(wèn)題邊界元法高階單元幾乎奇異積分的半解析正則化算法。以8節(jié)點(diǎn)四邊形二次曲面單元為例，分別在整體坐標(biāo)系、局部直角坐標(biāo)系和局部極坐標(biāo)系下剖析單元的幾何特征，提出了源點(diǎn)到高階曲面單元的接近度概念。分離出三維位勢(shì)問(wèn)題基本解中幾乎奇異積分核函數(shù)的近似函數(shù)，然后通過(guò)坐標(biāo)變換使其近似函數(shù)面積分中的兩個(gè)積分變量分離，從而可以依次單獨(dú)計(jì)算積分。以此為基礎(chǔ)，

7、對(duì)積分核應(yīng)用扣除法技巧，把幾乎奇異面積分轉(zhuǎn)化為非奇異積分和奇異積分兩項(xiàng)之和，其中非奇異積分項(xiàng)用常規(guī)Gauss數(shù)值積分計(jì)算，而奇異積分項(xiàng)在局部極坐標(biāo)系下推導(dǎo)出對(duì)極變量積分的解析計(jì)算公式，對(duì)角變量積分用常規(guī)Gauss數(shù)值積分計(jì)算。本文半解析算法應(yīng)用于三維位勢(shì)問(wèn)題及其薄體問(wèn)題邊界元分析，成功地計(jì)算出其中的幾乎強(qiáng)奇異和幾乎超奇異積分。
　　 本文半解析算法技術(shù)同樣適用于其他高階邊界單元幾乎奇異積分的計(jì)算，從而一般性地解決了二維和三維邊界